3.2.2 双曲线的简单几何性质（第6课时 渐近线、离心率）同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质第6课时---渐近线、离心率 同步练习、解答、细目表
一、单选题
1．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．过双曲线的右焦点作垂直于实轴的弦，是左焦点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．已知双曲线：，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ）
A．焦点为 B．实半轴长是3
C．渐近线方程为 D．离心率为
6．双曲线的左、右焦点分别为，.若点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率为
C．的面积为
D．若为双曲线上的一动点，则到两条渐近线的距离之积为定值
7．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线与y轴相交于点Q，为等边三角形，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的离心率为
C．若点在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为
D．若点在双曲线C上，则点Q的坐标为
三、填空题
8．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是 .
9．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则 .
10．若点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为 ．
四、解答题
11．已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求；
(3)若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：．
3.2.2双曲线的简单几何性质第6课时---渐近线、离心率 同步练习、解答、细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C B D ABC CD BCD
1．D
【分析】利用双曲线的性质结合给定条件求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，故，即，，
解得，故，即渐近线方程是，故D正确.故选：D
2．C
【分析】易知轴，可得点与，则，化简可得，进而可得，即可得解.
【详解】易知轴，不妨设点在第一象限，联立得，故，
又，即，可得，即，
则，解得或（舍），
即，则，故渐近线方程为，故选：C.
3．B
【分析】根据构造齐次式求解离心率.
【详解】由轴，且，
所以， 点满足，，
，即，，又，故，故选：B.
4．D
【分析】由已知条件可得，设，可得，由已知向量关系可得，从而得到，即，由离心率公式可得答案．
【详解】已知双曲线的渐近线方程为，
双曲线右焦点到渐近线的距离为，
在中，，，则，
设，则，，
因为，则，，在中，则，
可得，即，即，所以双曲线离心率．故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
5．ABC
【分析】通过双曲线方程，得到的值，从而得到焦点，实半轴长，渐近线方程，离心率.
【详解】因为：，双曲线为轴双曲线，且，
所以焦点为，故A正确；实半轴长为3，故B正确；
渐近线方程为，故C正确；离心率为，故D错误，故选：ABC.
6．CD
【分析】对于A：根据题意可知渐近线的倾斜角分别为，，进而可得渐近线方程；对于B：可知，进而可求离心率；对于C：根据题意可得，，进而可求面积；对于D：可得双曲线方程为，结合点到直线的距离公式分析判断.
【详解】对于选项A，因为点是关于的一条渐近线的对称点，且恰在另一条渐近线上，
可知，则渐近线的倾斜角分别为，，
所以双曲线的渐近线方程为，故A错误；
对于选项B，由选项A可知，
所以双曲线的离心率为，故B错误；
对于选项C，因为，且，
可知，且，在中，可得，，所以的面积为，故C正确；对于选项D，由及，得，，则双曲线的方程为.设，则，
所以到两条渐近线的距离之积为，故D正确；故选：CD.
7．BCD
【分析】由双曲线的定义以及等腰三角形和等边三角形的性质得出，，再由双曲线的性质判断AB；将点代入双曲线方程解出，进而判断C；由直线的方程判断D.
【详解】设，由为等边三角形，可得
由双曲线的定义可得
因为，所以，所以，，即，故B正确；
由，即，则渐近线方程为，故A错误；
若点在双曲线C上，可得，结合，解得，所以双曲线方程为，故C正确；
由上面的分析可得，直线的方程为，可令，解得，即，故D正确；故选：BCD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用几何性质以及双曲线的定义得出，，进而由双曲线的性质进行求解.
8．6
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积.
【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得，
由，，解得或，
当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求，
因此，，为直角三角形，
所以的面积是.故答案为：6
9．10
【分析】解法一：设（，）利用焦半径公式求出、，再由求出，可得答案；
解法二：设，，由双曲线定义可得，内切圆与轴切在双曲线的顶点处，则由求出，再由求出，可得答案；
解法三：设，，求出，由求出，由焦点三角形面积公式可得答案；
解法四：设，，，则得，由余弦定理②，设，求出可得答案.
【详解】解法一： ，所以，，
设（，），，，
，
又因为：，则，，；
解法二：不妨设点在右支上，如下图，设，，
双曲线内切圆的圆心为，连接， ，
设分别与圆相切于点，双曲线右顶点为，连接，
则，
即，
又因为，所以与重合，即，
所以内切圆与轴切在双曲线的顶点处，，
可得，可得
则，，
所以，，即：；
解法三：设，，，
，，
则，所以，
由焦点三角形面积公式；
解法四：设，，，则，
即：①，由余弦定理，得：，
②，设，则，
得，，则.故答案为：10.
10．/
【分析】根据双曲线方程求出、、，设右焦点为，再由双曲线的定义计算可得.
【详解】双曲线，则，，所以，设右焦点为，
圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，
且恰为双曲线的左焦点，，又点是双曲线右支上的一点，则，
所以，
当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.故答案为：
11．(1)
(2)6
(3)证明见解析.
【分析】（1）由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出交点的纵坐标即可.
（3）设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由，解得，证明即可.
【详解】（1）设双曲线的左焦点，由其离心率为2，得，即，
由点到双曲线的渐近线的距离为，得，
而，解得：，
所以双曲线的方程为：.
（2）由（1）知，直线，则，解得，所以.
（3）由（1）知，由过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，
知直线的斜率存在，设其方程为：，，而，
由得：，，
，，，
，，，
由，得，即，，
所以
.
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
题号 难度 知识点细目表
一、单选题
1 全部 已知方程求双曲线的渐近线
2 全部 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程
3 全部 求双曲线的离心率或离心率的取值范围
4 全部 求双曲线的离心率或离心率的取值范围
二、多选题
5 全部 双曲线的渐近线
6 全部 双曲线的离心率
7 全部 双曲线的渐近线,双曲线的离心率
三、填空题
8 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
9 全部 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
10 全部 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
四、解答题
11 全部 双曲线的渐近线,双曲线的离心率