第一章 特殊平行四边形章末复习压轴培优50题
【压轴核心要点归纳】
题型1：选择题（快速识别知识点）
常见考向：
判断四边形类型：例如，给定对角线长度或角度，判断是矩形、菱形或正方形。
性质应用：如考察对角线性质（矩形对角线相等 vs 菱形对角线垂直）。
推理错误：选项包括常见误解，如“所有角相等的平行四边形是菱形”（错误，应为矩形）。
例题示例：
题干：一个平行四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是？
选项：A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
答案：C (依据正方形判定定理)
解题策略：
回顾定义和性质表；优先检查是否满足特殊平行四边形的“必要条件”和“充分条件”。
时间控制：选择题应在1-2分钟内完成，可用排除法。
题型2：填空题（计算与填空）
常见考向：
几何计算：如给定边长或对角线长，求面积或周长（例如，菱形对角线分别为6cm和8cm，求面积）。
参数求解：如已知矩形一角为直角，求其他角度或边长。
综合填空：结合实际问题，如“矩形的长是宽的2倍，对角线长为10cm，则宽为____cm”。
例题示例：
题干：一个菱形的周长为20cm，其中一条对角线为6cm，则另一条对角线长为____cm。
解题：菱形边长为5cm（20÷4），对角线互相垂直，用勾股定理得另一对角线为8cm。
解题策略：
画图辅助；熟练应用勾股定理（如a + b = c 在直角三角形中）。
单位检查：答案务必带单位（如cm）。
题型3：解答题（证明与应用）
常见考向：
证明题：占压轴题重点，如“证明某四边形是矩形/菱形/正方形”，需写出完整推理步骤。
应用题：结合实际场景，如设计图型或优化问题（例如，用矩形地砖铺地，求最小成本）。
开放探究：如分析不同四边形的对称性差异。
例题示例：
题干：在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，连接BE、DF，若AB=BE=AE。
求证：四边形EBFD是菱形。
解题思路：先证平行四边形性质，再用菱形的判定即可求解。
解题策略：
步骤分点：证明题需写出“已知”、“求证”、“证明”三部分；逻辑严谨。
时间分配：压轴题通常10-15分钟，优先确保关键步骤（如应用判定定理）。
易失分点：忽略前提条件（如未先证平行四边形）。
【备考策略】
重点强化：优先掌握判定定理和性质，多做证明题训练。
错题整理：记录常见陷阱（如对角线性质的混淆）。
跨章关联：本单元与勾股定理、相似三角形等章节结合命题。
【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题）
一、单选题【共20小题】
1．如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（ ）
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
2．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论： ； ； ； ； ，其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣．以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理．如图，作斜边上的高，连接，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．7
8．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
11．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
14．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（）
A． B．3 C． D．2
19．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
20．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题【共20小题】
21．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则 ．
22．如图，已知菱形，，E为的中点，P为对角线上一点．若，则的最小值为 ．
23．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
24．如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是 ．
25．发现新知：如图，有一张直角三角形纸片，，，，小辉想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线，剪下时，所得的矩形的面积最大．知识应用：如图，在五边形中，，，，，．小辉从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），所得的矩形的面积最大为 ．
26．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为 ．
27．如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数）
28．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．
（1）当平分时，若，则 ．
（2）当点G恰为中点时，则 ．
29．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
30．如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点逆时针旋转至，使得点落在对角线上的处，连结，点分别为中点，连接，若，，则 ．
31．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则 ．
32．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ．
33．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为
34．在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为 ．
35．如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ．
36．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ．
37．如图，在矩形中，，，点、分别为边、上的动点，且，在的右上方作等边，则的最小值为 ．
38．如图，在菱形中，，点E为边上一点．以点E为顶点在右侧作，射线交于点F，过点A作交射线于点H，连接在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形面积为 ．
39．如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个．
40．如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接．
（1）当E是的中点时，的长为 ；
（2）的最小值为 ．
三、解答题【共10小题】
41．在等腰中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得，连接交于点．
(1)如图1，若，当点移动到中点时，若，求线段的长度；
(2)如图2，取的中点，连接．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在（2）的基础上；若，当时，连接，与交于点， ，直接写出的值___________．
42．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F．
【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案）
（2）如图②，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由．
43．【问题初探】
在数学课上，小李老师给出如下问题，如图1，△ABC中，为等边三角形，，求的长．
思路1：如图2，小明同学由入手，以为边构造等边，得到与 全等的三角形，转移边和角，从而求出的长．
思路2：如图3，小刚同学通过度量发现，，由，想到构造与全等的三角形，转移边和角，从而求出的长．
（1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程；
【学以致用】小李老师接着又给出下一问题，
中，中，，，求的长．
44．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处．
(1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论：
