北师大版七年级上第四章 基本平面图形题型总结培优讲义（线段、角度压轴题）
【题型一】与线段、射线、直线相关的压轴题
【例1】（2023秋 宁江区期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE；
（3）如图2，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE．
【例2】（2023秋 潮南区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝a cm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
【变式1】（德城区期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【变式2】（长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，①AB＝ 4 cm．②求线段CD的长度．
（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【题型二】与角度有关的压轴题
【例1】（2024秋 碑林区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝ 时，∠MON＝2∠BOC．
【例2】（2024秋 雁塔区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【变式1】（2024秋 宿城区期末）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【变式2】（2024秋 西峡县期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
【变式3】（2024秋 思明区校级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值．
【课后练习】
1．（2023秋 湖北期末）【问题引入】对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把C，P两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“靠近距离”，记作d1；把C，P两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“远离距离”，记作d2．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
若点C表示的数为3，如图，则d1＝1，d2＝8．
【问题解决】
（1）若点C表示的数为﹣7，则d1＝ ，d2＝ ；
（2）①若点C表示的数为m，d1＝3，则m的值为 ；
②若点C表示的数为n，d2＝12，则n的值为 ；
【问题迁移】
（3）若点E和点F为数轴上的两点（点E和点F均不在线段AB上），点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，t1表示点E关于线段AB的“靠近距离”，t2表示点F关于线段AB的“远离距离”．若t2是t1的3倍，求x的值．
2．（2024秋 巨野县期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间
3．（2023秋 锦江区校级期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 惠州期末）如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．
5．（2024秋 秦都区期末）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．
（1）求BC的长；
（2）若CE＝3AE，求AE的长．
6．（2023秋 广汉市期末）【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
7．（2024秋 自贡校级期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点．
（1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为 cm；
（2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为 cm；
（3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由．
8．（和平区期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．
（1）图中共有 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．
9．（2023秋 西岗区期末）如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上．
（1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝ ；
（2）若AD＝a，MN＝b
①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示）
②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝ ．（用含a、b、n的代数式表示）
10．（2024秋 大理州期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．
（2）若AB＝6，求MN的长度．
11．（2024秋 铁岭县期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝ cm．②求线段CD的长度．
（2）①点B沿点A→D运动时，AB＝ cm；
②点B沿点D→A运动时，AB＝ cm．（用含t的代数式表示AB的长）
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
12．（2024秋 任丘市期末）如图，线段AB＝21，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2．求MN的长．
13．（2024秋 嵊州市期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，若线段CE＝6cm，求线段AB的长．
14．（2024秋 安阳期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：4：8三部分，点E是AD的中点，CD＝16，求EC的长．
15．（丰都县期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x值．
16．（桥东区校级期中）观察图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
17．（2024秋 鹿寨县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
18．（沧州期末）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．
①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；
②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
19．（2024秋 巨野县期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示）
20．（2024秋 渭滨区期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数．
21．（2024秋 和平区校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
22．（2024秋 市中区校级期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
