平面向量的概念及线性运算
【基础回顾】
知识点1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
知识点2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点3 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
【必备知识】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．中线定理：若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．重心定理：若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．三点共线定理：若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
其推论：如图，
对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
向量的换底公式（统一起点）：
题型一 平面向量的有关概念
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
【例题精讲】
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与不共线，则与都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列说法中正确的是（ ）
A．时间能称为向量
B．所有单位向量都是相等向量
C．模为0的向量与任一非零向量平行
D．若，则
（多选）4．下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．长度相等的向量是相等向量
C．零向量的方向是任意的
D．方向相反的向量是相反向量
（多选）5．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D，是不共线的四点，且， “四边形ABCD是平行四边形”
题型二 平面向量加、减运算的几何意义
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
【例题精讲】
1．（ ）
A． B． C． D．
2．对于平面内n个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（ ）
A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定
3．下列命题中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
（多选）5．在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型三 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算的求解策略
【例题精讲】
1．在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝（ ）
A．1 B． C． D．
2．若，S△AOC，S△BOC分别表示△AOC，△BOC的面积，则S△AOC：S△BOC＝（ ）
A．3：5 B．2：3 C．1：6 D．1：2
3．如图，平行四边形ABCD中，AE＝2EB，DF＝FC，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
（多选）5．已知点P是△ABC所在平面内一点，且，m，n∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P是边BC的中点
B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则
C．若，则S△PBC＝2S△ABC
D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是△ABC的重心
（多选）6．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
题型四 判定向量共线、三点共线
判定向量共线、三点共线的方法
【例题精讲】
1．已知向量，，且，则m＝（ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．设，是平面向量的一个基．已知非零向量，，其中xi，yi∈R（i＝1，2），给出下列四个命题：
①；
②当且仅当x1＝x2且y1＝y2；
③当且仅当x1y2＝x2y1；
④当且仅当x1x2+y1y2＝0；
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
（多选）4．下列命题正确的是（ ）
A．若向量共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为△ABC的重心，则
D．已知向量，若∥，则x﹣2y＝0
（多选）5．已知向量，，（a＞0，b＞0），，则（ ）
A．存在a＞0，b＞0使得
B．不存在a＞0，b＞0使得
C．若，则
D．若，则
题型五 利用共线向量定理求参数
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
【例题精讲】
1．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（ ）
A． B．1 C． D．﹣1
3．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知2k，3，2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．2 C．8 D．﹣8
（多选）4．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
（多选）5．设{}是平面内的一组基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若向量，则的相反向量为
B．若向量与共线，则k＝1
C．若，则λ＝μ＝0
D．若是平面内的任意向量，则存在唯一实数对λ，μ，使
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与不共线，则与都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
4．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．向量的模是一个正实数