(2)如图2，延长交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长
45．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为
【特例探究】（）如图，连接，与交于点，当点三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）．
（）如图，为的中点，点恰好落在边上．①直接写出四边形的形状：________，________（填“”“”或“”）
②延长交于点，判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】（）如图，将矩形纸片更换为平行四边形，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时直接写出的值．
46．综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．
【问题情境】
正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，．
【初步探究】
（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数；
【深入探究】
（2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；
【拓展延伸】
（3）请你借助图4进一步探究：
①当时，α与β之间的等量关系为 ；
②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ．
47．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点．
(1)如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________；
(2)如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长；
(3)如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
48．如图，正方形中，G是延长线上的一点，E是线段上的一点，平分，连接，．
(1)如图1，当E在边上时，求证．
(2)如图2，当E在边延长线上时，连接交延长线于点F，连接，请直接写出之间的数量关系
(3)在（2）的条件下，当，时，求的长．
49．综合与探究
问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接．
【初步探究】
（1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ．
【深入分析】
（2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长．
50．问题发现：
（1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________．
问题探究：
（2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值．
问题解决：
（3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值．第一章 特殊平行四边形章末复习压轴培优50题
【压轴核心要点归纳】
题型1：选择题（快速识别知识点）
常见考向：
判断四边形类型：例如，给定对角线长度或角度，判断是矩形、菱形或正方形。
性质应用：如考察对角线性质（矩形对角线相等 vs 菱形对角线垂直）。
推理错误：选项包括常见误解，如“所有角相等的平行四边形是菱形”（错误，应为矩形）。
例题示例：
题干：一个平行四边形的对角线互相垂直且相等，则该四边形是？
选项：A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
答案：C (依据正方形判定定理)
解题策略：
回顾定义和性质表；优先检查是否满足特殊平行四边形的“必要条件”和“充分条件”。
时间控制：选择题应在1-2分钟内完成，可用排除法。
题型2：填空题（计算与填空）
常见考向：
几何计算：如给定边长或对角线长，求面积或周长（例如，菱形对角线分别为6cm和8cm，求面积）。
参数求解：如已知矩形一角为直角，求其他角度或边长。
综合填空：结合实际问题，如“矩形的长是宽的2倍，对角线长为10cm，则宽为____cm”。
例题示例：
题干：一个菱形的周长为20cm，其中一条对角线为6cm，则另一条对角线长为____cm。
解题：菱形边长为5cm（20÷4），对角线互相垂直，用勾股定理得另一对角线为8cm。
解题策略：
画图辅助；熟练应用勾股定理（如a + b = c 在直角三角形中）。
单位检查：答案务必带单位（如cm）。
题型3：解答题（证明与应用）
常见考向：
证明题：占压轴题重点，如“证明某四边形是矩形/菱形/正方形”，需写出完整推理步骤。
应用题：结合实际场景，如设计图型或优化问题（例如，用矩形地砖铺地，求最小成本）。
开放探究：如分析不同四边形的对称性差异。
例题示例：
题干：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC中点，连接BE、DF。若若AB=BE=AE，
求证：四边形EBFD是菱形。
解题思路：先证平行四边形性质，再利用菱形的判定即可求解。
解题策略：
步骤分点：证明题需写出“已知”、“求证”、“证明”三部分；逻辑严谨。
时间分配：压轴题通常10-15分钟，优先确保关键步骤（如应用判定定理）。
易失分点：忽略前提条件（如未先证平行四边形）。
【备考策略】
重点强化：优先掌握判定定理和性质，多做证明题训练。
错题整理：记录常见陷阱（如对角线性质的混淆）。
跨章关联：本单元与勾股定理、相似三角形等章节结合命题。
【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题）
一、单选题【共20小题】
1．如图，在中， 是的中点，， 与交于点， 且． 下列说法错误的是（ ）
A．的垂直平分线一定与相交于点
B．
C．当为中点时，是等边三角形
D．当为中点时，
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键．连接，由，是的中点， 根据直角三角形斜边上的中线性质可得， 证得， 从而得到点在线段的垂直平分线上，即可判断A选项； 设， 根据， 得到， 从而得到， 根据， 得到， 从而得到， 即可判断B选项； 当为中点时，则， 结合， 得到是线段的垂直平分线， 从而得到， 根据，，， 证得， 即可判断C选项；当为中点时，是等边三角形， 易证， ，得到，从而证得，即可判断D选项．
【详解】解：如图所示， 连接，
，是的中点，
为斜边上的中线，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上， 即的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意；
设，
，
，
，
，
，
， 即，故选项B正确，不符合题意；
当为中点时，则，
，
是线段的垂直平分线，
，
，，，
，
，
是等边三角形，故选项C正确，不符合题意；
当为中点时，是等边三角形，
，平分，
， ，
，
又点为的中点，
，
，
，
，，
，
，即， 故选项D不正确，符合题意．
故选：D ．
2．在正方形中，点，分别为边和上的动点（不含端点），，下列四个结论：①；②若时，则；③若时，则的周长为2；④若，，则的面积为9．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①将绕点A顺时针旋转得，证明，再利用四边形内角和及邻补角关系，可证得结论；②先根据正方形的性质以及，易得，则，用勾股定理列式计算，可得答案；③由，可得，从而将的三边相加即可得答案；④设正方形的边长为，则，，利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，可证得结论．
【详解】解：①如图，
将绕点A顺时针旋转得，
∴，
∴
∵
则，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵不一定等于，
则不一定等于，故①不符合题意；
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
故②符合题意；
③∵四边形是正方形，，
∴，
由①得，
∴，
∴的周长为：，
则的周长为2；
故③符合题意；
④设正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
则，，
根据解析③可知，，
在中，，
即，
解得：或（舍去），
∴，故④符合题意；
故选：C．
3．如图，正方形的边长为4，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是边上的中点，
∴，
