函数的单调性与最大最小值
一．利用单调性比较大小的问题
1．（黑龙江省绥化市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．利用单调性解不等式的问题
1．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题）已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
6．（陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7.（黑龙江省鸡西实验中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
复合函数单调性的问题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．（安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一上学期第一次段考数学试题）已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
利用函数单调性求参数范围的问题
1．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是 ．
2．已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为 .
3．已知函数．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集．
4．（浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知函数（），
(1)若函数在上不单调，求的取值范围.
(2)若函数在上的最小值为，求函数的最大值.
5．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数a的值；
(2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
6．已知：函数在区间上不是减函数；：，．
（1）若“且”为真，求实数的最大值；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．
7．设，.
(1)若在区间上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若存在，使得对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
8．（上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期摸底数学试卷）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
9．若在上不是单调函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则函数是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数.
C．函数f（x）=，对任意，，都有成立；
D．已知在上是增函数，则a的取值范围是.
12．若函数在区间上单调，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
13．已知函数f（x）=对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．（河南省商开大联考2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题）若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
函数单调性的判断
1．函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
2．有下列几个命题，其中正确的共有（ ）
①函数在上单调递增；
②函数在上是减函数；
③函数的单调区间是
④已知在上是增函数，若，则有；
⑤已知函数是奇函数，则.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
3．设函数是定义在上的函数，①若存在，使得成立，则函数在上单调递增。②若存在，使得成立，则函数在上不可能单调递减. ③若存在对于任意都有成立，则函数在上递增。④对于任意的，都有成立，则函数在上单调递减。
则以上真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数是上的严格减函数，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
7．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是( )
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上没有单调性
8．下列函数在上是增函数的有（ ）个
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
一般对称性与函数单调性
1．满足，，且对于，，则是函数的单调递 （填“增”或“减”）区间，关于的不等式>0的解集是 .
2．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知图象开口向上的二次函数,对任意,都满足,若在区间上单调递减,则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
七．利用函数单调性求最值或值域．
1．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数的定义域为，以下三种说法：①若存在常数，使得对任意，有，则是的最大值；②若存在，使得对任意，有，则是的最大值；③若存在，使得对任意，且，有，则是的最大值.其中正确说法的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是减函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值
4．（福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题）下列函数中，的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）已知函数在区间上单调递减，则函数在区间上一定（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
6．（多选题）数学试题）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值
7．当时，下列函数的最小值为4的有（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数的最小值为2的有（ ）
A． B．
C． D．函数的单调性与最大最小值
一．利用单调性比较大小的问题
1．（黑龙江省绥化市第二中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比较函数值的大小关系、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用
【分析】由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，，
所以关于直线对称，所以，
又因为在上单调递增，所以.
故选：B
2．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，设，，（其中e=2.71828…），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比较函数值的大小关系、定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用
【分析】根据当时，恒成立，得到函数在上是减函数，再由函数的图象关于直线对称，得到，然后利用函数的单调性比较.
【详解】因为当时，恒成立，
所以函数在上是减函数，
又函数的图象关于直线对称，
所以，
而，
所以，
所以，
故选：B.
3．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是奇函数，则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数是奇函数和在上单调递减，得到在连续且单调递减可得答案.
【详解】因为是奇函数，所以的图象关于对称，
且在上单调递减，所以在单调递减，
又因为定义域为R，所以，所以在连续且单调递减，
由于，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性，解题的关键点是由题意分析出在连续且单调递减，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
4．已知在区间上是增函数，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】比较函数值的大小关系
【分析】根据函数的单调性和，求得且，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数在区间上是增函数，
又由，可得且，
所以且，所以.
故选：B.
二．利用单调性解不等式的问题
1．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】由偶函数的性质可得函数在上单调递减，然后又单调性的定义即可求解不等式.
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递减，故的绝对值越小，函数值越小，由可得：，
解得：，
故选：.
2．已知是定义在上的减函数，对任意、，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【解析】推导出，由可得出，由此可得出原不等式的解集.
【详解】因为对任意、，恒成立，
所以，，
则由，得，又是上的减函数，
所以，解得．
因此，不等式的解集为.
故选：B．
【点睛】方法点睛：利用函数的单调性解不等式，步骤如下：
（1）确定函数的单调性；
（2）由可得出与的大小关系，进而解不等式即可得解，但同时要注意定义域的限制.
