2025-2026学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含部分答案)
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）(含部分答案) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 172.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-25 11:34:29 | ||
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文档简介
2025-2026学年上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形
2.已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法不正确的是（ ）
A. 设为单位向量，那么
B. 已知、、都是非零向量，如果，那么
C. 四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，，那么这个四边形一定是平行四边形
D. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A. AB2=AP2+BP2
B. BP2=AP BA
C.
D.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（ ）
A. AE2=EF FG
B. AE2=EF AG
C. AE2=EG FG
D. AE2=EF EG
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F、G在边BC上，四边形DEGF是平行四边形，AN∥DF交BC于点N.甲、乙两位同学在研究这个图形时提出了两个猜想：①；②，那么下列说法中，正确的是（ ）
A. ①正确②错误
B. ①错误②正确
C. ①、②皆正确
D. ①、②皆错误
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果=，那么=______．
8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=4，那么b=______．
9.化简：2（+）-（-）=______．
10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米.
11.已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6，那么AG的长为______．
12.已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 .
13.已知线段MN=2cm,P是线段MN的黄金分割点，那么线段NP的长度等于 cm.
14.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=______cm．
15.已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？
答： .（填“是”或“不是”）
16.如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，-2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（-1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 .
17.如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 ．
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，点D是边AC上一点，将△BCD沿着BD翻折，点C落在点E处，连接AE，如果AE∥BD，设DE与边AB交于点F，那么的值是 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知，求k值.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF=9cm,求EF和FC的长.
21.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，CE与对角线BD交于点F，设=，=.
（1）用向量、表示向量；
（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法）
22.(本小题10分)
如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．
求证：
（1）△BAE∽△CAD；
（2）2CB2=CP CM．
23.(本小题12分)
九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度.学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习.
（1）如图，若垂直于地面的标杆OP=2米，它的影长OG=1米，同一时刻，旗杆的影长HN=6米，则旗杆MN的高度为______米；
（2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长.同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE=2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF=1.2米.请求出电线杆AB的高度.
24.(本小题12分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点.
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a=时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a=时，求MN+ND的最小值.
25.(本小题14分)
如图，已知 AD//BC，∠DAB=∠ABC=90°，AD=8，AB=4，点P是射线BC上一个动点，联结AP，作 DE⊥AP于点E，联结BE，过点E作BE垂线交线段AD于点F.
（1）设BP=x,BP=x,FD=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当BP＞AD时，若∠AEB=∠DPB，求x的值；
（3）若△FED是等腰三角形，直接写出x的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】6
9.【答案】+2
10.【答案】16
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】3-或-1
14.【答案】
15.【答案】不平行
16.【答案】（，-3）
17.【答案】8+2
18.【答案】
19.【答案】1或-2．
20.【答案】解：∵AE∥DF，
∴=，即=，
解得：EF=6，
∴BE=BF+EF=9+6=15（cm），
∵DE∥AC，
∴=，即=，
解得：EC=10，
∴FC=EF+EC=6+10=16（cm），
∴EF=6cm,FC=16cm.
