2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含部分答案)

2025-2026学年上海市宝山区淞谊实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组中的四条线段成比例的是（　　）
A. 2cm,3cm,4cm,5cm B. 2cm,3cm,4cm,6cm
C. 1cm,2cm,3cm,2cm D. 3cm,2cm,6cm,3cm
2.已知线段AB=2，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长是（　　）
A. B. C. D.
3.如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们的面积之比为（　　）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16
4.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，以下能推出DE∥BC的条件是（　　）
A. B.
C. D.
5.已知线段a、b、c，作线段x，使a：b=c：x，则正确的作法是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，点F是△ABC的角平分线AG的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点F，且∠ADE=∠C，下列结论中，错误的是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果，那么= ______．
8.如果一幅地图的比例尺为1：50000，那么实际距离是3km的两地在地图上的图距是______cm．
9.已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB=1：4，ED=2，那么边BC的长是 .
10.若线段b是线段a和c的比例中项，且a=1 cm，c=9 cm，则b=______cm．
11.如图，直线l1和直线l2分别与直线AD、BE、CF相交于点A、D、B、E、C、F，其中：AD∥BE∥CF，若AB：BC=2：3，DF=10，则EF的长为 .
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，如果S△AOB=2a，S△BOC=4a，那么S△ADC=______.（用含有字母a的代数式表示）
13.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是______．
14.如图，在△ABC中，已知线段EF经过三角形的重心G，EF∥AB，四边形ABFE的面积为15cm2，那么△ABC的面积为 cm2.
15.如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°，四边形DEGF是正方形，其中D、E分别在边AC、BC上，F、G在AB上，则正方形的边长是 .
16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=AB，点D在BC边上，PD=PC，则的值是______．
17.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC：AB=3：5，将△ABC绕点C旋转至△A′B′C，如果直线A′B′⊥AB，垂足记为点D，那么的值为 .
18.如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°.
按下列步骤作图：
步骤1：以点B为圆心，小于BC的长为半径作弧分别交BC、AB于点D、E；
步骤2：分别以点D、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M；
步骤3：作射线BM交AC于点F.
那么线段AF的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知=≠0，求代数式 （a+2b）的值．
20.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，．
（1）求证：EF∥CD；
（2）如果，AD=15，求DF的长．
21.(本小题10分)
如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．
22.(本小题10分)
已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，点E在AD的延长线上，BE=BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）过点C作CF∥BE交AE于点F，求证：AD2=AE AF．
23.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE=∠B，∠EAF=∠FDC，DE与AC交于点F.
（1）求证：；
（2）联结BF，如果AB2=AF AC，求证：AD BC=AE BF.
24.(本小题12分)
综合实践：
九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义
对于如图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形ABCD，得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，得到四边形A2B2C2D2.
图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形.图中，四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2都与四边形ABCD形状相同.我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心.
（1）填空：在如图中位似中心是点______.
（2）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），点P是第一象限内的一个点且点P的纵坐标是.联结PO、PB，如果把△POB沿OB翻折，所得四边形POP′B恰为菱形，若在直线x=1上存在点Q，使△QAB与△POB相似，求出点Q的坐标.
（3）若（2）中点Q位于x轴上方，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标.
25.(本小题14分)
在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是腰AD上的点，且.
（1）如图（1），点F是腰BC上的点，且，联结EF.
①求证：EF∥CD；
②若DC=2AB，联结DF，求的值.
（2）如图（2），若AD=BC=10，梯形ABCD的高是8，联结EB、EC，当△BCE是直角三角形时，求边AB的长.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】6
9.【答案】6
10.【答案】3
11.【答案】6
12.【答案】3a
13.【答案】
14.【答案】27
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】或
18.【答案】
19.【答案】解：设==k≠0，
可得，a=3k，b=2k，
原式= （a+2b）=，
把a=3k，b=2k代入上式，
原式==-4．
20.【答案】解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴=，
∵=，
∴=，
∴=，
∵∠FAE=∠DAC，
∴△AEF∽△ACD，
∴∠AEF=∠ACD，
∴EF∥CD；
（2）∵△AEF∽△ACD，
∴==，
∴AF= AD=×15=12，
∴DF=AD-AF=15-12=3．
21.【答案】证明：（1）∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠ABC=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE．
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴，
∴AB×AE=AC×AD，
∴，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
22.【答案】证明：（1）∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAE=∠CAD，
∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠E=∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
∵CF∥BE，
∴△BDE∽△CDF，
∴，
∴==，
∴AE（AD-AF）=AD（AE-AD），
∴AE AD-AE AF=AD AE-AD2，
∴AD2=AE AF．
23.【答案】（1）证明：∵∠EAF+∠AFE+∠E=∠FDC+∠CFD+∠C=180°，∠EAF=∠FDC，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴=；
（2）证明：如图，∵AB2=AF AC，
∴=，
∵∠BAC=∠FAB，
∴△ABC∽△AFB，
∴=，
由（1）知：=，
∴=，
∴AD BC=AE BF．
24.【答案】P；
（1，5）或（1，-5）；
是位似三角形，位似中心为点（3，0）
25.【答案】①证明：如图1中，连接AF，延长AF交DC的延长线于点J．
∵AB∥CJ，
∴==，
∵=，
∴=，
∴EF∥DJ，即EF∥CD；
②=；
AB的长为或-
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