3．（河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题）已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】根据抽象函数方程，通过赋值将化成，再利用函数的单调性求解即得.
【详解】由，，令，可得，
而，
则由可得，
因函数是定义在上的减函数，则有，解得.
故选：A.
4．（云南省2025届高三下学期5月新高考自主命题冲刺金卷数学试卷）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，，均有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据，设函数，则在上递增，判断也是是定义在R上的奇函数，可得在上递增，分类讨论列不等式求解即可.
【详解】因为对任意的，均有成立，不妨设，
则，所以，
令，则在上递增，
因为是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数，
所以在上递增，
不等式化为，
因为，所以，即，所以，
则，即：，所以，
或，即：，所以，
所以不等式的解集为，
故选：A．
5．已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式
【分析】先根据的奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，再根据的性质得到当或时，，
当或时，，从而求出的解集.
【详解】根据题意可得，
因为为R上的奇函数，且在上单调递增，
所以，在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，
当时，，
当时，，
综上：不等式的解集为.
故选：D
6．（陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可.
【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，
又在上单调递增，
由，得，即，
平方并化简，得，解得或，即的取值范围为．
故选：D
7.已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据函数的单调性、奇偶性、定义域化简不等式，从而求得的取值范围.
【详解】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，
，
.
故选：B
复合函数单调性的问题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求函数的单调区间
【分析】由题意利用复合函数的单调性,即求函数在满足的条件下,函数y的减区间,再利用二次函数的性质得出结论．
【详解】函数的单调递减区间,
即求函数在满足的条件下,函数y的减区间
再利用二次函数的性质可得满足的条件下,函数y的减区间为,
故选D．
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、根式的性质,属于基础题．
2．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由题意知f(x)在上是增函数，令，则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，据此列出不等式组即可求解．
【详解】由题意可知在上为单调增函数，
令，
则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，
∴，解得
故选：C．
3．（安徽省六安市第一中学2020-2021学年高一上学期第一次段考数学试题）已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据为上的减函数可得参数的取值范围.
【详解】因为对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，故在上为减函数，
令，则该函数在上为减函数且在上恒成立，
当时，，不满足该函数在上为减函数，不合题意，故舍去；
当时，则，解得，
故选：B.
【点睛】本题考查复合函数的单调性，此类问题，一般利用“同增异减”的原则来处理，注意外函数定义域的要求，如本题中需在上恒成立，属于中档题.
利用函数单调性求参数范围的问题
1．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是 ．
【答案】.
【知识点】根据函数的单调性解不等式
【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，
因为，可得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
2．已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为 .
【答案】
【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的最值求参数
【分析】依题意可得函数图象，即可得到函数在上为减函数，又由，则，则有在，上恒成立，进而可得在，上恒成立，根据一次函数的性质得到，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由图可知函数在定义域上单调递减，且，
不等式在恒成立，
即在恒成立，
即有，解得，所以的最大值为；
故答案为：
3．已知函数．
(1)若函数在上单调，求实数a的取值范围；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性求参数值
【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数a的取值区间；
（2）由题得方程的两根分别为1、，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.
【详解】（1）函数的对称轴，依题意得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）由，得方程的两根分别为1、，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
4．（浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知函数（），
(1)若函数在上不单调，求的取值范围.
(2)若函数在上的最小值为，求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】（1）由二次函数的对称轴在区间内可得；
（2）根据对称轴与区间的关系分类讨论求得最小值，然后再分类求得最大值后比较可得．
【详解】（1）函数的对称轴为.
∵函数在上不单调，∴
解得；
（2）（ⅰ）当，即时，函数在上单调递增，
∴
（ⅱ）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，∴
（ⅲ）当，即时，函数在上单调递减，
∴
综上所述
∵当时，；
当时，；
当时，
∴当时，
5．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求实数a的值；
(2)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次函数的图象分析与判断、已知二次函数单调区间求参数值或范围、判断二次函数的单调性和求解单调区间
【分析】（1）根据二次函数的对称轴为即可求解．
（2）分类讨论二次项是否为，当，函数为一次函数，满足题意；当，只需开口朝上，对称轴即可．
【详解】（1）由题意知，解得．
（2）当时，，在上单调递减，所以满足题意；
当时，，解得．
综上，实数a的取值范围为．
6．已知：函数在区间上不是减函数；：，．
（1）若“且”为真，求实数的最大值；
（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．
【答案】（1）4；（2）．
【知识点】根据或且非的真假求参数
【分析】（1）先分别由为真，为真，求得a的范围， 再根据“且”为真，由p，q都为真求解；
（2）根据“或”为真，“且”为假，由与一真一假求解.