23．（2023秋 中原区校级期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；
当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 ．
24．（大竹县校级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数．
25．（鼓楼区校级月考）（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数．
（2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是 ．
26．（花都区期末）将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放．
（1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝ ；
（2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝ ；
（3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数．
27．（2025春 绥棱县期末）尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法）
28．（长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD．
（1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 方向，射线OC表示 方向．
（2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝ °．（用n表示）北师大版七年级上第四章 基本平面图形题型总结培优讲义（线段、角度压轴题）
【题型一】与线段、射线、直线相关的压轴题
【例1】（2023秋 宁江区期末）已知：如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点，
（1）若线段AB＝a，CE＝b，|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，求a，b；
（2）如图1，在（1）的条件下，求线段DE；
（3）如图2，若AB＝15，AD＝2BE，求线段CE．
【考点】两点间的距离；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有
【分析】（1）由|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，根据非负数的性质即可推出a、b的值；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC＝7.5，然后由AE＝AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度；
（3）首先设EB＝x，根据线段中点的性质推出AD、DE关于x的表达式，即AD＝DE＝2x，由图形推出AD+DE+BE＝15，即可得方程：x+2x+2x＝15，通过解方程推出x＝3，即BE＝3，最后由BC＝7.5，即可求出CE的长度．
【解答】解：（1）∵|a﹣15|+（b﹣4.5）2＝0，
∴|a﹣15|＝0，（b﹣4.5）2＝0，
∵a、b均为非负数，
∴a＝15，b＝4.5，
（2）∵点C为线段AB的中点，AB＝15，CE＝4.5，
∴ACAB＝7.5，
∴AE＝AC+CE＝12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DEAE＝6，
（3）设EB＝x，则AD＝2BE＝2x，
∵点D为线段AE的中点，
∴AD＝DE＝2x，
∵AB＝15，
∴AD+DE+BE＝15，
∴x+2x+2x＝15，
解方程得：x＝3，即BE＝3，
∵AB＝15，C为AB中点，
∴BCAB＝7.5，
∴CE＝BC﹣BE＝7.5﹣3＝4.5．
【例2】（2023秋 潮南区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝a cm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC＝MB﹣MC，CN＝12BC，MN＝CM+CN即可求出线段BC，MN的长度．
（2）先画图，再根据线段中点的定义得MCAC，NCBC，然后利用MN＝MC﹣NC得到MNa cm．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，
∴MCAC＝3cm，
∴BC＝MB﹣MC＝7cm，
又N为BC的中点，
∴CNBC＝3.5cm，
∴MN＝MC+NC＝6.5cm；
（2）如图1（或图2）：
∵M是AC的中点，
∴CMAC，
∵N是BC的中点，
∴CNBC，
∴MN＝CM﹣CNACBC（AC﹣BC）a cm．
【变式1】（德城区期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）如图2，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CMAC＝5厘米，CNBC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CMAC，CNBC，
∴MN＝CM+CNACBCa；
（3）设运动t秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．
①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；
②当5＜t时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t；
③当t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t；
④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或或．
【变式2】（长春期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，①AB＝ 4 cm．②求线段CD的长度．
（2）在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）①根据AB＝2t即可得出结论；②先求出BD的长，再根据C是线段BD的中点即可得出CD的长；
（2）直接根据中点公式即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，
∴当t＝2时，AB＝2×2＝4cm．
故答案为：4；
②∵AD＝10cm，AB＝4cm，
∴BD＝10﹣4＝6cm，
∵C是线段BD的中点，
∴CDBD6＝3cm；
（2）不变；
∵AB中点为E，C是线段BD的中点，
∴EBAB，BCBD，
∴EC＝EB+BC（AB+BD）
AD10＝5cm．
【题型二】与角度有关的压轴题
【例1】（2024秋 碑林区校级月考）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，∠MON＝ °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜120），则n＝ 时，∠MON＝2∠BOC．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）根据∠MON＝∠BOM+∠BON计算即可；
（2）分两种情形分别计算即可；
（3）分两种情形分别计算即可；
【解答】解：（1）由题意；∠MON∠AOB∠COD＝80°+20°＝100°，
故答案为100；
（2）①当0＜n＜60°时，如图1中，
∠AOC＝120°﹣n°，∠BOD＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON（120°﹣n°）+n°（60°﹣n°）＝100°，
②当60°＜n＜120°时，如图2中，
