第二章《直线和圆的方程》章末综合质量检测（能力提升）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关
“直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则方程是（ ）
B.
C. D.
过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
已知点在圆上，点，，则满足点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列说法中正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 方程能表示平行于轴的直线
已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若，则直线的方程为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆的圆心都在直线上
B. 圆的方程为
C. 若，则圆与轴有交点
D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知，两点到直线的距离相等，则_____.
已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
已知圆（）和，动圆M与圆，圆均相切，，则a的值为_______．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知直线的方程为.
（1）求直线过定点的坐标；
（2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？
已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
已知直线，，点A和点B分别是直线，上一动点.
（1）若直线AB经过点，且，求直线AB的方程；
（2）设线段AB的中点为P，求点P到点的最短距离.
平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线.
（1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系；
（2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点.
①设，，求的值；
②求证：直线 交点在定直线上.第二章《直线和圆的方程》章末综合质量检测（能力提升）
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B C D B C A BC BCD ABC
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】B由题意，直线的斜率为，解得.
点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 与m的值有关
【解析】A 将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故点P在圆外.
“直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】B由题意得，，解得或，
故“直线：与直线：相互垂直”是“”的必要不充分条件.
将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则方程是（ ）
B.
C. D.
【解析】C 直线的方程为，其斜率为，
设直线的斜率为，，
．
由题意可知，，，
的方程为：，即．
过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【解析】D 圆的圆心，半径，
由题意可得，则，
则当取得最小值时，线段长度的最小，
则，所以.
已知点在圆上，点，，则满足点的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【解析】B 设点，则，
由，得，
即，
故点的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，
又点在圆上，
两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点有2个．
点为圆上的一动点，为圆上一动点，为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解析】C P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，
取，则，
∴，
∴，
.
我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】A
已知，
因为动点符合，
所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍，
即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，
所以，
所以1，
即，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，
令，即，
令直线的方程为，
要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值，
又点到直线距离为，
平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径，
即，即，解得或，
当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1，
即 ，即，即，解得，
综上所述，可得，即，
所以，即.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列说法中正确的有（ ）
A. 直线过定点
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 方程能表示平行于轴的直线
【解析】BC 对于A，由，可得，
则直线过直线与直线的交点，
所以直线过定点，故A错误；
对于B，点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以点关于直线的对称点为，故B正确；
对于C，令，则，令，则，
所以直线与两坐标轴的交点为，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C正确；
对于D，平行于轴的直线需斜率为0，又直线的斜率不为0，
所以方程不能表示平行轴的直线，故D错误.
已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 若，则直线的方程为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【解析】BCD 由题圆心，半径，
过圆心作，垂足为，则，直线与圆相离，
所以，故A错误；
当时，，则，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
依题意，直线即圆与圆的公共弦，故直线的方程为，即B正确；
设，因为，
所以，所以当取最大值时，取最小值，
而，所以当取最大值时，取最小值．
在，
此时，的最小值为，故C正确；
由C项，，当时等号成立，故D正确．
如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆的圆心都在直线上
B. 圆的方程为
C. 若，则圆与轴有交点
D. 设直线与圆在第二象限的交点为，则
【解析】ABC 圆的圆心，直线的方程为，即，
由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确；
显然，设点，则，而，
解得，，因此圆的圆心，半径为，
圆的方程为，
则圆的方程为，故B正确；
圆的圆心为，半径，
圆心到轴的距离为，
由两边平方得，
，，而
所以当时，圆与轴有交点，C选项正确.
在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误．
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知，两点到直线的距离相等，则_____.
【解析】因为，两点到直线的距离相等，
所以有或，
解得或.
已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
【解析】当时，曲线即，
两边平方，整理得，
表示以为圆心，半径圆的右半圆；
当时，曲线即，
两边平方，整理得，
表示以为圆心，半径的圆的左半圆，
直线表示经过定点、斜率为的直线，
因此，直线与曲线有两个不同的交点，
就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点，
当直线与右半圆有两个交点时，记点，
可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率，
且，解得；
当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；
综上所述，实数的取值范围是.
已知圆（）和，动圆M与圆，圆均相切，，则a的值为_______．
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
由，得，所以圆内含于圆，
设圆M的半径为r，
若动圆M内切于圆，与圆外切（），则，
，则，，
由，得，因此a＝17；
若动圆M内切于圆，圆内切于动圆M时，则，
，则，，
由，得，得a＝19.
所以a＝17或19.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知直线的方程为.
（1）求直线过定点的坐标；
（2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？
【解析】（1）直线的方程可化为，
联立方程组，解得，
所以直线过定点的坐标为.
（2）当与直线垂直时，点到直线的距离最大，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，解得，即的方程为，
则点到直线的最大距离为，
故当时，到直线的距离最大，最大距离是.
已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长．
【解析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，，
于是有①，
因为点A在圆上运动，即：②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
已知直线，，点A和点B分别是直线，上一动点.
（1）若直线AB经过点，且，求直线AB的方程；
（2）设线段AB的中点为P，求点P到点的最短距离.
【解析】（1）直线，，则，
由已知得平行直线的距离，斜率均为，而动点的距离，此时，直线一定与平行直线垂直，
所以其斜率，又直线经过点，所以其方程为，即．
（2）因为点和点分别是平行直线上的动点，所以线段的中点的轨迹为直线，与平行直线平行且在两直线中间，如图所示．
因此直线的斜率，取点，点，则线段中点，
所以直线的方程为，整理得．
所以点到点的最短距离即点到直线的距离．
平面直角坐标系中，圆M经过点，，.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上.
①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值；
②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程.
【解析】（1）设圆M的方程为，
则，解得，
所以圆M的标准方程为；
（2）设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
①若，则直线斜率不存在，
则，，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
②设，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点N在定直线上.
在平面直角坐标系中，定义为两点的“棋盘距离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线.
（1）已知圆C：，圆：的圆心分别为C，，且，判断圆C与圆的位置关系；
（2）若直线与（1）问结论中的圆自上而下交于，两点，直线与轴、轴分别交于、两点；若（1）问结论中的圆与轴自上而下交于两点.
①设，，求的值；
②求证：直线 交点在定直线上.
【解析】（1）圆：转化为标准方程为：，
，，，或0，
，，，，，，
，，，与相交.
（2）①直线，，设，，由，
消去得：，由韦达定理，，，
由有，
同理由有，（*），
将韦达定理代入（*），；
②证明：，，则直线，直线，
联立两直线方程消得：（**），
由韦达定理有，即，
代入（**）可得，解得.
故直线交点在定直线上.