【详解】当为真时，函数在区间上不是减函数，
所以，解得．
当为真时，关于的不等式有解，
所以，解得．
（1）若“且”为真，则且，所以．
所以若“且”为真，实数的最大值是4．
（2）若“或”为真，“且”为假，则与一真一假．
当真假时，且，解得；
当假真时，且，解得．
综上，实数的取值范围是．
7．设，.
(1)若在区间上是单调函数，求a的取值范围；
(2)若存在，使得对任意的，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【知识点】函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】（1）对称轴为，由或，解得即可；
（2）通过比较与给定区间之间的关系，分类讨论求出的最大值，利用换元法，令，得，，，原问题可转化为，再分三种情况，并结合对勾函数、二次函数的图象与性质，即可得解．
【详解】（1）解：由题意知，对称轴，因为在区间上是单调函数，
所以或，∴或.
（2）解：当，即时，在，上单调递减，所以；
当，即时，在，上单调递增，所以；
当，即时，在，上单调递增，在，上单调递减，所以，
综上， ，
由题意，问题转化为，
8．（上海交通大学附属中学2023-2024学年高二下学期摸底数学试卷）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【知识点】函数不等式恒成立问题
【分析】把不等式对一切实数都成立问题，转化为求最大值问题，即可得到实数的取值范围.
【详解】设，则对一切实数都成立，即为大于等于的最大值，如下图所示：
由图可知，即.
故答案为：.
9．（广东省广州市增城区增城中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题）若在上不是单调函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由二次函数的性质列式求解，
【详解】由题意得在单调递减，在单调递增，
而在上不是单调函数，则，得，
故选：B
10．函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】分和两种情况讨论，再根据二次函数的单调性即可得解.
【详解】解：当时，，显然在区间上递增，
当时，要使函数在区间上递增，
须满足，解之得：，
综上可知实数的取值范围是.
故选：C.
11．（重庆市实验中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题）下列判断不正确的是（ ）
A．若，则函数是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数.
C．函数f（x）=，对任意，，都有成立；
D．已知在上是增函数，则a的取值范围是.
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】根据分段函数的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】根据单调性的定义判断．
【详解】，满足，但它在R上不是减函数，A错；
中，若，，满足，但，因此在定义域内不是减函数，B错；
C中函数时是增函数，时，是常数函数，因此定义域内不减，即时，一定有，所以恒成立，时，也一样，C正确；
D中函数在R上是增函数，则，解得，D错．
故选：ABD．
12．若函数在区间上单调，则实数a的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围
【详解】试题分析：函数的图像开口向上，对称轴为直线，若函数在区间上单调，则应有或，解得：或，故选C.
考点：二次函数的单调性.
13．已知函数f（x）=对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得函数是增函数，列出不等式组，从而解出实数a的取值范围．
【详解】对任意的实数x1≠x2都有0成立，说明函数是增函数，
由题意函数f（x），得，
解得，，
故选C．
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的逆向问题，考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，属于基础题．
14．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】根据分段函数的单调性求参数
【分析】根据题意分别根据和的单调性求解.
【详解】函数，根据反比例函数的性质可得在区间上单调递减，
要使函数在区间上单调递减，则
由在上单调递增，得，解得，
故实数的取值范围是.
故选：D.
函数单调性的判断
1．函数的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
【答案】
【知识点】根式的化简求值、分段函数的单调性
【分析】先将函数利用根式的性质转化为，再利用绝对值的几何意义转化为分段函数求解.
【详解】，
的单调递增区间为，单调递减区间为.
故答案为：，
【点睛】本题主要考查根式的性质和分段函数的单调性，还考查了转化求解的能力，属于基础题.
2．有下列几个命题，其中正确的共有（ ）
①函数在上单调递增；
②函数在上是减函数；
③函数的单调区间是
④已知在上是增函数，若，则有；
⑤已知函数是奇函数，则.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【知识点】具体函数的定义域、比较函数值的大小关系、由奇偶性求函数解析式、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】对于①，根据二次函数的性质，可知函数在上单调；对于②，在和上均为减函数，但在并集上并不是减函数；对于③，首先要求函数的定义域，才可研究函数单调性；对于④，通过函数的单调性，，可得出答案；对于⑤，根据函数奇偶性即可求出函数的解析式.