∠AOC＝120°﹣n°，∠COD＝60°，∠BOD＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON（120°﹣n°）+60°（n°﹣60°）＝100°．
综上所述，∠MON＝100°；
（3）①0°＜n＜60°时，∠BOC＝n°，∠MON＝2n°，
∠MON（120°+n°）+60°（60°+n°）＝100°，
∴n＝50°．
②当60°＜n＜120°时，∠AOC＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，∠BOD＝60°+n°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°）＝140°
∴n＝70°．
综上所述，n的值为50°或70°．
故答案为50°或70°．
【例2】（2024秋 雁塔区校级月考）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 20° ．
（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？
（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；
（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式，即可求出α的值；
（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，
∴∠COD∠AOB＝35°，
∵∠AOC＝15°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；
故答案为：20°．
（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，
∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即63°﹣α，
解得α＝21°，
当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；
（3）能，理由如下，
由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下四种情况：
①当射线OC在∠AOB内，如图4，
此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°），
解得t（秒）；
②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，
如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°，
则∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°），
解得t＝30（秒）；
如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°，
则∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°），
解得t＝90（秒）；
综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒．
【变式1】（2024秋 宿城区期末）如图1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD．（本题中所有角均大于0°且小于等于180°）
（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON＝ 100 °；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度数；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），直接写出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根据已知条件进行计算即可；
（2）根据∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如（图1），②当60＜n＜120时，如（图2），结合（1）进行角的和差计算即可；
（3）根据∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，分两种情况画图：①当0＜n＜60时，如图3，②当60＜n＜180时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD，
∴∠MOC∠AOC，∠DON∠BOD，
当∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON
∠AOCBOD
120°60°
＝80°+20°
＝100°；
故答案为：100°；
（2）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜120且n≠60），
①当0＜n＜60时，如（图1），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，
∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON
（120°﹣n°）+n°（60°﹣n°）
＝100°；
②当60＜n＜120时，如（图2），
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON
（120°﹣n°）+60°（n°﹣60°）
＝100°；
综上所述：∠MON的度数为100°；
（3）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a为正整数），∠MON＝2∠BOC，
①当0＜n＜60时，如图3，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON
（120°+n°）+60°（n°+60°）
＝100°，
∴2n°＝100°
∴n＝50；
②当60＜n＜120时，如图4，
∵∠BOC＝n°，
∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，
∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°（240°﹣n°）﹣120°（60°+n°）
＝140°，
∴2n°＝140°，
∴n＝70；
当120＜n＜180时，如图5，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣120°﹣n°﹣60°＝180°﹣n°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝180°﹣n°+60°＝240°﹣n°，∠BOD＝∠AOD+∠AOB＝180°﹣n°+120°＝300°﹣n°，
∵∠AOM∠AOC，∠BON∠BOD，
∴∠AOM＝80°n，∠BON＝100°n，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON
＝（∠AOB+∠AOM）﹣∠BON
＝（120°+80°n）﹣（100°n）
＝100°，
∴2n°＝100°，
∴n＝50；
综上所述：n的值为50或70．
【变式2】（2024秋 西峡县期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝ 30° ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝ 135° ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）根据题意可写出∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°，进而求得∠BOP；
（2）根据题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，①因为∠AOC＝120°，可求得∠POQ＝135°；
