平面向量基本定理及坐标表示
【基础回顾】
知识点1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
【必备知识】
1.中点坐标公式：已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2.重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
题型一 平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：确定一个基底，把其他向量用基底表示，再通过向量系数的运算来解决．
提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
【例题精讲】
1．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则x+y＝（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且BD＝2AD，点E是CD的中点，设，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
（多选）4．如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A． B．
C． D．m+2n的最小值为2．
（多选）5．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．的最大值为
题型二 平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【例题精讲】
1．在△ABC中，已知，，则△ABC的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
2．若向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知，，若，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
（多选）4．已知向量（1，2），（1，﹣1），则（ ）
A．||
B．2（3，0）
C．cos ，
D．在上的投影向量的坐标为
（多选）5．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
题型三 利用向量共线求向量或点的坐标
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提示：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【例题精讲】
1．已知向量（2，3），（x，﹣6），且∥，则x＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．9 D．﹣9
2．已知向量（3，m），（1，﹣1），且||＝5，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．2
3．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
（多选）4．已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）5．设向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则k＞6
B．的最小值为9
C．与共线的单位向量只有一个，为
D．若，则k＝±6
题型四 利用向量共线求参数
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【例题精讲】
1．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
3．已知，，若，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
（多选）4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点P在直线AB上，且，则点P的坐标可能为（ ）
A．（8，﹣9） B．（4，﹣1） C． D．（5，﹣6）
（多选）5．已知向量（m﹣1，1），（2，m），则下列选功正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则m＝﹣1
C．若，则向量的夹角为60°
D．若共线，则m＝2
题型五 解析法(坐标法)在向量中的应用
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
【例题精讲】
1．若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行，则4x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
2．已知（sinα，1﹣4cos2α），（1，3sinα﹣2），α∈（0，），若∥，则tan（α）＝（ ）
A． B． C． D．
（多选）3．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
（多选）4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝ ．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣0.25 D．0.25
2．关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数x，y，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
3．已知向量，，若，则实数λ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
4．已知向量，则“x＝2”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD（含端点）上一动点，若（λ，μ∈R），则（ ）
A．λ+μ＝1 B．μ＝2λ C．μ＝3λ D．
6．解决平面向量问题一个重要的定理：，λ+μ＝1的充要条件是A，B，C三点共线．如图所示，B，D分别是AM，BC的中点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．在ΔABC所在的平面上有一点P，满足，则△PAB与ΔABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（ ）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
二．填空题（共3小题）
9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，，则x+y＝ ；的最小值为 ．
10．已知向量，若向量与共线，则λ＝ ．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝ 。
三．多选题（共3小题）
（多选）12．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．可能垂直
B．可能共线
C．若，则
D．若，则在方向上的投影向量为
（多选）13．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
（多选）14．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．的最大值为
四．解答题（共5小题）