【详解】由在上递增知，函数在上是增函数，故①正确；
在，上均是减函数，但在上不是减函数，如，但，故②错误；
在上无意义，从而在上不是单调函数，故③错误；
由得，又在上递增，所以，同理，，所以，故④正确；
设，则，，因为为奇函数，所以，故⑤正确.
故选：C
3．设函数是定义在上的函数，①若存在，使得成立，则函数在上单调递增。②若存在，使得成立，则函数在上不可能单调递减. ③若存在对于任意都有成立，则函数在上递增。④对于任意的，都有成立，则函数在上单调递减。
则以上真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据增函数和减函数的定义，注意关键的条件“任意”以及对应的自变量和函数值的关系即可判断出正确的答案.
【详解】①应改为：任意，使得成立，
则函数在上单调递增.故①错误.
对于②，由减函数的性质知：必须有任意，使得成立，
函数在上才单调递减，故②正确.
对于③，由于，则，结合，
可知函数在上为减函数，故③错误.
对于④，等价于对于任意的，都有成立，
则函数在上单调递减.故④正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了增函数和减函数的定义的应用，根据定义内容进行判断是解题的关键，属于中档题.
4．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性
【分析】运用增函数的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故A项正确；
对于B项，因为在上是增函数，
所以对于任意的，（），
当时，，所以，，所以，
当时，，所以，，所以，
综述：，故B项不成立；
对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.
故选：A.
5．若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比较函数值的大小关系
【解析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为函数是上的减函数，，
A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；
B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；
C选项，时，，则，所以C不成立；
D选项，，则；所以，即D一定成立.
故选：D.
6．若函数是上的严格减函数，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】比较函数值的大小关系
【分析】当时，可判断A，B；由二次函数的性质可得，结合单调性可判断C，D，进而可得正确选项.
【详解】当时，，此时，故选项AB不正确；
因为，所以，
因为函数是上的严格减函数，所以，
故选：D.
7．如图是定义在区间上的函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是( )
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上没有单调性
【答案】C
【知识点】根据图像判断函数单调性
【详解】由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A、B选项是正确的；
又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减，
但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C选项错误；
观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D选项正确.
故选C.
要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间；
根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A、B选项；
函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！
8．（黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题）下列函数在上是增函数的有（ ）个
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】结合函数的单调性进行分析，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，不符合题意.
函数在上递增，符合题意.
函数的对称轴为，不符合题意.
函数的对称轴为，不符合题意.
所以一共有个.
故选：A
一般对称性与函数单调性
1．满足，，且对于，，则是函数的单调递 （填“增”或“减”）区间，关于的不等式>0的解集是 .
【答案】 增 (-1,1).
【知识点】判断或证明函数的对称性、定义法判断或证明函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式
【分析】由函数单调性的定义可得第一空；利用函数的对称性，结合第一空的单调性与对数函数的性质可解第二空.
【详解】因为满足，所以关于对称，
对于，， 则在上函数单调递减，所以在上函数单调递增，且；
因为>0，所以，，解得，
故答案为：增；(-1,1).
2．（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数的定义域为，满足，当，且时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较函数值的大小关系、函数对称性的应用
【分析】由题意可得函数的图象关于对称，且在上是减函数，根据函数的对称性的单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以函数的图象关于对称，
因为当，且时，恒成立，
所以函数在上是减函数，
又，，且，
所以.
故选：D.
3．已知图象开口向上的二次函数,对任意,都满足,若在区间上单调递减,则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】二次函数的图象分析与判断、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】由得，从而得函数的图象的对称轴，结合开口方向即可得出结论．
【详解】解：由得，
∴函数的图象的对称轴是直线，
又的图象开口向上，
若在区间上单调递减，
则，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，考查函数的对称性，属于基础题．
4．已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断或证明函数的对称性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.
【详解】由，得函数图象的对称轴是直线，
又二次函数图象开口向上，若在区间上单调递减，
则，解得．
故选：B.
5．（多选题）（山东省日照市五莲县2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题）已知函数是定义在上的偶函数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解
【解析】本题首先可根据得出，即可判断出函数是周期为的函数，然后根据即可求出的值，再然后通过取即可求出的值，根据的值即可求出的值，最后取，即可求出的值.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，
因为，
所以，即，
则，函数是周期为的函数，
因为，所以，D正确，
取，则，，A正确，
因为，所以，C正确，
取，则，，B错误，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数奇偶性和周期性的应用，若函数满足恒成立，则函数是周期为的函数，若函数是偶函数，则函数满足，考查计算能力，是中档题.