由翻折的性质得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用底边的比求三角形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
4．如图，在正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点．下列结论： ； ； ； ； ，其中结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得：，，根据等边三角形的性质可得：，利用可证，根据全等三角形的性质可证；根据全等三角形对应角相等可以求出，根据直角三角形两锐角互余可以求出；根据正方形的性质可知，根据等边三角形的性质可知；设，，可得：，，可知．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，
在和中，，
，
，
故正确；
四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
是的垂直平分线，
，
是正方形的对角线，
，
，
是等边三角形，是边上的高，
平分，
，
，
即，
故错误；
设，，则，，
是等边三角形，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：，(负值，舍去)，
，
，
，
故错误；
设，
则，
由可知，
则，
，
，
，
故正确；
综上所述，结论正确的是．
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、特殊三角形的边的关系、三角形中线性质、等边三角形的性质和三角面积公式，熟练掌握并利用相关知识点逐个进行证明是解决问题的关键．
5．勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣．以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理．如图，作斜边上的高，连接，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴设，，则，
∵斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
如图，过作交延长线于点， 则，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D．
6．如图，面积为8的正方形中，点为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，连接．当时，的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形性质可得，，，由旋转的性质可得，， 证明，从而得到，，继而得到，再由勾股定理可得，然后设设，则，，，然后根据勾股定理，再解方程即可求解．
【详解】解：连接，
正方形的面积为8，设正方形的边长为，
，
解得，
则正方形的边长为，
对角线，
绕点顺时针旋转90°得到，
，
又，
所以，
又，
所以，
且，设，则，
在中，，，，
由，得，
解得，（负值舍去），
，
故选：A．
7．如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．7
【答案】C
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键．
当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知，
由矩形的性质知，，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得，即的长为．
故选：C．
8．如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点M，N分别是的中点，连接，若，则MN的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：连接并延长交于P，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点E，F分别是边的中点，，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴．
故选：C．
9．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，等腰直角三角形以及等边三角形的判定和性质等知识，求出当时，的长度最小是解答本题的关键．线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，首先证明，得到，则当时，的长度最小，然后设，，则，求出，可得是等腰三角形，再证明是等边三角形，求出，进而求出的度数．
【详解】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接，如图所示：
∴，，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
，
，
，
则当时，的长度最小，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即，
，
故选：B．
10．如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】连接交于M，由矩形的性质和勾股定理可求出；由等边三角形的性质得到，则可证明垂直平分，得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由垂线段最短，可知当时，有最小值，则此时．
【详解】解：如图所示，连接交于M，
\
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴；
∵垂线段最短，
∴当时，有最小值，
∴此时为直角三角形，其中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上性质是解题的关键．
11．如图，正方形中，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，连接并延长交于点．线段与交于点G，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据正方形和翻折的性质证明，根据勾股定理及等面积法求出相关线段的长度，然后进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
由翻折的性质得，垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
由等面积法得，
∴，
∴，
故选：A．
12．如图，正方形的边长为6，点E，F是边上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若折痕，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，证明，得出，然后利用勾股定理求出，假设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
由翻折的性质得，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
假设，则，
由勾股定理得，
即
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，列方程解决几何问题，解题的关键是掌握以上性质．
13．如图，已知矩形的边，，为边上一点．将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先由折叠的性质得出，则F，M，C三点共线，再由勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解．
【详解】解：如图所示连接，．
∵将沿所在的直线翻折，点恰好落在边上的点处，
∴垂直平分线段，
∴，
又∵，
∴F，M，C共线，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∵N是的中点，M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质求线段长，矩形与折叠问题等知识，解题关键是添加适当的辅助线，构造三角形中位线求解．
14．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解．
【详解】解：四边形是正方形，
， ，
，
，
，，，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
，
，
，
，
，
，
故④正确；
在上截取，连接，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
，，
，
，
，
故②正确；
综上所述，正确的结论有4个，
故选：．
15．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中正确的有（ ）个