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
5．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，，则
8．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数t的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
（多选）10．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
（多选）11．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
三．填空题（共3小题）
12．设向量，，不共面，已知3，，4，若A，C，D三点共线，则λ＝
13．已知，为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ．
14．已知，，若对 t∈R，恒有，且点M满足，N为OA的中点，则 ．
四．解答题（共5小题）
15．，，．
（1）若，求k值；
（2）若，且A、B、C三点一线，求n的值；
（3）若，求t的值．
16．如图，在△OBC中，A是BC的中点，D是线段OB上靠近点B的三等分点，设，．
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：C，D，E三点共线．
17．已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求m，n的值；
（2）若A，B，C三点共线，求mn的最大值．
18．如图，在△ABC中，点M，N满足，点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
19．已知在△ABC中，N为AB中点，．
（1）若∠BAC＝60°，求；
（2）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB；
（3）若线段NC上一动点P满足，试确定点P的位置．平面向量的概念及线性运算
【基础回顾】
知识点1．向量的有关概念
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或，，…表示
向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段的长度(或称模) |a|或||
零向量 长度为0的向量 用0表示
单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1
平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b
相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b
相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a
说明：零向量的方向是不确定的、任意的．
规定：零向量与任一向量平行．
知识点2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点3 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一．
【必备知识】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即＋＋＋…＋＝.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．中线定理：若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则＝(＋)．
3．重心定理：若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0 P为△ABC的重心，＝(＋)．
4．三点共线定理：若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
其推论：如图，
对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
向量的换底公式（统一起点）：
题型一 平面向量的有关概念
平面向量有关概念的四个关注点
关注点一 非零向量的平行具有传递性
关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关
关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量
关注点四 是与a同方向的单位向量
【例题精讲】
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】D
【解答】解：A中，由于空间向量是有方向的，所以空间向量不能比较大小，所以A正确，即A是真命题；
B中，由向量的定义可得两个相等向量若起点相同，则终点一定相同，所以B正确，即B是真命题；
C中，只有零向量的模长才为0，所以C正确，即C为真命题；
D中，共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，所以D不正确，即D为假命题．
故选：D．
2．下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与不共线，则与都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；
对于②，零向量的模为0，不是正实数，故②错误；
对于③，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故③正确，；
对于④，因为零向量与任意向量共线，所以不共线向量定是非零向量，显然正确．
综上，③④正确．
故选：B．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．时间能称为向量
B．所有单位向量都是相等向量
C．模为0的向量与任一非零向量平行
D．若，则
【答案】C
【解答】解：对于A，根据时间只有大小，没有方向，可知时间不是向量，故A项错误；
对于B，根据单位向量的模等于1，可知所有的单位向量模都相等，
但它们的方向不一定相同，所以它们不一定是相等向量，故B项错误；
对于C，模为0的向量是零向量，零向量与任何一个非零向量平行，故C项正确；
对于D，两个向量的模相等时，由于方向不确定，不能确定它们是相等向量，故D项错误．
故选：C．
（多选）4．下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．长度相等的向量是相等向量
C．零向量的方向是任意的
D．方向相反的向量是相反向量
【答案】ABD