七．利用函数单调性求最值或值域．
1．（辽宁省沈阳市五校协作体2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题）函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用函数单调性求最值或值域
【分析】先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可.
【详解】由二次根式的性质可知：，所以函数的定义域为：，
二次函数的对称轴为：，所以该二次函数在上单调递增，
由函数单调性的性质可知：函数在上单调递增，
因此当时，函数有最小值，最小值为：，
当时，函数有最大值，最大值为：，
因此函数的值域为，
故选：A
2．设函数的定义域为，以下三种说法：①若存在常数，使得对任意，有，则是的最大值；②若存在，使得对任意，有，则是的最大值；③若存在，使得对任意，且，有，则是的最大值.其中正确说法的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数基本性质的综合应用、判断命题的真假
【分析】举反例说明①错误，由最大值概念确定②③正确.
【详解】对任意，有，但2不是的最大值；①错误
由函数最大值的概念知②③正确，选C.
【点睛】本题考查最大值的概念，考查分析判断能力，属基础题.
3．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是减函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值
【答案】B
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断二次函数的单调性和求解单调区间
【解析】由函数在区间上有最小值求出的取值范围，表示出，进一步应用的范围对的单调性、最值作出判断．
【详解】函数在区间上有最小值，
函数的对称轴应当位于区间内，
有，则，
当时，在区间上为增函数，此时，（1）；
当时，在区间上为增函数，此时，（1）；
当时，，，在上单调递增，此时（1）；
综上，在区间上单调递增．
故选：
【点睛】本题考查函数的单调性及函数最值的求解，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力属于中档题．
4．（福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题）下列函数中，的最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】对A，B，举反例说明；对C，D，利用基本不等式分析各选项的最值，注意“一正、二定、三相等”的判断，由此可得结果.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由，，
所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当取等号，此时，显然等号取不到，故D错误.
故选：C.
5．（多选题）（河北省石家庄四十一中2021-2022学年高一上学期期中数学试题）已知函数在区间上单调递减，则函数在区间上一定（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
【答案】BD
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对勾函数求最值、利用函数单调性求最值或值域
【分析】根据二次函数的性质，结合对勾函数的性质进行求解即可.
【详解】二次函数的对称轴为：，
因为函数在区间上单调递减，
所以，，该函数在上单调递减，而，
所以当时，函数单调递减，且有最小值，即，
故选：BD
【点睛】关键点睛：掌握对勾函数的单调性是解题的关键.
6．（多选题）（广东省广州市第六中学2022-2023学年高一上学期线上限时训练（问卷）数学试题）已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A．是奇函数 B．是增函数 C．有最小值 D．有最大值
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断
【分析】由已知求出a的取值范围，应用a的范围对的单调性、最值作出判断
【详解】函数在区间上有最小值，∴函数图像抛物线的对称轴应当位于区间内，∴有，
，
在区间上，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
任取 ，，
由，，有 ， ，则，即，
所以在区间上为增函数，为函数最小值．
故选：BC
7．（江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高二上学期期中数学试题）当时，下列函数的最小值为4的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、利用函数单调性求最值或值域
【解析】根据对勾函数的单调性分析A；利用基本不等式分析BC；利用函数的单调性直接分析D.
【详解】A．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增，所以函数最小值为：，故不符合；
B．，
取等号时，即，所以函数的最小值为，故符合；
C．，
取等号时，即，所以函数的最小值为，故符合；
D．在为单调递增函数，所以函数的最小值为，故符合；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．下列函数的最小值为2的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】基本不等式求积的最大值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值
【分析】对于选项A：结合已知条件利用二次函数性质即可求解；对于BCD：结合已知条件利用基本不等式求最值即可.
【详解】对于选项A：因为，，
所以由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，有最小值1，故A错误；
对于选项B：因为，所以，
故，
当且仅当时，即时，有最小值2，故B正确；
对于选项C：因为，所以，
由题意，，，
又因为，即，
当且仅当时，即时，不等式取等号，
进而，即当时，的最小值为2，故C正确；
对于选项D：由基本不等式可知，，
当且仅当，即时，有最小值2，故D正确.
故选：BCD.