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①先由得到，接着就可以证明，最后由全等三角形的性质“对应边相等”，可知①是符合题意的；
②先由得到，接着就可以证明，得到，求出，就可以求出的度数，可知②是符合题意的；
③过点作，证明，然后分别找出
与的关系，就可以求出的比，可知③是符合题意的；
④设，由，得到，所以．又由三角形全等和中线的性质，可以得到，从而得到，可知④是符合题意的．
【详解】解：①，
，
，
又，
．
，
，
，
在和中，
，
，
，故①符合题意；
②，
，
，
．
在和中，
，
，
，
．
，
且，
，
故②符合题意；
③如图，过点作，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
．
又由②得是等腰直角三角形，
，
，
，
．
，
故③符合题意；
④设，
，
，
，
，
，
．
点是的中点，
，
，
，故④符合题意．
综上所述，正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中线的性质以及三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
16．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴由勾股定理得，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故①正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即的值为定值4，故③正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故④正确；∴正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
17．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，证明，可得，，结合已知可得点和点重合，由菱形的性质，结合，可得是等边三角形，是等边三角形，可得，以及的长度，连接，由菱形的性质，结合等腰三角形的性质，可得，由平行线的性质可得，从而可得，可得，以及的长度，由勾股定理可得，根据勾股定理可得的长．
【详解】解：连接，交于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴点和点重合，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，在的延长线上，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故选：A．
18．如图，点E，F，P在正方形的边上，垂直平分交于N，连接，，，则的长度为（）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，过N作于G，连接，利用正方形的性质可判定是等腰直角三角形，求出，证明四边形是矩形可得出，则，利用证明，得出，从而可证明是等腰直角三角形，进而可求出，利用含角的直角三角形性质得出，即可求解，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：过作于G，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
，，即，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
∴，
故选：A．
19．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：过E作于N，过E作于G，
∵正方形，
∴平分，
∴四边形是矩形，，
∴四边形是正方形，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
20．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，为边上一个动点（不与点，重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】当是等腰三角形时，分两种情况，情况一、当时，过点作，根据矩形的性质和，可知是等边三角形，利用勾股定理可以求出，，，根据即可求出结果；情况二、当时，利用勾股定理可以求出，根据即可求出结果．
【详解】解：如下图所示，当时，
过点作，
则，
四边形是矩形，
，
，
又，
是等边三角形，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
由折叠可知，
；
如下图所示，当时，
过点作，
可知，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，的长是或．
故选：D．
二、填空题【共20小题】
21．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．则 ．
【答案】4
【分析】作交于点，交于点，结合正方形的性质，得到，然后证明，得到，那么四边形为正方形，然后证明，得到，那么，然后利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，作交于点，交于点，
四边形为正方形,
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，，
，
，
，
故答案为：4．
22．如图，已知菱形，，E为的中点，P为对角线上一点．若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵P为对角线上一点，
∴关于对称，
∴，
∴，
如图，连接，与交于点P，连接，此时取到最小值为，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵E为的中点，
∴，，
∵E为的中点，，
∴，
∴，
∴的最小值为：．
故答案为： ．
23．如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】9
【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
24．如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是 ．
【答案】或2
【详解】解：①当时，如图，连接，
∵点P是的中点，，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P，E，D三点共线，
∵，
∴，
设，则，
在和中，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∵点P是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
综上所述：的长为或2．
故答案为：或2．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
25．发现新知：如图，有一张直角三角形纸片，，，，小辉想从中剪出一个以为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线，剪下时，所得的矩形的面积最大．知识应用：如图，在五边形中，，，，，．小辉从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），所得的矩形的面积最大为 ．
【答案】108
【详解】解：延长交于点，延长交于点，延长交于点，取中点，的中点，连接，过点作于，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴中位线的两端点在线段和上，
∴，
由题意知，矩形的最大面积为，
故答案为：108．
26．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答．
【详解】解：如图：将逆时针旋转得，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
27．如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数）
【答案】4
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，故（1）正确；
如图所示，过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，则四边形是矩形，四边形是矩形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
同理可证四边形是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，故（3）正确；
又∵，
∴垂直平分．
连接，，
∴．
又∵，，
∴，
∴，故（2）正确；
∵，．
又∵不一定等于，
∴不一定等于，故（4）错误；
