3.2.2双曲线及其简单几何性质（直线与双曲线弦长、中点）同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线及其简单几何性质（直线与双曲线弦长、中点）同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 495.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-25 23:26:04 | ||
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文档简介
3.2.2双曲线及其简单几何性质第4、5课时---直线与双曲线弦长、中点同步练习、解答、细目表
一、单选题
1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有
A．条 B．条 C．条 D．条
3．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切 D．
6．已知双曲线，分别是其左、右焦点，以下说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．过焦点且与x轴垂直的弦长为
C．若在双曲线C的左支上存在一点P，满足，则
D．若P是双曲线C上一点，且，则的面积为4
7．关于双曲线有下列四个说法，正确的是（ ）
A．P为双曲线上一点，，分别为左 右焦点，若，此时
B．与椭圆有相同的焦点
C．与双曲线有相同的渐近线
D．过右焦点的弦长最小值为4
三、填空题
8．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于 .
9．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ．
10．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为
四、解答题
11．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
3.2.2双曲线及其简单几何性质第4、5课时---直线与双曲线弦长、中点同步练习、解答、细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B B ACD AD ABC
1．B
【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解.
【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为.
由得 . 设 ，则，，所以
＝3.
故选：B.
2．C
【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.
【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，；
双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C
【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.
3．B
【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值.
【详解】在双曲线中，，，则，
所以，双曲线的右焦点坐标为，
由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.故选：B.
4．B
【分析】求出直线的方程，从而可求得点的坐标，从而可求得，再利用等面积法即可求得内切圆的半径.，即可得解.
【详解】解：设，由题意知，直线的斜率为，
则直线的方程为，∴，化简整理得，
即，∴或（舍去），
则，即，∴，，
设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，
则由，得，
∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）
故的内切圆的面积为．故选：B．
5．ACD
【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确.
【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得，
整理得，即曲线的方程为，所以A正确；
曲线的离心率，所以B不正确；
由圆，可得圆心为，
可得圆心到曲线的渐近线的距离，
又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；
联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD．
6．AD
【分析】利用双曲线的标准方程求得渐近线方程判断A，利用通径公式判断B，利用双曲线上点到焦点的距离的最值判断C，利用双曲线的定义与勾股定理判断D，从而得解.
【详解】对于A，双曲线C的方程为，化为标准方程得，即，
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，即，所以A正确；
对于B，因为过焦点且与x轴垂直的弦长为，所以B不正确；
对于C，因为，而点P在双曲线的左支上，
所以的最小值为，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以，又，
所以，即，
所以，所以D正确.故选：AD.
7．ABC
【分析】对于A，根据题意结合双曲线的定义，求得，在中，利用余弦定理即可得判断；
对于B，分别求出双曲线和椭圆的焦点，即可判断；
对于C，分别求出两双曲线的渐近线，即可判断；
对于D，过右焦点的直线斜率为和直线斜率不为两种情况讨论，结合弦长公式，求出弦长的最小值，即可判断.
【详解】解：对于A，由双曲线，得，
若，则，所以，
在中，，由余弦定理可得，
又，所以，故A正确；
对于B，双曲线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，故B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，故C正确；
对于D，当过右焦点的直线斜率为时，直线方程为，
将代入，解得，此时弦长为，
当直线斜率不为时，设直线方程为，，
联立，消得，
设直线与双曲线的交点，
则，
则
，
当或时，，所以，
当时，，
当且仅当时，取等号，所以，
故当直线斜率不为时，过右焦点的弦长最小值为4，
综上所述，过右焦点的弦长最小值为2，故D错误.
故选：ABC.
8．
【分析】根据点差法列式求解得，再利用替换，即可得离心率.
【详解】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即.
故答案为：
9．
【分析】设弦所在直线与双曲线交点分别为，显然，应用点差法及弦中点坐标求弦所在直线斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】令弦所在直线与双曲线交点分别为，显然，
则，两式作差，有，故，
所以弦所在的直线的斜率为，故所求直线为，整理得.
故答案为：
10．/
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率.
【详解】设, ，则 ①, ②,
∵是线段的中点,∴
故过点作斜率为的直线的方程是，∴
①②两式相减可得:∴.
∴.∴∴∴故答案为:.
11．(1)(2)
【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）由题意得：，令，则，
又焦点到渐近线的距离为，所以，所以，
所以，所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
又原点到直线的距离，所以．
题号 难度 知识点
一、单选题
1 全部 求双曲线中的弦长
2 全部 求双曲线中的弦长
3 全部 双曲线中的通径问题
4 全部 双曲线的焦半径与焦点弦问题
二、多选题
5 全部 求双曲线中的弦长
6 全部 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
7 全部 双曲线的焦半径与焦点弦问题
三、填空题
8 全部 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
9 全部 由弦中点求弦方程或斜率
10 全部 求弦中点所在的直线方程或斜率
四、解答题
11 全部 双曲线的弦长、焦点弦,双曲线的中点弦
一、单选题
1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知双曲线的左右焦点分别是、，过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有
A．条 B．条 C．条 D．条
3．过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于两点，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切 D．
6．已知双曲线，分别是其左、右焦点，以下说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．过焦点且与x轴垂直的弦长为
C．若在双曲线C的左支上存在一点P，满足，则
D．若P是双曲线C上一点，且，则的面积为4
7．关于双曲线有下列四个说法，正确的是（ ）
A．P为双曲线上一点，，分别为左 右焦点，若，此时
B．与椭圆有相同的焦点
C．与双曲线有相同的渐近线
D．过右焦点的弦长最小值为4
三、填空题
8．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若点是线段的中点，则的离心率等于 .