15．已知向量，且与垂直．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
16．已知，，且与的夹角θ＝120°，
（1）求，；
（2）若与垂直，求λ的值．
17．如图，在△ABC中，点P满足是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．
（1）若，求x和y的值；
（2）若，求的最小值．
18．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，点G在线段AB上，满足，线段CG与线段AD交于点O．
（1）用和表示；
（2）若，求实数t；
（3）如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，μ＞0），求λμ的最大值；
19．如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．平面向量基本定理及坐标表示
【基础回顾】
知识点1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
知识点2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
知识点3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0．
【必备知识】
1.中点坐标公式：已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
2.重心坐标公式：已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
题型一 平面向量基本定理的应用
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：确定一个基底，把其他向量用基底表示，再通过向量系数的运算来解决．
提示： (1)一个基底中的两个向量必须是同一平面内的两个不共线向量．
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
【例题精讲】
1．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：如图所示：
因为D为BC的中点，
所以．
又因为，，
所以．
所以，．
故选：A．
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象并以正八边形ABCDEFGH的中心O为旋转中心顺时针旋转而得到，若，则x+y＝（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：方法一：过G作GM⊥OH，GN⊥OF，垂足分别是M、N，
∵∠HOG＝∠FOG，
∴GM＝GN，且∠MON为直角，可得四边形GMON为正方形，
∴，
又∵OH＝OF＝OG，
∴，可得x＝y，
∴x+y．
方法二：分别以OE、OG所在直线为x轴、y轴，建立如图所求直角坐标系，
设OE＝OG＝2，则G（0，2），
∵∠HOG＝∠FOG，
∴，，
由，可得，
解方程组得x＝y，x+y．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且BD＝2AD，点E是CD的中点，设，，则可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题设，，
所以．
故选：B．
（多选）4．如图，在△ABC中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，λ，μ∈（0，+∞），过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（m＞0，n＞0），则（ ）
A． B．
C． D．m+2n的最小值为2．
【答案】ACD
【解答】解：对于A，B，
因为，依题意，将，代入，
得，
因为E，G，C三点共线，且B，G，D三点共线，
所以，得，所以A对，B错；
所以可得，
故，
又，所以，故C正确；
对于D，，，，
则，因为M、G、N三点共线，
则，即，
由，
当且仅当，即时取得等号，所以D正确．
故选：ACD．
（多选）5．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】BC
【解答】解：因为G是三角形ABC的重心，
所以，
因为G，P，Q三点共线，所以，则，故B正确，A错误，
又由题意可知λ∈（0，1]，μ∈（0，1]，
所以3，当且仅当，即λ＝μ时取等号，
所以，又因为λμ＜1，所以，
因为S，S，
所以四边形PQCB的面积SPQCB＝S△ABC﹣S△APQ，
所以1，
即四边形PQCB的面积与三角形APQ的面积的比值的最大值为，故C正确，D错误，
故选：BC．
题型二 平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解．
2．向量坐标运算的注意事项
(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同．
(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．
【例题精讲】
1．在△ABC中，已知，，则△ABC的面积为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解答】解：由，，
则 1×24，
且，，
所以，
因，故，
则，所以sin∠ABC，
所以△ABC的面积为S．
故选：A．
2．若向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由可得2 0，即x（x﹣1）+x2＝0，解得x＝0或x，
是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．已知，，若，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，，得，，
若，则5（2+λ）＝5（1﹣2λ），解得λ．
故选：B．
（多选）4．已知向量（1，2），（1，﹣1），则（ ）
A．||
B．2（3，0）
C．cos ，
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解答】解：∵，
∴，A正确；
，B正确；
，C错误；
在上的投影向量的坐标为：，D正确．
故选：ABD．
（多选）5．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
【答案】ACD
【解答】解：当m＝11，n＝18时，（n﹣m﹣1，2m﹣n）＝（6，4），
结合（3，2），可得，故OA∥BC，可知A正确；
根据（3，2），（n﹣m﹣1，2m﹣n），
若OA⊥BC，则 3（n﹣m﹣1）+2（2m﹣n）＝0，解得m+n＝3，故B错误；
当m＝2且n＝1时，可得B（3，1），C（1，4），，，
所以，，
可得，故C正确；
由A、B、C三点共线，可知，
结合，，
可得（m﹣2）（2m﹣2）＝（n﹣3）（n﹣2），即2m2﹣6m+4＝n2﹣5n+6，
所以，
整理得8m2﹣24m+17≥0，故D正确．
故选：ACD．
题型三 利用向量共线求向量或点的坐标
利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路
求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求的向量．求点的坐标时，可设要求点的坐标为(x，y)，根据向量共线的条件列方程(组)，求出x，y的值．
提示：(1)a∥b的充要条件不能表示为＝，因为x2，y2有可能为0.