如图所示，过点作于，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，故（5）正确，
∴正确的结论有4个，
故答案为：4．
28．如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接．
（1）当平分时，若，则 ．
（2）当点G恰为中点时，则 ．
【答案】 4 3
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，，
∴，
，
，
在中，，
∴，
设，，
在中，，
∴，解得：，
∴，
故答案为：4；
（2）如图：延长与交于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点G为中点，
∴，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
29．如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，分别为，的中点，
，
当有最小值时，有最小值，
当时，有最小值，
四边形是菱形，
，，
当时，，
的最小值，
的最小值为．
故答案为：．
30．如图，在矩形中，对角线与交于点，将绕点逆时针旋转至，使得点落在对角线上的处，连结，点分别为中点，连接，若，，则 ．
【答案】/
【详解】解：四边形为矩形，
，
，
将绕点逆时针旋转至，
，，
，
以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
设，
，
解得（负数舍去），
，
，，
，
，
，
点分别为中点，
，
即，
，故答案为：
31．如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，当的最小值为时，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于，的延长线交于点，过点作于，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点在边上移动时，点在射线上移动，
∵点是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
即，
作点关于的对称点，连接，交于点，如图，则，，
∴，
由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为线段的长，即为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
32．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ．
【答案】
【详解】解：设，
∵四边形为矩形，，
，，，
为中点，
，
由翻折可得：，，，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图：
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
∴，，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得
∴直线解析式为，
令得，
，
∴，
，
；
故答案为：，．
33．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点是上任意一点，点是上任意一点，若，，设点的横坐标为，则的值为
【答案】96
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵点的横坐标为，
∴，，
∵，
∴；
如图，设和的垂直平分线交于点，连接、、，
则，
∴，，
∴
，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
∴的值为96．
故答案为：96．
34．在正方形中，E为上一点，作的垂直平分线交于点F，交于点G，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点G作于点H，证明，连接，设，，，利用勾股定理解答即可.
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
【详解】解：过点G作于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
连接，
∵作的垂直平分线交于点F，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴
设，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
35．如图，在正方形中，点在对角线上，过点分别作于点，于点，连接，．过点作交于点，若，，则正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】连接，，根据题意及正方形的性质，证得四边形是平行四边形，得到，，进而证明四边形是矩形，得到，， 从而得到，结合，得到， 根据正方形的对称性得到，， 进而根据角和边的等量代换证得，，从而得到是等腰直角三角形， 已知的长，根据勾股定理可求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，从而可解得正方形的边长．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
是正方形的对角线， 即也是正方形的对称轴，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，， 即，
（负值已舍去），
，
即正方形的边长为．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键．
36．如图，在矩形 中，点为中点，连接，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得，延长交于点，延长交于点，交延长线于点，连接，若，，则 ， ．
【答案】
【详解】解：设，
∵四边形为矩形，，
，，，
为中点，
，
由翻折可得：，，，，
，
∵，
，
，
，
，
，
解得，
，
以B为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，过F作交于M，交于N，作于R，如图：
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，，
∴，，
，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
，
解得
∴直线解析式为，
令得，
，
∴，
，
；
故答案为：，．
37．如图，在矩形中，，，点、分别为边、上的动点，且，在的右上方作等边，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，作射线，延长至点E，使，连接，，根据证明，得出，根据证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值，最小值为，最后在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：作射线，延长至点E，使，连接，，
∵ 等边三角形，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
当、、三点共线时，取最小值，最小值为，
∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴在中，，，
即的最小值为，
故答案为：．
38．如图，在菱形中，，点E为边上一点．以点E为顶点在右侧作，射线交于点F，过点A作交射线于点H，连接在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形面积为 ．
【答案】15
【分析】此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键；
作出辅助线，依题意当与重合，再根据，进而得到线段扫过的图形为，再利用勾股定理分别求出，根据全等得，再次运用勾股定理求出，据此可求出的面积即可得出答案．
【详解】解：连接交于点O，过点A作交于点P，作直线交于K，过点A作交于Q，如图所示：
设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴
，
∴当点H与点P重合，
∴与重合，
∵，作
∴，
∴点H在直线CP上运动，当点E与点C重合时，点H与点Q重合，
∴与重合，
∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形为，
∵，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即直线，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
∴
解得：，
∴，
∴
∴，
∴
∴在点E从点B运动到点C的过程中，线段扫过的图形的面积是
故答案为：