9．若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为 ．
10．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为
四、解答题
11．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．
3.2.2双曲线及其简单几何性质第4、5课时---直线与双曲线弦长、中点同步练习、解答、细目表
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B B ACD AD ABC
1．B
【分析】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解.
【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为.
由得 . 设 ，则，，所以
＝3.
故选：B.
2．C
【分析】根据双曲线，过的直线垂直于轴时，，双曲线两个顶点的距离为，即可得出结论.
【详解】双曲线，过的直线垂直于轴时，；
双曲线两个顶点的距离为，满足的直线有条，
一条是通径所在的直线，另两条与右支相交.故选：C
【点睛】本题考查了直线与双曲线相交的弦长问题，考查了通径的求法，属于基础题.
3．B
【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值.
【详解】在双曲线中，，，则，
所以，双曲线的右焦点坐标为，
由题意可知，直线的方程为，联立，解得，
可取、，故.故选：B.
4．B
【分析】求出直线的方程，从而可求得点的坐标，从而可求得，再利用等面积法即可求得内切圆的半径.，即可得解.
【详解】解：设，由题意知，直线的斜率为，
则直线的方程为，∴，化简整理得，
即，∴或（舍去），
则，即，∴，，
设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，
则由，得，
∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）
故的内切圆的面积为．故选：B．
5．ACD
【分析】根据题意求得双曲线的方程，可判定A正确；根据离心率的定义，求得的值，可判定B不正确；利用直线与圆的位置关系的判定方法，可判定C正确；联立方程组，结合根与系数的关系和弦长公式，可判定D正确.
【详解】设点，由直线与的斜率之积为，可得，
整理得，即曲线的方程为，所以A正确；
曲线的离心率，所以B不正确；
由圆，可得圆心为，
可得圆心到曲线的渐近线的距离，
又由圆的半径为1，所以曲线的渐近线与圆相切，所以C正确；
联立方程组 ，整理得，则，，所以，所以D正确．故选：ACD．
6．AD
【分析】利用双曲线的标准方程求得渐近线方程判断A，利用通径公式判断B，利用双曲线上点到焦点的距离的最值判断C，利用双曲线的定义与勾股定理判断D，从而得解.
【详解】对于A，双曲线C的方程为，化为标准方程得，即，
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，即，所以A正确；
对于B，因为过焦点且与x轴垂直的弦长为，所以B不正确；
对于C，因为，而点P在双曲线的左支上，
所以的最小值为，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以，又，
所以，即，
所以，所以D正确.故选：AD.
7．ABC
【分析】对于A，根据题意结合双曲线的定义，求得，在中，利用余弦定理即可得判断；
对于B，分别求出双曲线和椭圆的焦点，即可判断；
对于C，分别求出两双曲线的渐近线，即可判断；
对于D，过右焦点的直线斜率为和直线斜率不为两种情况讨论，结合弦长公式，求出弦长的最小值，即可判断.
【详解】解：对于A，由双曲线，得，
若，则，所以，
在中，，由余弦定理可得，
又，所以，故A正确；
对于B，双曲线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，故B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，故C正确；
对于D，当过右焦点的直线斜率为时，直线方程为，
将代入，解得，此时弦长为，
当直线斜率不为时，设直线方程为，，
联立，消得，
设直线与双曲线的交点，
则，
则
，
当或时，，所以，
当时，，
当且仅当时，取等号，所以，
故当直线斜率不为时，过右焦点的弦长最小值为4，
综上所述，过右焦点的弦长最小值为2，故D错误.
故选：ABC.
8．
【分析】根据点差法列式求解得，再利用替换，即可得离心率.
【详解】设，则，得，即，因为点是线段的中点，所以，又因为直线斜率为，所以，得，即.
故答案为：
9．
【分析】设弦所在直线与双曲线交点分别为，显然，应用点差法及弦中点坐标求弦所在直线斜率，应用点斜式写出直线方程.
【详解】令弦所在直线与双曲线交点分别为，显然，
则，两式作差，有，故，
所以弦所在的直线的斜率为，故所求直线为，整理得.
故答案为：
10．/
【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率.
【详解】设, ，则 ①, ②,
∵是线段的中点,∴
故过点作斜率为的直线的方程是，∴
①②两式相减可得:∴.
∴.∴∴∴故答案为:.
11．(1)(2)
【分析】（1）根据离心率设，求出，代入焦点到渐近线的距离计算进而可得，则双曲线方程可求；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理及弦长公式，点到直线距离公式求解面积即可.
【详解】（1）由题意得：，令，则，
又焦点到渐近线的距离为，所以，所以，
所以，所以双曲线的标准方程为；
（2）设，，联立方程组，消去整理得，
则，，，
所以，
又原点到直线的距离，所以．
题号 难度 知识点
一、单选题
1 全部 求双曲线中的弦长
2 全部 求双曲线中的弦长
3 全部 双曲线中的通径问题
4 全部 双曲线的焦半径与焦点弦问题
二、多选题
5 全部 求双曲线中的弦长
6 全部 求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
7 全部 双曲线的焦半径与焦点弦问题
三、填空题
8 全部 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数
9 全部 由弦中点求弦方程或斜率
10 全部 求弦中点所在的直线方程或斜率
四、解答题
11 全部 双曲线的弦长、焦点弦,双曲线的中点弦