当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【例题精讲】
1．已知向量（2，3），（x，﹣6），且∥，则x＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．9 D．﹣9
【答案】B
【解答】解：∵向量（2，3），（x，﹣6），且∥，
∴2×（﹣6）﹣3x＝0，
∴x＝﹣4，
故选：B．
2．已知向量（3，m），（1，﹣1），且||＝5，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．2
【答案】C
【解答】解：向量（3，m），（1，﹣1），
则，
||＝5，
则，解得m＝4或﹣2．
故选：C．
3．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
（多选）4．已知向量和均不共线，且，则向量可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：向量和均不共线，且，
则不共线．
A．∵1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，∴不共线，A正确．
B．∵，∴，故为共线向量，B错误．
C．∵﹣3×2﹣2×3＝﹣12≠0，∴不共线，C正确．
D．∵，∴，故为共线向量，D错误．
故选：AC．
（多选）5．设向量，则下列说法错误的是（ ）
A．若与的夹角为钝角，则k＞6
B．的最小值为9
C．与共线的单位向量只有一个，为
D．若，则k＝±6
【答案】BC
【解答】解：A选项，与的夹角为钝角，故且不反向共线，
则且﹣3﹣2k≠0，解得k＞6且，
综上，k＞6，A正确；
B选项，，当且仅当k＝0时，等号成立，故的最小值为3，B错误；
C选项，，与共线的单位向量有2个，
为，C错误；
D选项，若，则，解得k＝±6，D正确．
故选：BC．
题型四 利用向量共线求参数
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
【例题精讲】
1．向量，在正方形网格（每个正方形的边长均为1）中的位置如图所示，若向量共线，则λ等于（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，
则，
所以，
因为向量与共线，
根据向量共线的坐标表示可得1×（1﹣λ）﹣2×1＝0，解得λ＝﹣1．
故选：C．
2．已知向量．若与平行，则实数λ的值为（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：，，
则（4λ+1，5λ﹣1），
，
与平行，
则2（4λ+1）＝5λ﹣1，解得λ＝﹣1．
故选：D．
3．已知，，若，则λ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由，，得，，
若，则5（2+λ）＝5（1﹣2λ），解得λ．
故选：B．
（多选）4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，点P在直线AB上，且，则点P的坐标可能为（ ）
A．（8，﹣9） B．（4，﹣1） C． D．（5，﹣6）
【答案】AB
【解答】解：设P（x，y），因为O为坐标原点，，
所以A（5，﹣3），B（2，3），
因为点P在直线AB上，且，
所以以下两种情况均符合题意：
①，此时有（x﹣2，y﹣3）＝﹣2（5﹣x，﹣3﹣y），可得，解得x＝8，y＝﹣9．
②，此时有（x﹣2，y﹣3）＝2（5﹣x，﹣3﹣y），可得，解得x＝4，y＝﹣1．
综上所述，点P的坐标为（8，﹣9）或（4，﹣1）．
故选：AB．
（多选）5．已知向量（m﹣1，1），（2，m），则下列选功正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则m＝﹣1
C．若，则向量的夹角为60°
D．若共线，则m＝2
【答案】AB
【解答】解：由题意， 0，即2（m﹣1）+m＝0，解得m，A正确；
若，则（m﹣1）2+1＝22+m2，解得m＝﹣1，B正确；
若，则2（m﹣1）+m＝1，解得m＝1，
则（0，1），（2，1），
夹角的余弦值为cos，，C错误；
若共线，则（m﹣1）m＝2，解得m＝﹣1或m＝2，D错误．
故选：AB．
题型五 解析法(坐标法)在向量中的应用
通过建立坐标系，把复杂的几何运算转化为便于操作的代数运算，使向量问题化繁为简．
【例题精讲】
1．若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行，则4x+2y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【解答】解：若平面向量（x﹣1，﹣1）与（y，2）平行，
则﹣y＝2（x﹣1），即2x+y＝2，
4x+2y＝22x+2y，当且仅当2x＝y＝1时，等号成立，
故4x+2y的最小值为4．
故选：B．
2．已知（sinα，1﹣4cos2α），（1，3sinα﹣2），α∈（0，），若∥，则tan（α）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为（sinα，1﹣4cos2α），（1，3sinα﹣2），且∥，
所以1﹣4cos2α＝sinα（3sinα﹣2），
即1﹣4（1﹣2sin2α）＝3sin2α﹣2sinα，
即5sin2α+2sinα﹣3＝0，
解得sinα＝﹣1或sinα，
因为α∈（0，），
则sinα，
故tanα，
所以tan（α）．
故选：B．
（多选）3．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