39．如图，菱形与菱形中，E，F在上，，下列结论：①；②；③；④，正确的有 个．
【答案】4
【分析】此题主要考查了菱形的性质，二次根式的混合运算以及勾股定理等知识．
利用菱形的对角线平分对角，结合，，利用勾股定理，表示出，的长，进而即可解决问题．
【详解】解：过点E作于点M，连接交于点O，如图所示：
∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，，
∴，，
∴和都是等边三角形，
设菱形的边长为，
∴，，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
则在中，，则，
那么，
∴，
在中，，则，
∴，故②正确；
那么，则，，
∴，
故③正确；
设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个，
故答案为：4．
40．如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接．
（1）当E是的中点时，的长为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称图形的性质求最短路径，掌握正方形的性质，轴对称图形的性质，构造合理的辅助线是关键．
（1）根据正方形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质即可得到；
（2）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线的性质，得到，结合，得到，如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接，得到，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，，
∵以为边在直线左侧作正方形，
∴，
∵点分别是的中点，
∴；
（2）解：如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接，
在中，是中点，则，
又，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，点在线段上运动，
∵作点关于的对称点，
∴，
∴，
在中，，则，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：①；② ．
三、解答题【共10小题】
41．在等腰中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得，连接交于点．
(1)如图1，若，当点移动到中点时，若，求线段的长度；
(2)如图2，取的中点，连接．猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在（2）的基础上；若，当时，连接，与交于点， ，直接写出的值___________．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，，证明，得到；
（2）延长至点，使，连接，得到为的中位线，，证明，即可得到；
（3）延长至点，使，连接，连接交于，由（2）得；，证得为等边三角形，，得到，则、、三点共线，由（2）得为的中位线，根据，证得，求出，再证得四边形为矩形，得到，，，推出，再证明，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，点为中点，
∴，，
∴，
由旋转得，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：猜想，理由如下：
延长至点，使，连接，
又∵点为中点，
∴为的中位线，，
∵，，
∴，
∴，即，
又∵，且旋转得，
∴，
∴；
（3）如图，延长至点，使，连接，连接交于，
由（2）得；，
∵，，，
∴，，
又∵，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，则、、三点共线，
由（2）得为的中位线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴，
，，
∵为等边三角形，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
42．综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图①，在矩形中，．将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，过点E作交直线于点F．
【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案）
（2）如图②，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）正方形；（2）；（3）存在，的长为或
【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可证明；
（2）作于G，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，然后根据即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点E在上时；当点E在的延长线上时，利用矩形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，
∵四边形是矩形，
∴，
∵将边绕点A逆时针旋转（）得到线段，
∴，
∴此时点在上，
∵，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）如图2，作于G，
由旋转得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）存在θ，使点F，E，D三点共线，理由如下：
如图，当点E在上时，连接，
∵，
∴，
∴，
设，则，
根据旋转的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：；
如图，当点E在的延长线上时，
同理，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
43．【问题初探】
在数学课上，小李老师给出如下问题，如图1，△ABC中，为等边三角形，，求的长．
思路1：如图2，小明同学由入手，以为边构造等边，得到与 全等的三角形，转移边和角，从而求出的长．
思路2：如图3，小刚同学通过度量发现，，由，想到构造与全等的三角形，转移边和角，从而求出的长．
（1）请你选择一名同学的解题思路，写出解题过程；
【学以致用】小李老师接着又给出下一问题，
（2）中，中，，，求的长．
【答案】（1），过程见解析；（2）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）思路1：在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；再证明，得到，求出，得到，则；
思路2：延长到G，使得，连接，证明，得到；求出，得到，则，即可得到；
（2）作，且使得，连接，证明，得到；过点E作交延长线于F，则，可得，；过点E作交延长线于G，则四边形是矩形，据此求出的长，再利用勾股定理求出的长就可得到答案．
【详解】解：（1）思路1，如图所示，在上截取，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
思路2：如图所示，延长到G，使得，连接，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，作，且使得，连接，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图所示，过点E作交延长线于F，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点E作交延长线于G，
∴；
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
44．在正方形中，点E是上一动点，连接，将正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处．
(1)如图1，分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论：
(2)如图2，延长交于点G，求证：；
(3)如图3，在（2）条件下，延长交于点H．若，，求的长
【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、勾股定理的应用；
（1）由折叠的性质得，再由分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，可得，，从而得出四边形是四边相等的四边形，所以四边形是菱形；
（2）由折叠的性质得，利用同角的余角相等可得，即可找到三角形全等的条件；
（3）连接，由三角形全等和折叠性质可得，，，再结合平行线的性质可得出，从而得出，，最后利用建立方程求解即可.