【解答】解：对于A，若，则不一定有，即不一定共线，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量是相等向量，故B错误；
对于C，零向量的方向是任意的，故C正确；
对于D，方向相反且长度一样的向量是相反向量，故D错误．
故选：ABD．
（多选）5．下列命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D，是不共线的四点，且， “四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解答】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；
对于B：单位向量的模为1，但是方向不一定相同，故B错误；
对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；
对于D：若A，B，C，D，是不共线的四点，且，
则AB∥CD且AB＝CD，
所以四边形ABCD是平行四边形，故充分性成立，
若四边形ABCD是平行四边形，
则，故必要性也成立，故D正确．
故选：AD．
题型二 平面向量加、减运算的几何意义
1．平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
2．三种运算法则的要点
(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．
(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．
(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．
【例题精讲】
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据平面向量的加法运算及数乘运算可知，
．
故选：B．
2．对于平面内n个起点相同的单位向量，若每个向量与其相邻向量的夹角均为，则与的位置关系为（ ）
A．垂直 B．反向平行 C．同向平行 D．无法确定
【答案】B
【解答】解：根据题意可得，
所以，
所以与的位置关系为反向平行．
故选：B．
3．下列命题中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
根据向量加法的三角形法则可知，故D正确．
故选：D．
（多选）4．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解答】解：∵，
∴，
∴，
又∵E为BC的中点，
∴．
故选：BCD．
（多选）5．在平行四边形ABCD中，M为DC上任一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解答】解：．
故选：AB．
题型三 平面向量的线性运算
平面向量的线性运算的求解策略
【例题精讲】
1．在平行四边形ABCD中，，点F是线段DE的中点，若，则μ＝（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，F是DE的中点，
可得
，
所以．
故选：C．
2．若，S△AOC，S△BOC分别表示△AOC，△BOC的面积，则S△AOC：S△BOC＝（ ）
A．3：5 B．2：3 C．1：6 D．1：2
【答案】D
【解答】解：如图，设D，E分别是AC，BC的中点，
则，，
由，
可得，即，
所以O，D，E三点共线，且OE＝2OD，
故S△DOC：S△EOC＝1：2，
又DE为△ABC的中位线，故DE∥AB，
故S△DOA：S△EOB＝1：2，
则S△AOC：S△BOC＝（S△DOC+S△DOA）：（S△EOC+S△EOB）＝1：2．
故选：D．
3．如图，平行四边形ABCD中，AE＝2EB，DF＝FC，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：方法一、平行四边形ABCD中，AE＝2EB，DF＝FC，
因为，
所以33（），
又因为F是CD的中点，
所以（）
（）
（）
．
方法二、平行四边形ABCD中，AE＝2EB，DF＝FC，
所以，即①，
又，即②，
由①+②得，
又，，所以．
故选：D．
4．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值（ ）
A．2 B．8 C．9 D．18
【答案】C
【解答】解：点O是BC的中点，，，m＞0，n＞0，
由题意，，又M，O，N共线，则m+n＝2，
且m＞0，n＞0，所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为9．
故选：C．
（多选）5．已知点P是△ABC所在平面内一点，且，m，n∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点P是边BC的中点
B．若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则
C．若，则S△PBC＝2S△ABC
D．若点P在BC边的中线上，且，则点P是△ABC的重心
【答案】BD
【解答】解：对于A，因为，
若P为边BC的中点，则，
即，，故A错误；
对于B，如图1，
若点P是边BC上靠近B点的三等分点，
则2，即2（），整理得，
即，，即，故B正确；
对于C，若，则，且4m+2n＝1，
如图2，
设，即，则点M在BC边上，
点P为AM的中点，所以，故C错误；
对于D，若，则，且，
如图3，
设，即，则点N在BC上，
又因为P在BC边的中线上，则AN即为中线，
又点P为线段AN靠近点N的三等分点，所以点P为△ABC的重心，故D正确．
故选：BD．
（多选）6．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
【答案】AC
【解答】解：选项A，因为，所以AD∥BC，且，
所以，所以，故A正确，
选项B，若，则F为CG的中点，
因为E为CD的中点，所以EF∥DG，
与EF，DG相交于点B矛盾，故B错误，
选项C，因为E为CD的中点，
所以，故C正确，
选项D，因为A，F，C三点共线，
所以，且x+y＝1，
又，，
所以λ＝﹣x，μ＝2y，2λ﹣μ＝﹣2，故D错误，
故选：AC．
题型四 判定向量共线、三点共线
判定向量共线、三点共线的方法
【例题精讲】
1．已知向量，，且，则m＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：由已知，，，
因为∥，
所以．
故选：C．
2．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
3．设，是平面向量的一个基．已知非零向量，，其中xi，yi∈R（i＝1，2），给出下列四个命题：
①；
