4.5.1函数的零点与方程的解课时练习（含解析）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.5.1函数的零点与方程的解
一、选择题
1．函数f (x)＝log3(x－1)－2的零点为(　　)
A．10　　 　 B．9　　
C．(10，0)　　 　 D．(9，0)
2．函数f (x)＝－x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(－3，－2) 　 B．(－2，－1)
C．(－1，0) 　 D．(0，1)
3．方程|lg x|＋x－2＝0的解的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
4．已知f (x)＝2ax－1＋3a，f (0)＜f (1)，且f (x)在(1，2)内存在零点，则实数a的取值范围是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．
5．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是(　　)
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
6．若一次函数f (x)＝kx＋b有一个零点－2，则函数g(x)＝bx2－kx的图象可能是(　　)
A　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　D
7．函数f (x)＝ln x＋2x－5的零点为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
8．(教材P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－4，g(x)＝ex＋x－4，h(x)＝ln x＋x－4的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(　　)
A．aC．b9．已知f (x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 012个，则f (x)的零点的个数为(　　)
A．1 011 　 B．1 012
C．2 024 　 D．2 025
二、填空题
10．已知函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，它的部分取值如下表所示：
x －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
f (x) －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.7 3.5 4.9
则函数y＝f (x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为________．
11．请写出同时满足以下条件的一个函数：________．
①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线；
②该函数是偶函数；
③该函数恰有2个零点．
12．函数f (x)＝2x＋x－5在(t，t＋1)上存在零点，则整数t的值为________．
三、解答题
13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x2－2x．
(1)求f (x)的解析式，并画出f (x)的图象；
(2)设g(x)＝f (x)－k，利用图象讨论：当实数k为何值时，函数g(x)分别有一个零点？两个零点？三个零点？
14．已知函数f (x)＝x2－bx＋3．
(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x)的零点；
(2)若函数f (x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求实数b的取值范围．
15．【链接教材P156习题4.5T13】若函数f (x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)上恰有一个零点，求实数a的取值范围．
参考答案解析
1．A　[令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10．故选A．]
2．C　[因为f(x)＝(x－x－2是连续的减函数，
f(－3)＝>0，f(－2)＝>0，
f(－1)＝>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－<0，
有f(－1)f(0)<0，所以f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选C．]
3．C　[由|lg x|＋x－2＝0，得|lg x|＝2－x，
在同一平面直角坐标系内作出y＝|lg x|与y＝2－x的图象，
如图，两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解．
故选C．]
4．C　[因为f(0)0．
而f(x)在(1，2)内存在零点，
故．故选C．]
5．BCD　[当a＝0时，函数y＝ax2－x－2a有唯一零点，故A不正确；
当a≠0时，由ax2－x－2a＝0，Δ＝1＋8a2>0，可知函数一定有两个零点，故BC正确，所以函数的零点个数是1或2，故D正确．故选BCD．]
6．B　[因为一次函数f(x)＝kx＋b有一个零点－2，
所以－2k＋b＝0(k≠0)，即b＝2k，
对于g(x)＝bx2－kx，令g(x)＝0，则bx2－kx＝0，则x(bx－k)＝0，
即x(2kx－k)＝0，解得x＝0或x＝0.5，
所以g(x)有两个零点，分别为0和0.5，符合题意的只有B选项．]
7．C　[因为f(x)＝ln x＋2x－5在(0，＋∞)上单调递增，
且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3＋1>0，
即x0∈(2，3)，所以k＝2．
故选C．]
8．C　[由已知条件得f(x)的零点可以看成y＝2x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
g(x)的零点可以看成y＝ex与y＝4－x图象的交点的横坐标，h(x)的零点可以看成y＝ln x与y＝4－x图象的交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系下分别画出y＝2x，y＝ex，y＝ln x，y＝4－x的函数图象，如图所示，可知c>a>b．故选C．]
9．D　[∵f(x)为奇函数且在(0，＋∞)内有1 012个零点，
∴在(－∞，0)内也有1 012个零点，
又∵f(0)＝0，∴共有2 024＋1＝2 025(个)零点．故选D．]
10．3　[由题表中数据可得f(－2)f(－1.5)<0，则f(x)在(－2，－1.5)上至少存在一个零点，f(－0.5)f(0)<0，则f(x)在(－0.5，0)上至少存在一个零点，f(0)f(0.5)<0，则f(x)在(0，0.5)上至少存在一个零点，
故函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的零点个数至少为3．]
11．f(x)＝x2－1(答案不唯一)
12．1　[f(x)＝2x＋x－5在R上单调递增，由函数零点存在定理可知，
f(t)<0，f(t＋1)>0，由于f(1)<0，f(2)>0，
故整数t＝1．]
13．解：(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x．
设x<0可得－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x．
∵函数f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x．
∴f(x)＝
函数的图象如图所示：
(2)由g(x)＝f(x)－k＝0可得f(x)＝k，
结合函数的图象可知：
①当k<－1或k>1时，y＝k与y＝f(x)的图象有1个交点，即g(x)＝f(x)－k有1个零点；
②当k＝－1或k＝1时，y＝k与y＝f(x)的图象有2个交点，即g(x)＝f(x)－k有2个零点；
③当－114．解：
(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1．
所以f(x)的零点是1和3．
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，其图象如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4．
故实数b的取值范围为(4，＋∞)．
15．解：若函数f(x)＝2ax2－x－1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2－x－1＝0在区间(0，1)内恰有一个根，
若a＝0，则方程2ax2－x－1＝0可化为－x－1＝0，
得x＝－1 (0，1)，不成立．
若a≠0，设方程的两根为x1，x2，
且Δ＝(－1)2＋8a＝1＋8a≥0，得a≥－，且a≠0，
当－≤a<0时，有
故x1<0，x2<0，不符合题意；
若a>0，则函数图象开口向上，
又f(0)＝－1<0，
若函数在(0，1)上恰有一个零点，
则f(1)＝2a－1－1>0，所以a>1．
综上，a>1．
[点评]　(1)f(x)＝2ax2－x－1未必是二次函数，故要分a＝0和a≠0两类求解；(2)f(x)＝0在(0，1)内有一个零点，而不是f(x)＝0有一个零点，要数形结合求解．