2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章至第三章3.2双曲线.
第I卷（选择题58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A. B. C. D.
圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1 B. C. D.
已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列说法中，正确的有（ ）
A. 已知直线：，始终过定点
B. 直线在轴上的截距是2
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程
椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ）
A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8
C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为
如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 若为的中点，则平面
B. 若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为
C. 若，平面与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥外接球半径的取值范围为
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
双曲线的离心率为，若点为双曲线的左焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为________.
已知实数x，y满足，则的取值范围为_________.
已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点).
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C A C B B D AD ABD BCD
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D 直线，即.
所以直线的斜率为.
已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】A 由长轴长为4，可得，又离心率为，即，
解得，故，
所以椭圆方程为.
已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】C 向量在向量上的投影向量为.
如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】A ，又因，，
∴，
∴，，，
圆与直线相交所得弦长为（ ）
A. 1 B. C. D.
【解析】C圆心到直线的距离，
所以弦长.
已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A. B. C. D. 4
【解析】B 如图，
因为双曲线，所以，
由双曲线的对称性知，
所以，
由双曲线定义可得，
所以，又，
所以，即，
所以,
故.
在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】B 分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是，
设直线与平面所成角为，，
则，
所以时，，即的最大值是.
已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D 由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，所以，
由，则解得，
由是关于直线的对称点，则共线，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化简可得：，
所以其离心率.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列说法中，正确的有（ ）
A. 已知直线：，始终过定点
B. 直线在轴上的截距是2
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程
【解析】AD∵,可知A正确；
由直线的斜截式方程可知，B不正确；
由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误；
根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，再根据经过点(5,4),∴直线的方程为，故D正确.
椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（ ）
A. 椭圆C的焦距为2 B. 的周长为8
C. 椭圆C的离心率为 D. 的面积为
【解析】ABD 由题意可知，，，
故为等边三角形，则，，
又，
所以，，，
所以焦距，A正确；
离心率，C错误；
由椭圆定义可知，周长，B正确．
设，则，又，
由余弦定理可得，
所以，D正确.
如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 若为的中点，则平面
B. 若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为
C. 若，平面与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥外接球半径的取值范围为
【解析】BCD 设为的中点，由正三棱柱的性质，两两垂直，所以以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系。则
设
对A，若为的中点，设平面的法向量，
由，可得，
令解得，，则与平面不平行，则与平面不平行，故A错误.
对于B, 若为的中点，则，
延长交于,连接交于点,则平面截三棱柱，所得截面为四边形，
由于是的中点，则,故，由,进而可得,故,
故
故,
,
,
因此三棱柱被截面截得的上部分的体积为,
而三棱柱的体积为,
三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为，故B正确.
选项C, 若, 则 ，设平面的法向量，
，由得，
令，
平面的法向量,
设平面与平面所成角为，则,
,所以，
所以C正确.
对于D，设球心为，则,即,化简可得，
则，故，
由于，故，所以，
又为开口向上的二次函数，且对称轴为，
当，，当时，
故，D正确.
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
双曲线的离心率为，若点为双曲线的左焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为________.
【解析】由双曲线，可得，解得，
又双曲线的离心率为，所以，解得，
所以，解得，
所以左焦点，一条渐近线，
故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为.
已知实数x，y满足，则的取值范围为_________.
【解析】因为，
所以，其表示为圆的上半部分.
设半圆上一动点，
表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率，
当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值，
设直线的方程为，即，
所以，解得或（舍去），
则直线的斜率的最大值为；
当点为时，则直线的斜率取最小值，为，
综上，的取值范围为.
已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与椭圆交于两点，，则的周长是__________．
【解析】因为离心率为，故，则，
又，故，
故为等边三角形，为的垂直平分线，
所以，，
则的周长等于，
其中，
则的周长为，
直线的斜率为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，联立曲线，
，
又，故
设，则，
故，
解得，故，
则的周长为.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【解析】（1）由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切，
所以，化简得，解得，
则圆心，半径，
所以圆的方程为．
（2）由题意，直线l与圆C的距离，
若斜率不存在，即，显然满足要求；
若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则；
直线l的方程为或．
如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【解析】（1）如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系，
由侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，
得，
由是棱的中点，得，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以是平面的一个法向量，
显然，则，
又平面，所以平面，
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
而平面的一个法向量为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
【解析】（1）因为双曲线与双曲线的渐近线相同，
所以可设：，又双曲线过，
所以，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）证明：设，
又 ，所以左焦点，则，
，
，
，
则，
所以.
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
不妨令，则，，.
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即，
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为.
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或.
已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点(不过点).
（1）若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积.
（2）若，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点，并求出此定点.
【解析】（1）在椭圆中，左、右顶点分别为，
设点，则 .
（2）设，由已知可得，，
由得，化简得，
代入可得，
联立解得，
由得直线过点，，
所以，所求直线方程为.
（3）设，易知直线的斜率不为，设其方程为（），
联立，可得，
由，得.
由韦达定理，得.，.
可化为，
整理即得，
，由，
进一步得，化简可得，解得，
直线的方程为，恒过定点.