【答案】ACD
【解答】解：当m＝11，n＝18时，（n﹣m﹣1，2m﹣n）＝（6，4），
结合（3，2），可得，故OA∥BC，可知A正确；
根据（3，2），（n﹣m﹣1，2m﹣n），
若OA⊥BC，则 3（n﹣m﹣1）+2（2m﹣n）＝0，解得m+n＝3，故B错误；
当m＝2且n＝1时，可得B（3，1），C（1，4），，，
所以，，
可得，故C正确；
由A、B、C三点共线，可知，
结合，，
可得（m﹣2）（2m﹣2）＝（n﹣3）（n﹣2），即2m2﹣6m+4＝n2﹣5n+6，
所以，
整理得8m2﹣24m+17≥0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解答】解：正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
所以，，
所以，故A错误，D正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误．
故选：BD．
5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝ ．
【答案】．
【解答】解：如图所示，可得，
又因为，
所以m，
故答案为：．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，且，则x的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣0.25 D．0.25
【答案】A
【解答】解：向量，，
则1×x＝﹣2×2，解得x＝﹣4．
故选：A．
2．关于平面向量，下列正确的是（ ）
A．若是单位向量，零向量，则
B．若向量与不共线，则存在一对实数x，y，使
C．海拔、温度、角度都是向量
D．若，则四边形ABCD是菱形
【答案】B
【解答】解：对于A，因为，显然不相等，故A错误；
对于B，因向量与不共线，则与可作为一组基底，
则由平面向量基本定理可得：存在一对实数x，y，使，故B正确；
对于C，向量为既有大小，又有方向的量，则海拔、温度、角度都不是向量，故C错误；
对于D，因，则AD＝BC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，
条件不足，无法判断是否是菱形，故D错误．
故选：B．
3．已知向量，，若，则实数λ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：向量，，
则，且，
所以λ+（﹣1）×（2﹣λ）＝0，解得λ＝1．
故选：C．
4．已知向量，则“x＝2”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为，且∥，
所以2x﹣x2＝0，解得x＝0或x＝2，
所以“x＝2”是“∥”的充分不必要条件．
故选：A．
5．在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD（含端点）上一动点，若（λ，μ∈R），则（ ）
A．λ+μ＝1 B．μ＝2λ C．μ＝3λ D．
【答案】B
【解答】解：因为D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD（含端点）上一动点，
所以当E，D不重合时，，
因为（λ，μ∈R），所以，
当E，D重合时，，此时，则必有μ＝2λ成立，
综上，都有μ＝2λ成立，即只有B始终成立．
故选：B．
6．解决平面向量问题一个重要的定理：，λ+μ＝1的充要条件是A，B，C三点共线．如图所示，B，D分别是AM，BC的中点，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：连接MC，根据B为AM中点且D为BC中点，
可得（），
根据A、N、C共线，设λ（1﹣λ），其中λ∈（0，1），
因为，所以λ：（1﹣λ）：，解得λ，
所以，可得（）（），
整理得，可得2．
故选：B．
7．在ΔABC所在的平面上有一点P，满足，则△PAB与ΔABC的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，
可得，
即，
令D是AC的中点，则，
所以，
P，A，B，D四点不共线，连接BD，则四边形ABDP为平行四边形，
所以S△PAB＝S△ABDS△ABC，
即．
故答案为：D．
8．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（ ）
A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12]
【答案】D
【解答】解：由，|，可知，
故点A、B在以O为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知|OH|＝1，
所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上，
则
，
所以，
又，，
则，故，
即|的取值范围是[8，12]．
故选：D．
二．填空题（共3小题）
9．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线MN与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，，则x+y＝ 3 ；的最小值为 ．
【答案】3；．
【解答】解：因为G为△ABC的重心，延长AG交BC于点Q，
则Q为BC的中点，且，
由重心的几何性质可知，
因为M、G、N三点共线，设，
即，所以，
因为，，
则，
因为、不共线，所以，，
则，，
故，即x+y＝3；