②当且仅当x1＝x2且y1＝y2；
③当且仅当x1y2＝x2y1；
④当且仅当x1x2+y1y2＝0；
其中真命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【解答】解：①根据向量的模的计算公式，
可得，
因为，是平面向量的一个基底，
所以，夹角和模未知，
所以不一定等于，所以命题①错误；
②根据向量相等的定义，当且仅当与的模相等且方向相同，
即，即．
因为，是平面向量的一个基底，
所以，不共线，
所以x1﹣x2＝0且y1﹣y2＝0，即x1＝x2且y1＝y2，所以命题②正确；
③根据向量平行的定义，若，则x1y2＝x2y1；
若为非零向量，则 存在的唯一实数λ，使得，
即，即，
因为，是平面向量的一个基底，所以，不共线，
所以x1﹣λx2＝0，且y1﹣λy2＝0，
即x1＝λx2且y1＝λy2，x1y2＝x2y1，
综上，命题③正确；
④根据向量垂直的定义，，
即，
即，
因为夹角和模未知，
故不一定能得到，
所以命题④错误．
故选：B．
（多选）4．下列命题正确的是（ ）
A．若向量共线，则A，B，C，D必在同一条直线上
B．若A，B，C为平面内任意三点，则
C．若点G为△ABC的重心，则
D．已知向量，若∥，则x﹣2y＝0
【答案】BC
【解答】解：对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反，
不一定A、B、C、D在同一直线上，故A项错误；
对于B，根据平面向量线的性运算法则，可知，故B项正确；
对于C，若点G为△ABC的重心，设AB中点为M，则，
由三角形重心的性质，得，可得，所以，故C项正确；
对于D，因为向量，且∥，
所以（4+x） y＝x （y﹣2），化简得x+2y＝0，故D项错误．
故选：BC．
（多选）5．已知向量，，（a＞0，b＞0），，则（ ）
A．存在a＞0，b＞0使得
B．不存在a＞0，b＞0使得
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【解答】解：对于A，若，则需满足﹣a＝b，因此不可能存在a＞0，b＞0使得，故A错误，
对于B，若，则需满足﹣a＝b，又a＞0，b＞0，所以﹣a＝b不可能成立，故不存在a＞0，b＞0使得，故B正确，
对于C，若，则ab﹣1＝0，，
当且仅当时取到等号，故C正确，
对于D，若，则，
则ab＝a﹣1，则，又，b＞0，则ab＝a﹣1＞0，
所以，故D错误．
故选：BC．
题型五 利用共线向量定理求参数
一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
【例题精讲】
1．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量，
根据向量共线定理，“k与s2共线” 存在λ（λ≠0），
使得kλ（s2） 2λ＝kλs ks＝2，
则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．
2．已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（ ）
A． B．1 C． D．﹣1
【答案】B
【解答】解：因为，
且A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得，即，
则，解得m＝1．
故选：B．
3．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知2k，3，2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A． B．2 C．8 D．﹣8
【答案】D
【解答】解：因为3，2，所以4，
因为A，B，D三点共线，2k，
所以存在λ，使得λ，即2kλ（4），
因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得k＝﹣8．
故选：D．
（多选）4．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】BC
【解答】解：因为向量，不共线，，，A，B，C三点共线，
所以∥，
所以：2×1﹣（﹣λ）×[﹣（λ+1）]＝0，即λ2+λ﹣2＝0 （λ+2）（λ﹣1）＝0．
所以λ＝﹣2或λ＝1．
故选：BC．
（多选）5．设{}是平面内的一组基底，则下列命题正确的是（ ）
A．若向量，则的相反向量为
B．若向量与共线，则k＝1
C．若，则λ＝μ＝0
D．若是平面内的任意向量，则存在唯一实数对λ，μ，使
【答案】ACD
【解答】解：若向量，则的相反向量为，A正确；
若向量与共线，则，所以k＝﹣1，B错误；
，则λ＝μ＝0，故λμ＝0，C正确；
由题意可得，与不共线，
则存在唯一实数对λ，μ，使，D正确．
故选：ACD．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与不共线，则与都是非零向量．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；
对于②，零向量的模为0，不是正实数，故②错误；
对于③，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故③正确，；
对于④，因为零向量与任意向量共线，所以不共线向量定是非零向量，显然正确．
综上，③④正确．
故选：B．
2．设平面向量与不共线，k，s∈R，则“k与s2共线”是“sk＝2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：平面向量与不共线，所以k与s2均不为零向量，
根据向量共线定理，“k与s2共线” 存在λ（λ≠0），
使得kλ（s2） 2λ＝kλs ks＝2，
则“k与s2共线”是“sk＝2”的充要条件．
故选：C．
3．已知与是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：与是两个不共线的向量，，，，
则（3﹣k）（2+k），
由A，B，D三点共线，
可得存在实数λ，使得λ，
即，解得k＝﹣12．
故选：B．
4．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．向量的模是一个正实数
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
【答案】D
【解答】解：A选项，向量既有大小又有方向，零向量的方向是任意的，A不正确；
B选项，零向量的模是0，B不正确；
C选项，因为单位向量的方向不确定，C不正确；
D选项，若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D．
5．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