【详解】（1）解：四边形是菱形，证明如下：
∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处，
∴，
∵分别以点C，F为圆心，以，为半径画弧，两弧交于点P，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵正方形沿着折叠，点C落在正方形内部的点F处，
∴，
∴，，
∴，
在和中
∴
（3）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
由折叠得，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
故的长为
45．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为
【特例探究】（）如图，连接，与交于点，当点三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）．
（）如图，为的中点，点恰好落在边上．①直接写出四边形的形状：________，________（填“”“”或“”）
②延长交于点，判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】（）如图，将矩形纸片更换为平行四边形，，，为的中点，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时直接写出的值．
【答案】（）或（任选一个）；（）①菱形，；②，理由见解析；（）或
【分析】（）根据折叠的性质和余角性质解答即可求解；
（）①由折叠的性质和等腰三角形的判定可得，即得四边形是菱形，进而根据为的中点可得，即得，即可得；②连接，即可求解；
（）分和，分别画出图形，根据折叠的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】解：（）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可得，，，
∵点三点共线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴与相等的角为或，
故答案为：或（任选一个）；
（）①由折叠可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵为的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：菱形，；
②，理由如下：
连接，
由折叠可得，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（）当时，如图，垂足为点，过点作于，连接交于，
∵，四边形是平行四边形，
∴，，，，
由折叠可得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，垂足为点，延长交于点，
由折叠可得，，，，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，当所在直线垂直于平行四边形的一边所在直线时，的值为或．
46．综合与实践﹣﹣探究图形中角之间的等量关系及相关问题．
【问题情境】
正方形中，点P是射线上的一个动点，过点C作于点E，点Q与点P关于点E对称，连接，设，．
【初步探究】
（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了时的情形，射线与边交于点F．他们得出此时α与β的关系是．借助这一结论可得当点Q恰好落在线段的延长线上(如图2)时，求α，β的度数；
【深入探究】
（2）敏学小组的同学画出时的图形如图3，射线与边交于点G．请猜想此时α与β之间的等量关系，并证明结论；
【拓展延伸】
（3）请你借助图4进一步探究：
①当时，α与β之间的等量关系为 ；
②已知正方形边长为2，在点P运动过程中，当时，的长为 ．
【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3）①；②
【分析】（1）由平行线得出，证出，再根据，即可得出结果；
（2）连接，由对称的性质和等腰三角形的性质得出，证明，得出，，推导出，得出，即可得出结论；
（3）①，设交于点H，先推出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论；
②分三种情况：当时，，不合题意；当时，，得出，作于M，证出，，设，则，，得出方程，解得：，得出，在中，求出；当时，，得出，不合题意．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，点Q恰好落在线段的延长线上，
∴即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，；
（2）α与β的关系是；证明如下：
连接，如图3所示：
∵点Q与点P关于点E对称，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
（3）①当时，α与β之间的等量关系为；理由如下：
连接，设交于点H，如图4所示：
∵点Q与点P关于点E对称，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：；
故答案为：；
②当时，，不合题意；
当时，，
∵，
∴，
作于M，如图5所示：
∵，，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，不合题意；
综上所述，在点P运动过程中，当时，的长为；
故答案为：．
47．如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点．
(1)如图①，在探究线段与之间的数量关系时，小亮的方法是：过点分别作，，垂足分别为M，N．请你补全小亮的解题思路：先证明四边形是____________；再证明____________；即可得出线段与之间的数量关系是____________；
(2)如图②，延长交的延长线于点，且，连接，若，，求EF的长；
(3)如图③，过点的直线分别交于点M、N，且平分，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)正方形，，．
(2)13
(3)，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质以及角平分线的性质可得，可证四边形是正方形，再证明可得．
（2）由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得,，再由勾股定理即可求得；