②写出∠POQ用α表达的表达式，可以看出α的大小并不影响∠POQ的大小，即∠POQ的大小并不会随着∠AOC的大小变化而变化；
（3）因为OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，再利用等式∠AOM+∠MON+∠BON＝180°求解．
【解答】解：（1）∵由题可得：∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°
∴∠BOP＝30°，∠POA＝15°．
（2）∵由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ
①当∠AOC＝120°时，可求得∠COP＝90°，∠AOP＝30°，∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∠COQ＝45°，∠BOQ＝15°
所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°．
②不会发生变化．当∠AOC＝α时，
（3）设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α
∵射线OM、ON分别是∠AOC与∠BOC的5分位线
∴∠COM＝4∠AOM，∠BON＝4∠CON
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°
∵OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论
第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，
①当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
②当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝19°
∴∠AOC＝5α＝5×19°＝95°
第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON
③当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝68°
∴∠AOCα+α68°+68°＝85°
④当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
综上所述：∠AOC＝85°或95°．
【变式3】（2024秋 思明区校级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ 40 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分2种情况：若OD是OC的友好线，3t°+2t°﹣180°2t°，若OC是OD的友好线，3t°+2t°﹣180°3t°，解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②若OD是OC的友好线，则∠COD∠AOC，
∴3t°+2t°﹣180°2t°，
∴t，
若OC是OD的友好线，则∠COD∠BOD，
∴3t°+2t°﹣180°3t°，
∴t＝45；
综上所述，当t为秒或45秒时，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
【课后练习】
1．（2023秋 湖北期末）【问题引入】对于数轴上的线段AB和点C（点C不在线段AB上），给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把C，P两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“靠近距离”，记作d1；把C，P两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“远离距离”，记作d2．
已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．
若点C表示的数为3，如图，则d1＝1，d2＝8．
【问题解决】
（1）若点C表示的数为﹣7，则d1＝ 2 ，d2＝ 9 ；
（2）①若点C表示的数为m，d1＝3，则m的值为 ﹣8或5 ；
②若点C表示的数为n，d2＝12，则n的值为 ﹣10或7 ；
【问题迁移】
（3）若点E和点F为数轴上的两点（点E和点F均不在线段AB上），点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，t1表示点E关于线段AB的“靠近距离”，t2表示点F关于线段AB的“远离距离”．若t2是t1的3倍，求x的值．
【考点】直线、射线、线段；数轴．版权所有
【分析】分两种情况，C在A左侧，和C在B右侧两种．
【解答】解：（1）∵点C表示的数为﹣7，
∴d1（点C，线段AB）＝CA＝﹣5﹣（﹣7）＝2，d2（点C，线段AB）＝CB＝2﹣（﹣7）＝9，
故答案为：2，9．
（2）①当点C在点A的左侧：有AC＝3，
∴m＝﹣8；当点C在点B的右侧：有BC＝3，
∴m＝5，
∴m的值为﹣8或5．
②当点C在点A的左侧：有BC＝12，
∴n＝﹣10；当点C在点B的右侧：有AC＝12，
∴n＝7，
∴n的值为﹣10或7．
（3）分两种情况：当点E在点A的左侧，t2（点F，线段AB）＝BF＝2﹣（x+2）＝﹣x，t1（点E，线段AB）＝AE＝﹣5﹣x，
∵t2（点F，线段AB）是t1（点E，线段AB）的3倍，
∴﹣x＝3（﹣5﹣x），
∴x＝﹣7.5，
当点E在点B的右侧，t2（点F，线段AB）＝AF＝x+2﹣（﹣5）＝x+7，
t1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣2，
∵t2（点F，线段AB）是t1（点E，线段AB）的3倍，
∴x+7＝3（x﹣2），
∴x＝6.5，
综上所述：x的值为：﹣7.5或6.5．
2．（2024秋 巨野县期末）数形结合A，B，C三个住宅区分别住有某公司职工30人、15人、10人，且这三个住宅区在一条大道上（A，B，C三点共线），如图所示，已知AB＝100m，BC＝200m，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此区间内设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．点A，B之间 D．点B，C之间
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝4500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝4500+5m＞4500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞4500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选：A．
3．（2023秋 锦江区校级期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1，N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M10N10＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】两点间的距离；规律型：图形的变化类．版权所有
【分析】根据线段中点定义先求出M1N1的长度，再由M1N1的长度求出M2N2的长度，从而找到MnNn的规律，即可求出结果．
【解答】解：∵线段MN＝20，线段AM和AN的中点M1，N1，
∴M1N1＝AM1﹣AN1
AMAN
（AM﹣AN）
MN
20
＝10．
∵线段AM1和AN1的中点M2，N2；
∴M2N2＝AM2﹣AN2
AM1AN1
（AM1﹣AN1）
M1 N1
20
20
＝5．
发现规律：
MnNn20
∴M1N1+M2N2+…+M10N10
202020
＝20（）
＝20（）
＝20（1）
＝20
故选：A．
4．（2024秋 惠州期末）如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0