21.【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵点E是边AB的中点，
∴AB=2AE=2，
∴CD=AB=2，
∴=，
∴FB=BD，
∵=2，=，
∴=2
∴==-；
（2）如图所示，=+
．
22.【答案】（1）证明：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，
∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠CAD=45°
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
（2）∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴，且∠PMA=∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD=∠AED=90°，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°，且∠ACP=∠ACM，
∴△CAP∽△CMA，
∴，
∴AC2=CP CM，
∵AC=AB
∴2CB2=CP CM
23.【答案】12
24.【答案】；
；
．
25.【答案】解：（1）∵DE⊥AP，BE⊥EF，
∴∠FED+∠FEA=∠FEA+∠AEB，
∴∠FED=∠AEB；
∵DE⊥AP，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠EDF=90°，
∴∠BAE=∠EDF，
∴△ABE∽△DFE，
∴；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB；
∵∠DEA=∠ABC=90°，
∴△AED∽△PBA，
∴，
∴，
即，
∴；
即y关于x的函数解析式为；
当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，如图1，
∵∠ADB+∠DAE=∠DAE+∠BAP=90°，
∴∠ADB=∠BAP，
∴tan∠ADB=tan∠BAP，
∴，
∴；
由于点F在线段AD上，则PB≥2，
∴函数的定义域为x≥2；
（2）∵∠AEB=∠DPB，∠AEB=∠EBP+∠BPE，∠DPB=∠BPE+∠APD，
∴∠EBP=∠APD，
∵∠DAE=∠APB，
∴△PDA∽△BEP，
∴；
∵∠DAE=∠APB，∠DEA=∠ABP=90°，
∴△ADE∽△PAB，
∴，
即，
∴；
∵，
∴，
即；
∵PA2=AB2+PB2=16+x2，
∴，
整理得：x2-16x+16=0，
解得：，
∵BP＞AD，
∴；
（3）由（1）知△ABE∽△DFE，则当△DFE是等腰三角形时，△ABE也是等腰三角形；
就△ABE是等腰三角形的情况，分三种情况：
①当AE=BE时，如图2，
则∠EAB=∠EBA；
∵∠EAB+∠APB=∠EBA+∠EBP=90°，
∴∠EBP=∠APB，
∴EB=EP=EA，
由（2）知，；
但，不合题意，故；
②当AB=AE时，如图2，则AE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：；
∵△AED∽△PBA，
∴，即AE AB=PB EC；
∴，
即；
③当AB=BE时，则有DF=EF，如图4，
∴∠FDE=∠FED，
∵∠FDE+∠DAE=∠DEF+∠AEF=90°，
∴∠DAE=∠AEF，
∴FA=EF，
即；
∵
∴x=4；此时P、E两点重合；
综上，x的值为或或4．
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一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形
2.已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法不正确的是（ ）
A. 设为单位向量，那么
B. 已知、、都是非零向量，如果，那么
C. 四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，，那么这个四边形一定是平行四边形
D. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解
4.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A. AB2=AP2+BP2
B. BP2=AP BA
C.
D.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的平分线交BD于E，交DC于F，交BC的延长线于G．那么下列结论正确的是（ ）
A. AE2=EF FG
B. AE2=EF AG
C. AE2=EG FG
D. AE2=EF EG
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F、G在边BC上，四边形DEGF是平行四边形，AN∥DF交BC于点N.甲、乙两位同学在研究这个图形时提出了两个猜想：①；②，那么下列说法中，正确的是（ ）
A. ①正确②错误
B. ①错误②正确
C. ①、②皆正确
D. ①、②皆错误
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果=，那么=______．
8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=4，那么b=______．
9.化简：2（+）-（-）=______．
10.如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.6厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米.
11.已知点G是等腰直角三角形ABC的重心，AC=BC=6，那么AG的长为______．
12.已知两个等边三角形的面积比为3：2，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 .
13.已知线段MN=2cm,P是线段MN的黄金分割点，那么线段NP的长度等于 cm.
14.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=______cm．
15.已知向量是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？
答： .（填“是”或“不是”）
16.如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，-2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（-1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 .
17.如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为 ．
18.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，点D是边AC上一点，将△BCD沿着BD翻折，点C落在点E处，连接AE，如果AE∥BD，设DE与边AB交于点F，那么的值是 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
已知，求k值.
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF，，BF=9cm,求EF和FC的长.
21.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，CE与对角线BD交于点F，设=，=.
（1）用向量、表示向量；
（2）在图中求作向量分别在、方向上的分向量.（不写作法）
22.(本小题10分)
如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．
求证：
（1）△BAE∽△CAD；
（2）2CB2=CP CM．
23.(本小题12分)
九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度.学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习.
（1）如图，若垂直于地面的标杆OP=2米，它的影长OG=1米，同一时刻，旗杆的影长HN=6米，则旗杆MN的高度为______米；
（2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长.同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE=2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF=1.2米.请求出电线杆AB的高度.
24.(本小题12分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点.