6．已知△ABC是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴|AB|＝|AC|＝|BC|．
设AB，AC，BC的中点分别为D，E，F，
对于A，||＝||，||＝||，故A正确；
对于B，||＝||，||＝2||，显然||≠2||，故B错误；
对于C，||＝2||，||＝2||＝2||，故C正确；
对于D，||＝2||，||＝2||＝2||，故D正确．
故选：B．
7．下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，，则
【答案】B
【解答】解：当，方向相反时，满足共线，得不出，A错误；
根据向量相等的定义可知B正确；
时，满足，但共线，C错误；
，与不平行时，满足，得不出，D错误．
故选：B．
8．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数t的值为（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：是两个不共线的向量，∴，
∵共线，
∴，λ∈R，
∴，∴且，
∴λ＝﹣3，t＝﹣2，
∴实数t的值为﹣2．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解答】解：对于A，向量是具有方向的量，
若方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
【答案】ACD
【解答】解：若是共线的单位向量，则或，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若，的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时共线，故C错误；
若，如且时，
则不存在实数λ，使得成立，故D错误．
故选：ACD．
（多选）11．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，BE与AC交于点F，BD与AC交于点G，设，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则2λ﹣μ＝﹣1
【答案】AC
【解答】解：选项A，因为，所以AD∥BC，且，
所以，所以，故A正确，
选项B，若，则F为CG的中点，
因为E为CD的中点，所以EF∥DG，
与EF，DG相交于点B矛盾，故B错误，
选项C，因为E为CD的中点，
所以，故C正确，
选项D，因为A，F，C三点共线，
所以，且x+y＝1，
又，，
所以λ＝﹣x，μ＝2y，2λ﹣μ＝﹣2，故D错误，
故选：AC．
三．填空题（共3小题）
12．设向量，，不共面，已知3，，4，若A，C，D三点共线，则λ＝ 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为3，，4，
所以2（λ﹣1）4，
因为A，C，D三点共线，所以∥，
所以，解得λ＝0．
故答案为：0．
13．已知，为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ．
【答案】．
【解答】解：与共线，
则存在实数λ，使得，
，为两个不共线的非零向量，
则，解得k．
故答案为：．
14．已知，，若对 t∈R，恒有，且点M满足，N为OA的中点，则 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：因为
，
，
因为对 t∈R，恒有，
所以对 t∈R恒成立，
即对 t∈R恒成立，
即对 t∈R恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以||＝||．
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．，，．
（1）若，求k值；
（2）若，且A、B、C三点一线，求n的值；
（3）若，求t的值．
【答案】（1）﹣2．
（2）．
（3）．
【解答】解：（1）∵，，∴k（2k+1，2），
又（﹣3，2），且k∥，∴（2k+1）×2＝﹣3×2，解得k＝﹣2；
（2）∵，，
∴23（7，6），n（2+n，2n），
又A、B、C三点共线，∴∥，∴（2+n）×6＝7×2n，解得；
（3）∵，，
∴t（2t+1，2），
又（﹣3，2），且t⊥，
∴（2t+1）×﹣3+2×2＝0，解得．
16．如图，在△OBC中，A是BC的中点，D是线段OB上靠近点B的三等分点，设，．
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：C，D，E三点共线．
【答案】（1），；
（2）证明：因为，
所以，
由（1）知，，
所以与平行，
又有公共点D，
所以C，D，E三点共线．
【解答】解：（1）因为A是BC的中点，D是线段OB上靠近点B的三等分点，，，
所以，，
所以，
；
（2）证明：因为，
所以，
由（1）知，，
所以与平行，
又有公共点D，
所以C，D，E三点共线．
17．已知向量与不共线，且，，．
（1）若，求m，n的值；
（2）若A，B，C三点共线，求mn的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为，，所以，
又因为，
所以m＝3，n＝﹣4；
（2），，
由A，B，C三点共线，存在不为零的数λ，使得，
即，
则m﹣2＝﹣λ，n+1＝3λ，
所以n+1＝3（2﹣m），n＝5﹣3m，
所以，
所以当时，mn取得最大值．
18．如图，在△ABC中，点M，N满足，点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）6．
【解答】解：在△ABC中，点M，N满足，
点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）（）；
（2）由（1）得，
因为M，N，E共线，所以1，m＞0，n＞0，
所以6（1）＝6，
6．
19．已知在△ABC中，N为AB中点，．
（1）若∠BAC＝60°，求；
（2）设和的夹角为θ，若，求证：CN⊥AB；
（3）若线段NC上一动点P满足，试确定点P的位置．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；
（3）点P为线段NC的中点．
【解答】解：（1）因为，即，
可得，
因为，，∠BAC＝60°，
由平面向量数量积的定义，
可得，
所以，
；
（2）由平面向量数量积的定义可得，
因为N为AB的中点，则，
所以，
又因为、均为非零向量，故，即CN⊥AB；
（3）因为点P在线段NC上的一点，设，其中0≤λ≤1，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点P为线段NC的中点．