（1）点A表示的数为 ﹣8 ，点B表示的数为 4
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数．
【考点】两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值．版权所有
【分析】（1）直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案；
（2）直接利用两点之间的距离为12，进而得出等式求出答案；
（3）直接利用两点相遇前或相遇后分析得出答案．
【解答】解：（1）∵在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，a、b满足|a+8|+|b﹣4|＝0，
∴a+8＝0，b﹣4＝0，
解得：a＝﹣8，b＝4，
则点A表示的数为：﹣8，点B表示的数为：4；
（2）设x秒时两点相遇，
则3x+x＝4﹣（﹣8），
解得：x＝3，
即3秒时，两点相遇，
此时点C所表示的数为：﹣8+3×3＝1；
（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时，
3x+x＝10，
解得：x，
此时此时点Q所表示的数为：4﹣11.5；
当两点相遇后的距离为2个单位长度时，
3x+x＝14，
解得：x，
此时此时点Q所表示的数为：4﹣10.5；
综上所述：点Q表示的数为：1.5或0.5．
5．（2024秋 秦都区期末）如图，点C，E是线段AB上两点，点D为线段AB的中点，AB＝6，CD＝1．
（1）求BC的长；
（2）若CE＝3AE，求AE的长．
【考点】两点间的距离；线段的和差．版权所有
【分析】（1）先根据点D 为线段AB的中点，求出BD的长，进而得出答案；
（2）先求出AC的长，再由CE＝3AE得到AC＝4AE＝4，即可求解．
【解答】解：（1）由中点可知，，AB＝6，
∵CD＝1，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2；
（2）由条件可知AC＝6﹣2＝4，
∵CE＝3AE，
∴AC＝AE+CE＝4AE＝4，
∴AE＝1．
6．（2023秋 广汉市期末）【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ 4或6或8 cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；
（2）分点C在中点的左边，点C在中点，点C在中点的右边，进行讨论求解即可；
（3）分①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；②当P为A、Q的巧点时；③当Q为A、P的巧点时；进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，
∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，
∴AC＝124cm或AC＝126cm或AC＝128cm；
故答案为：4或6或8；
（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6）
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．APAQ，即，解得s；
Ⅱ．APAQ，即，解得s；
Ⅲ．APAQ，即，解得t＝3s；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．AQAP，即，解得s（舍去）；
Ⅱ．AQAP，即，解得t＝6s；
Ⅲ．AQAP，即，解得s．
7．（2024秋 自贡校级期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点．
（1）如果MB＝2cm，NC＝1.8cm，BC＝5cm，则AD的长为 12.6 cm；
（2）如果MN＝10cm，BC＝6cm，则AD的长为 14 cm；
（3）如果MN＝a，BC＝b，求AD的长，并说明理由．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）根据线段的和，可得（MB+CN）的长，根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案；
（2）先根据线段的和与差，计算出BM+CN的长，再根据线段中点的性质，可得AB与MB的关系，CD与CN的关系，根据线段的和，可得答案；
（3）根据（2）的解题过程，即可解答．
【解答】解：（1）∵MB＝2cm，NC＝1.8cm，
∴MB+NC＝3.8，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝7.6，
∴AD＝AB+CD+BC＝7.6+5＝12.6（cm），
故答案为：12.6；
（2）∵MN＝10cm，BC＝6cm，
∴BM+CN＝MN﹣BC＝10﹣6＝4，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN）＝8，
∴AD＝AB+CD+BC＝8+6＝14（cm），
故答案为：14；
（3）∵MN＝a，BC＝b，
∴BM+CN＝a﹣b，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，
∴AB+CD＝2BM+2CN＝2（BM+CN），
∴AB+CD＝2（a﹣b），
∵AD＝AB+CD+BC，
∴AD＝2（a﹣b）+b＝2a﹣2b+b＝2a﹣b．
8．（和平区期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．
（1）图中共有 6 条线段；
（2）求AC的长；
（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．
【考点】两点间的距离；直线、射线、线段．版权所有
【分析】（1）图中的线段有AC、AB、AD、CB、CD、BD这6条；
（2）先根据中点得出CD＝2BC＝6cm，继而由AC＝AD﹣CD可得答案；
（3）分点E在AC上和点E在CA延长线上两种情况，先求得AB＝AC+BC＝10，再分别根据BE＝AB﹣AE、BE＝AB+AE可得答案．
【解答】解：（1）图中的线段有AC、AB、AD、CB、CD、BD这6条，
故答案为：6；
（2）∵点B为CD的中点、BC＝3cm，
∴CD＝2BC＝6cm，
∵AD＝13cm，
∴AC＝AD﹣CD＝13﹣6＝7（cm）．
（3）如图1，当点E在AC上时，
∵AB＝AC+BC＝10cm、EA＝4cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6（cm）；
如图2，当点E在CA延长线上时，
∵AB＝10cm、AE＝4cm，
∴BE＝AE+AB＝14cm；
综上，BE的长为6cm或14cm．
9．（2023秋 西岗区期末）如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上．
（1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝ 4 ；
（2）若AD＝a，MN＝b
①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示）
②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝ ba ．（用含a、b、n的代数式表示）
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可；
（2）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可；
（3）根据BC＝AD﹣（AB+CD），只要求出AB+CD即可；
【解答】解：（1）∵AD＝8，MN＝6，
∴AM+DN＝AD﹣MN＝8﹣6＝2，
∵AM＝BM，CN＝DN，
∴AB+CD＝2AM+2DN＝4，
∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝8﹣4＝4，
故答案为4．
（2）①∵AD＝a，MN＝b，
∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b，
∵AM＝2BM，DN＝2CN，
∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b），
∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba．
②∵AD＝a，MN＝b，
∴AM+DN＝AD﹣MN＝a﹣b，
∵AM＝nBM，DN＝nCN，
∴AB+CD（AM+DN）（a﹣b），
∴BC＝AD﹣（AB+CD）＝a（a﹣b）ba．
故答案为ba．
10．（2024秋 大理州期末）如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
（1）若AM＝1，BC＝4，求MN的长度．
（2）若AB＝6，求MN的长度．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）由已知可求得CN的长，从而不难求得MN的长度；
（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度．
【解答】解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AM＝1，BC＝4
∴CN＝2，AM＝CM＝1
∴MN＝MC+CN＝3；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝6，
∴NM＝MC+CNAB＝3．
11．（2024秋 铁岭县期末）如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）当t＝2时，①AB＝ 4 cm．②求线段CD的长度．
（2）①点B沿点A→D运动时，AB＝ 2t cm；
②点B沿点D→A运动时，AB＝ 20﹣2t cm．（用含t的代数式表示AB的长）
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；②根据线段的和差，可得BD的长，根据线段中点的性质，可得答案；
（2）①根据速度乘以时间等路程，可得答案；
②根据线段的和差，可得AB的长；
（3）根据线段中点的性质，可得BE的长，BC的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：（1）当t＝2时，①AB＝2×2＝4cm；
②BD＝AD﹣AB＝10﹣4＝6cm，
由C是线段BD的中点，得
CDBD6＝3cm；
（2））①点B沿点A→D运动时，AB＝2tcm；
②点B沿点D→A运动时，AB＝20﹣2tcm；
（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长不变，
由AB中点为E，C是线段BD的中点，得
BEAB，BCBD．
EC＝BE+BC（AB+BD）10＝5cm．
12．（2024秋 任丘市期末）如图，线段AB＝21，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2．求MN的长．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】（1）根据图示知AMAC，AC＝AB﹣BC；
（2）根据已知条件求得CN＝5，然后根据图示知MN＝MC+NC＝3+5＝8．
【解答】解：（1）线段AB＝21，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝21﹣15＝6．
又∵点M是AC的中点．
∴AMAC6＝3，即线段AM的长度是3．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝1：2，
∴CNBC15＝5．
又∵点M是AC的中点，AC＝6，
∴MCAC＝3，
∴MN＝MC+NC＝3+5＝8，即MN的长度是8．
13．（2024秋 嵊州市期末）如图，点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，若线段CE＝6cm，求线段AB的长．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】根据线段中点的性质，可得DE与BD的关系，根据线段的和差，可得关于AB的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由点C、D、E在线段AB上，且满足AC＝CD＝DB，得
AC＝CD＝DBAB．
由点E是线段DB的中点，得
DEDBAB．
由线段的和差，得
CE＝CD+DE＝6，
即ABAB＝6，
解得AB＝12．
线段AB的长是12cm．
14．（2024秋 安阳期末）如图，B，C两点把线段AD分成2：4：8三部分，点E是AD的中点，CD＝16，求EC的长．
【考点】两点间的距离．版权所有
【分析】根据AB：BC：CD＝2：4：8，设AB的长度为2a，由CD＝16，求出a的值，再由线段间的关系即可求出结论．
【解答】解：设线段AB长度为2a，则BC＝4a，CD＝8a，
∵CD＝16＝8a，
∴AB＝2a＝4，BC＝4a＝8，
EC＝AE﹣AB﹣BCAD﹣AB﹣BC（4+8+16）﹣4﹣8＝2．
答：EC的长度为2．
15．（丰都县期末）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3 ；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是 18 ；
（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x值．
【考点】两点间的距离；数轴；绝对值．版权所有
【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18．
（2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；
数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18．
故答案为：3，18．
（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，
则|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3．
16．（桥东区校级期中）观察图，回答下列问题：
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
【考点】角的概念．版权所有
【分析】解答此题首先要弄清楚题目的规律：当角内有n条射线时，每条射线都与（n﹣1）条射线构成了（n﹣1）个角，则共有n（n﹣1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为：，可根据这个规律，直接求出（1）（2）（3）的结论；
在解答（4）题时，首先要弄清图中共有多少条射线，已知角内共n条射线，那么图中共有（n+2）条射线，代入上面的规律，即可得到所求的结论．
【解答】解：由分析知：
（1）①图中有2条射线，则角的个数为：1（个）；
（2）②图中有3条射线，则角的个数为：3（个）；
（3）③图中有4条射线，则角的个数为：6（个）；
（4）由前三问类推，角内有n条射线时，图中共有（n+2）条射线，则角的个数为个．
17．（2024秋 鹿寨县期末）某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
【考点】钟面角．版权所有
【分析】根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，可列方程求解．
【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x＝180﹣120，
解得x≈11；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y＝180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟．
故选：C．