（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；
（2）当a=时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；
（3）当a=时，求MN+ND的最小值.
25.(本小题14分)
如图，已知 AD//BC，∠DAB=∠ABC=90°，AD=8，AB=4，点P是射线BC上一个动点，联结AP，作 DE⊥AP于点E，联结BE，过点E作BE垂线交线段AD于点F.
（1）设BP=x,BP=x,FD=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当BP＞AD时，若∠AEB=∠DPB，求x的值；
（3）若△FED是等腰三角形，直接写出x的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】6
9.【答案】+2
10.【答案】16
11.【答案】2
12.【答案】
13.【答案】3-或-1
14.【答案】
15.【答案】不平行
16.【答案】（，-3）
17.【答案】8+2
18.【答案】
19.【答案】1或-2．
20.【答案】解：∵AE∥DF，
∴=，即=，
解得：EF=6，
∴BE=BF+EF=9+6=15（cm），
∵DE∥AC，
∴=，即=，
解得：EC=10，
∴FC=EF+EC=6+10=16（cm），
∴EF=6cm,FC=16cm.
21.【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵点E是边AB的中点，
∴AB=2AE=2，
∴CD=AB=2，
∴=，
∴FB=BD，
∵=2，=，
∴=2
∴==-；
（2）如图所示，=+
．
22.【答案】（1）证明：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，
∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠CAD=45°
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
（2）∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴，且∠PMA=∠DME，
∴△PMA∽△EMD，
∴∠APD=∠AED=90°，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°，且∠ACP=∠ACM，
∴△CAP∽△CMA，
∴，
∴AC2=CP CM，
∵AC=AB
∴2CB2=CP CM
23.【答案】12
24.【答案】；
；
．
25.【答案】解：（1）∵DE⊥AP，BE⊥EF，
∴∠FED+∠FEA=∠FEA+∠AEB，
∴∠FED=∠AEB；
∵DE⊥AP，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAE=∠DAE+∠EDF=90°，
∴∠BAE=∠EDF，
∴△ABE∽△DFE，
∴；
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB；
∵∠DEA=∠ABC=90°，
∴△AED∽△PBA，
∴，
∴，
即，
∴；
即y关于x的函数解析式为；
当点F与点A重合时，B、E、D三点共线，如图1，
∵∠ADB+∠DAE=∠DAE+∠BAP=90°，
∴∠ADB=∠BAP，
∴tan∠ADB=tan∠BAP，
∴，
∴；
由于点F在线段AD上，则PB≥2，
∴函数的定义域为x≥2；
（2）∵∠AEB=∠DPB，∠AEB=∠EBP+∠BPE，∠DPB=∠BPE+∠APD，
∴∠EBP=∠APD，
∵∠DAE=∠APB，
∴△PDA∽△BEP，
∴；
∵∠DAE=∠APB，∠DEA=∠ABP=90°，
∴△ADE∽△PAB，
∴，
即，
∴；
∵，
∴，
即；
∵PA2=AB2+PB2=16+x2，
∴，
整理得：x2-16x+16=0，
解得：，
∵BP＞AD，
∴；
（3）由（1）知△ABE∽△DFE，则当△DFE是等腰三角形时，△ABE也是等腰三角形；
就△ABE是等腰三角形的情况，分三种情况：
①当AE=BE时，如图2，
则∠EAB=∠EBA；
∵∠EAB+∠APB=∠EBA+∠EBP=90°，
∴∠EBP=∠APB，
∴EB=EP=EA，
由（2）知，；
但，不合题意，故；
②当AB=AE时，如图2，则AE=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：；
∵△AED∽△PBA，
∴，即AE AB=PB EC；
∴，
即；
③当AB=BE时，则有DF=EF，如图4，
∴∠FDE=∠FED，
∵∠FDE+∠DAE=∠DEF+∠AEF=90°，
∴∠DAE=∠AEF，
∴FA=EF，
即；
∵
∴x=4；此时P、E两点重合；
综上，x的值为或或4．
第1页，共1页
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