（3）如图：过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明可得，即，再说明是等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，，
∵，，
∴，四边形是矩形，
∴是正方形，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：正方形，，．
（2）解：∵四边形是正方形，为对角线，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，，
由（1）知，,
∵
∴．
（3）解：，理由如下：
如图：过点C作交于Q，连接；
∵四边形为正方形，
∴，，；
∵，
∴四边形是平行四边形；
∴；
∵平分，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
48．如图，正方形中，G是延长线上的一点，E是线段上的一点，平分，连接，．
(1)如图1，当E在边上时，求证．
(2)如图2，当E在边延长线上时，连接交延长线于点F，连接，请直接写出之间的数量关系
(3)在（2）的条件下，当，时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)10
【分析】（1）过点作于点，则为等腰直角三角形，，设，则，由于，则由勾股定理得到，那么，整理得
，解得，故，证明，则，即可证明；
（2）过点E作交于T，连接，先证明，得到是等腰直角三角形，则，过点P作交延长线于N，于H，可得四边形是正方形，则；在射线上取一点M，使得，连接，先证明，再证明，则；然后证明，则，，那么，由，得到，即可证明；
（3）设，则，，，由勾股定理得，解得，则，；由勾股定理得，则，再由，得到，解得，则．
【详解】（1）证明：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
设，
则
∵，
∴，
∴，
，
∴或（舍），
∴，
∴，
∴和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：如图所示，过点E作交于T，连接，
由（1）可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
如图所示，过点P作交延长线于N，于H，
∵平分
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴；
如图所示，在射线上取一点M，使得，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）解：设，
∴，，
∴由（2）结论，，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理，二次根式的运算，因式分解的应用，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．
49．综合与探究
问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接．
【初步探究】
（1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则 ．
【深入分析】
（2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）的长为或
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理．
（1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数；
（2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形；
（3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求．
【详解】解∶（1）在菱形中，，且，
是等边三角形
，
已知点在线段的中垂线上，
，
，
由旋转的性质可知：，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是矩形．
理由∶由旋转可得，，，
在菱形中，，，，
，，
为等边三角形，
，，
点是中点，
，
又，，，
，
，
，
又，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形为矩形．
（3）的长为或．
理由：①当时，如图，
，
，
点为的中点，
为的中位线，
点为中点，
，
，
，
∴．
①当时，如图，
取中点为，连接，
∵点为中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设，则，，，
∵为中点，
∴
即，
解得：，
∴．
综上所述，的长为或．
50．问题发现：
（1）如图①，正方形的边长为8，对角线相交于点是上一点（点E不与重合），将射线绕点O逆时针旋转，所得射线与交于点F，则四边形的面积为________．
问题探究：
（2）如图②，点C为线段上一点，在上方作四边形，使，且，连接，若，求的最大值．
问题解决：
（3）口袋公园为西安增绿添彩，一草一木尽显匠心．某社区准备在小区内部建造一个口袋公园，图③为口袋公园的平面示意图，在四边形中，米．其中为步行小路，考虑到延长小路增加观赏时间，要求三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）米；
【分析】（1）如图1中，证明即可解决问题．
（2）先根据直角三角形斜边中线性质得出线段相等关系，推导角的度数，再结合等腰三角形性质和勾股定理确定相关线段长度，最后依据两点之间线段最短求出最大值．
（3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，首先证明，当最大时，的值最大．
【详解】解：（1）如图1中，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
．
（2）如图中，连接，，取的中点，连接，，延长到，在平面内取一点，连接、、，使得，延长到，
，，
，
∴，，，
∴，，
即，
，，
，
，
∵
∴，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴根据两点之间，线段最短得，
∴的最大值为．
（3）如图3中，将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，，三点共线，
，，
，
，
，
当最大时，的值最大，
取的中点，连接，．
（米，
，即（米
，，共线时，的值最大，最大值米．