18．（沧州期末）如图，是小明家（图中点O）和学校所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．
①请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；
②若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
【考点】方向角．版权所有
【分析】①根据方向角定义及图中线段的长度即可得知；
②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA＝2cm可知图中1cm表示200m，再根据OB、OP的长即可得．
【解答】解：①商场在小明家 北偏西30° 方向，距离2.5cm位置；
学校在小明家 北偏东45°方向，距离2cm位置；
公园在小明家 南偏东60°方向，距离2cm位置；
停车场在小明家 南偏东60°方向，距离4cm位置；
②∵学校距离小明家400m，且OA＝2cm，
∴图中1cm表示200m，
∴商场距离小明家2.5×200＝500m，
停车场距离小明家4×200＝800m．
19．（2024秋 巨野县期末）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝60°，∠BOE∠BOC，∠BOD∠AOB，则∠DOE＝ （） °．（用含n的代数式表示）
【考点】角的计算；列代数式．版权所有
【分析】根据各个角之间的关系，设∠BOE＝x°，表示∠BOC、∠AOB、∠BOD，进而求出∠DOE的大小即可．
【解答】解：设∠BOE＝x°，
∵∠BOE∠BOC，
∴∠BOC＝nx°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝60°+nx°，
∵∠BOD∠AOB（60°+nx°）x°，
∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOEx°﹣x°（）°，
故答案为：（）．
20．（2024秋 渭滨区期末）如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】根据条件可求出∠COD的度数，利用角平分线的性质可求出∠MOC与∠DON的度数，最后根据∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC∠AOC＝15°，∠DON∠BOD＝30°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝135°
21．（2024秋 和平区校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）按以下条件画图并完成探究：
探究一：当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜70）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由；
探究二：当∠COD从图1所示位置绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜140，且n≠30，n≠110）时，是否存在n使得∠AOD+∠EOF＝5∠COD，若存在请求出n的值，若不存在，请说明理由．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF求解；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意得：∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，∠AOC＝110°+n°，∠BOD＝n°+30°，再运用角平分线定义即可求得答案；
探究二：分三种情况讨论：①当0＜n＜30时，②当30＜n＜110时，③当110＜n＜140时．
【解答】解：（1）如图1，当OB、OC重合时，
∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝110°，∠BOD＝∠COD＝30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOE∠AOC＝55°，∠BOF∠BOD＝15°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝55°+15°＝70°；
（2）探究一：∠AOE﹣∠BOF的值是定值．理由如下：
如图2，∵∠AOB＝110°，∠COD＝30°，∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝110°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝n°+30°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BODn°+15°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°n°）﹣（n°+15°）＝40°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值为40°，是定值；
探究二：
①当0＜n＜30时，如图3，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝30°﹣n°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝110°+30°﹣n°＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠BOF∠BOD＝15°n°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠BOC+∠BOF＝（55°n°）+n°+（15°n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
②当30＜n＜110时，如图4，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝110°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOC∠AOC＝55°n°，∠DOF∠BODn°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠COD+∠DOF＝（55°n°）+30°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60，符合题意；
③当110＜n＜140时，如图5，∠BOC＝n°，∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝n°﹣110°，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝n°﹣30°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝110°﹣（n°﹣30°）＝140°﹣n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOA∠AOCn°﹣55°，∠DOF∠BODn°﹣15°，
∴∠EOF＝∠EOA+∠AOD+∠DOF＝（n°﹣55°）+140°﹣n°+（n°﹣15°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝5∠COD，
∴140°﹣n°+70°＝5×30°，
解得：n＝60（不符合题意，舍去）；
综上所述，n的值为60．
22．（2024秋 市中区校级期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，进而求出即可；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，则∠APF＝∠DPF＝2x+y，进而利用∠CPA＝60°求出即可；
（3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴．