由x+y＝3，可得（x+1）+（y+2）＝6，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：3；．
10．已知向量，若向量与共线，则λ＝ ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：由题意可知，，
又因为向量与共线，所以2λ+7＝3（λ+3），解得λ＝﹣2．
故答案为：﹣2．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝ ．
【答案】．
【解答】解：如图所示，可得，
又因为，
所以m，
故答案为：．
三．多选题（共3小题）
（多选）12．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A．可能垂直
B．可能共线
C．若，则
D．若，则在方向上的投影向量为
【答案】BCD
【解答】解：由题意，，
对于A：若，则﹣2+sinθcosθ＝0，即sin2θ＝4＞1，
故不存在θ，使得垂直，故A错误；
对于B：若共线，那么，
根据正切函数的值域，存在θ使其成立，
所以可能共线，故B正确；
对于C：若，则，
所以，所以，故C正确；
对于D：若，则，
那么在方向上的投影向量为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）13．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2），B（m+1，n），C（n，2m），则下列结论正确的是（ ）
A．若m＝11，n＝18，则OA∥BC
B．若OA⊥BC，则m+n＝6
C．若m＝2，n＝1，则
D．若A，B，C三点共线，则8m2﹣24m+17≥0
【答案】ACD
【解答】解：当m＝11，n＝18时，（n﹣m﹣1，2m﹣n）＝（6，4），
结合（3，2），可得，故OA∥BC，可知A正确；
根据（3，2），（n﹣m﹣1，2m﹣n），
若OA⊥BC，则 3（n﹣m﹣1）+2（2m﹣n）＝0，解得m+n＝3，故B错误；
当m＝2且n＝1时，可得B（3，1），C（1，4），，，
所以，，
可得，故C正确；
由A、B、C三点共线，可知，
结合，，
可得（m﹣2）（2m﹣2）＝（n﹣3）（n﹣2），即2m2﹣6m+4＝n2﹣5n+6，
所以，
整理得8m2﹣24m+17≥0，故D正确．
故选：ACD．
（多选）14．如图，直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），且与边AB，AC交于点P，Q且，直线l将△ABC分成两部分分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为S△APQ和S四边形PQCB，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】BC
【解答】解：因为G是三角形ABC的重心，
所以，
因为G，P，Q三点共线，所以，则，故B正确，A错误，
又由题意可知λ∈（0，1]，μ∈（0，1]，
所以3，当且仅当，即λ＝μ时取等号，
所以，又因为λμ＜1，所以，
因为S，S，
所以四边形PQCB的面积SPQCB＝S△ABC﹣S△APQ，
所以1，
即四边形PQCB的面积与三角形APQ的面积的比值的最大值为，故C正确，D错误，
故选：BC．
四．解答题（共5小题）
15．已知向量，且与垂直．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【答案】（1）；（2）k＝﹣2．
【解答】解：（1），∴，m＝0，
∴，且，
∴，；
（2），且与互相垂直，
∴，即k＝﹣2．
16．已知，，且与的夹角θ＝120°，
（1）求，；
（2）若与垂直，求λ的值．
【答案】（1），；（2）．
【解答】解：（1）由条件可得：，
；
（2）因为与垂直，
所以．
17．如图，在△ABC中，点P满足是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．
（1）若，求x和y的值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由，得，可得，
所以，
由点O是线段AP的中点，可得，
又因为，且不共线，所以根据平面向量基本定理，得；
（2）因为，，
由（1）得，可知，
根据E、O、F三点共线，得，即2λ+μ＝3，
所以（2λ+μ）（）（4）
由λ＞0，μ＞0，得4，
所以（4）（4），即，
当且仅当μ＝2λ，即时取等号，可知的最小值为．
18．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，点G在线段AB上，满足，线段CG与线段AD交于点O．
（1）用和表示；
（2）若，求实数t；
（3）如图2所示，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，μ＞0），求λμ的最大值；
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由题意可得，
又因为，
所以，
可得；
（2）由于G，O，C三点共线，可得存在实数使得，
可得，
可得，
由，得，
又由于，
可得，
解得；
（3）因为，
同理，
由（1）可知，，
可得，
由于E，O，F三点共线，可得存在实数n，使得，
可得，
可得，，化简得2λ+μ＝3，
可得，当且仅当且2λ+μ＝3，即，时等号成立，
故λμ的最大值为．
19．如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）因为点E满足，点F是AC边上的中点，
所以；
（2）因为点D满足，
所以，
因为等边△ABC的边长为2，所以，
所以，
，
，
所以．