23．（2023秋 中原区校级期末）如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；
当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 45° ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是 （ ）°或（ ）°或（ ）° ．
【考点】角的计算；规律型：图形的变化类．版权所有
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；
【解答】解：（1）解：如图所示．∠a＝45°，
故答案为：45°；
（2）解：如图所示．
∵α＜30°，
∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．
∵OA4平分∠A2OA3，
∴2（180°﹣6α）α＝4α，解得：α＝（ ）°．
（3）分三种情况：
①OA4和OA3都不从ON回弹时，如图2，
3α+4α＝20，
α＝（）°；
②OA4在OA2的右边时，如图3，
根据题意得：4α﹣2（180﹣6α）+20＝3α，
α＝（）°；
③OA4在OA2的左边时，如图4，
根据题意得：4α﹣2（180﹣6α）＝3α+20，
α＝（）°；
综上，对应的α值是（）°或（ ）°或（ ）°；
故答案为：（ ）°或（）°或（）°．
24．（大竹县校级期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ 25° ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC∠AOM，求∠NOB的度数．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数．
（2）根据OC是∠MOB的角平分线，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度数，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度数，从而可得∠CON的度数．
（3）由∠BOC＝65°，∠NOM＝90°，∠NOC∠AOM，从而可得∠NOC的度数，由∠BOC＝65°，从而得到∠NOB的度数．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON
＝130°﹣90°
＝40°．
∠CON＝∠COB﹣∠BON
＝65°﹣40°
＝25°．
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝180°﹣65
＝115°．
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON
＝115°﹣90°
＝25°．
∴4∠NOC+∠NOC＝25°．
∴∠NOC＝5°．
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
25．（鼓楼区校级月考）（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°．求∠AOC的度数．
（2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是 69°或39°或21°或9° ．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）因为射线OC的位置不明确，所以分：①射线OC在∠AOB的外部，②射线OC在∠AOB的内部，两种情况进行讨论求解；
（2）由于角的大小不同，以及角的位置可能不同，需要分为四种情况进行讨论．
【解答】解：（1）①如图1，射线OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+20°＝80°；
②如图2，射线OC在∠AOB的内部时，
∵∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣20°＝40°．
综上所示，∠AOC的度数为：80°或40°．
（2）由题意，∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况：
①如图（1）：∠COD＝∠AOB+∠BOC+∠AOD＝69°．
②如图（2）：∠COD＝∠AOB﹣∠AOD+∠BOC＝39°；
③如图（3）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC+∠AOD＝21°；
④如图（4）：∠COD＝∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD＝9°．
故答案为69°或39°或21°或9°．
26．（花都区期末）将一副三角板ABC和三角板BDE（∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝60°）按不同的位置摆放．
（1）如图1，若边BD、BA在同一直线上，则∠EBC＝ 150° ；
（2）如图2，若∠EBC＝165°，那么∠ABD＝ 15° ；
（3）如图3，若∠EBC＝120°，求∠ABD的度数．
【考点】角的计算．版权所有
【分析】（1）由∠EBC＝∠DBE+∠ABC，可得结果；
（2）由∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE，可得结果；
（3）由∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC可得结果．
【解答】解：（1）∠EBC＝∠DBE+∠ABC＝90°+60°＝150°；
故答案为：150°；
（2）∠ABD＝∠CBE﹣∠ABC﹣∠DBE＝165°﹣90°﹣60°＝15°；
故答案为：15°；
（3）∠ABD＝∠ABC+∠DBE﹣∠EBC＝90°+60°﹣120°＝30°．
∴∠ABD的度数为：30°．
27．（2025春 绥棱县期末）尺规作图：已知∠AOB，求作∠A′O′B′．使∠A′O′B′＝∠AOB．（保留作图痕迹，写出作法）
【考点】作图—基本作图．版权所有
【分析】①以点O为圆心，以任意长度为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．②画射线O′M．③以点O′为圆心，以OC为半径画弧，交O′M于点B′．④以点B′为圆心，以CD为半径画弧，与已知画的弧交点与点A′．⑤作射线O′A′，作∠A′O′B′即为所求；
【解答】解：如图∠A′O′B′即为所求；
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
28．（长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD．
（1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 北偏东64° 方向，射线OC表示 北偏西26° 方向．
（2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝ （90﹣n） °．（用n表示）
【考点】作图—基本作图；列代数式；方向角．版权所有
【分析】（1）根据方向角的定义判断即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，OC，OD即为所求；
∵∠AON＝52°，∠AOB＝180°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝128°，
∵OC平分∠BON，OD平分∠AON，
∴∠BOC64°，
26°，
∴90°﹣26°＝64°，
∴射线OD表示北偏东64°方向，
射线OC表示北偏西26°方向．
故答案为：北偏东64°；北偏西26°；
（2）根据旋转可知，∠MON＝n°，∠AON＝52°，
∵OD平分∠AON，
∴∠NOD26°，
由①知，∠BOC64°，∠BON＝128°，
∴∠DON＝∠NON′﹣∠N′OD＝n°﹣26°＝（n﹣26）°，
∴∠COD＝∠BON﹣∠DON＝128°﹣64°﹣（n﹣26）°＝（90﹣n）°．
故答案为：（90﹣n）．
