双曲线
1.双曲线的定义
双曲线的定义：平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为一个常数2a（2a＜｜F1F2｜）M点的轨迹为双曲线. F1，F2为双曲线的焦点,｜F1F2｜为双曲线的焦距.
若2a＝｜F1F2｜，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；
若2a＞｜F1F2｜，则轨迹不存在；
若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质 范围 x≥a，或x≤－a y≤－a，或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知识点三 焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
知识点四 弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，,
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
【常用结论】
(1)双曲线方程的常见设法
①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ.
②若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ.
③与双曲线－＝1共焦点的方程可设为
(2)双曲线中的常用结论
①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
②若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
④若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
⑤点P在双曲线－＝1，上，双曲线以点P为切点的切线方程为.
即对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
题型一 双曲线的定义及方程
例题1 双曲线与椭圆有相同的焦距,一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程为
A． B．或 C．或 D．
【答案】．
【解答】解：椭圆中，，焦距，
双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为，
设双曲线方程为，化为标准方程，得：，
当时，，解得，双曲线方程为；
当时，，解得，双曲线方程为．
双曲线方程为或．
例题2 已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点为双曲线右支上一点，则，
因为，且，所以，，
由题，因为，则，所以为最小角，故，
所以在中，由余弦定理可得，，解得，所以，
所以双曲线的标准方程为.
【举一反三】
1. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ．
【答案】
【解析】双曲线经过点，且与具有相同渐近线，
设双曲线的方程为，，把点代入，得：，解得，
双曲线的方程为：．故答案为：．
2. 求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程。
【答案】 或
【解析】若焦点在轴上,设椭圆方程为,将点代入,得,故所求方程为
若焦点在轴上，设方程为代入点，得，．
3.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【解析】由双曲线可得焦点坐标为，
设所求双曲线的方程为，，
由题意可得：，解得，所以双曲线的标准方程为：，故答案为：.
4. －＝4表示的曲线方程为
【答案】－＝1(y≤－2)
【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合.
根据双曲线定义可知， ,所以
由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大,所以
即曲线方程为
5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(x＞3) C.＋＝1(0＜x＜2) D.＋＝1(0＜x＜3)
【答案】A
【解析】如图，设△ABC与内切圆的切点分别为D，E，F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x＞2).故选A.
题型二 双曲线的性质
例题1 把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同
A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点
【答案】
【解答】解：共轭双曲线和的，设，，
可得它们的焦点为，，渐近线方程均为，离心率分别为和，
它们的顶点分别为，
例题2 已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于 ．
【答案】
【解答】解：如图，
由双曲线定义可得：，，，
又已知，，得．
例题3 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】不妨设焦点，其中一条渐近线为，则直线l的方程为，
由解得即，
因为，所以，
过点作轴的垂线，垂足为，如下图：
于是.
例题4 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：，，由题意得，
设，则，解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
例题5 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为，则，
由可得：，不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为，故选C．
【举一反三】
1. 已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设，由双曲线定义得：，，
所以，
作，△中，，可得，
△中，勾股定理得：①，
△中，勾股定理得：，可得②，
由①②可得，整理可得，即可得．
所以渐近线的斜率为，故渐近线方程为．
2. 【多选】（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
3. 双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解答】解：双曲线的右焦点为，
直线过定点，
所以双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为线段 的长，
即最大值为，
4. 已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（ ）
A． B．2 C． D．不确定
【答案】A
【解析】直线与联立得两交点的坐标为、，这两点间的距离为，
所以函数的图像绕原点顺时针旋转得到双曲线方程为，由双曲线定义得.
5. 若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
6. 设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形.
由已知可得，又由双曲线的定义知，，所以，.
又，所以四边形是矩形，所以.
在中，有，即，
所以，，所以，.
所以，双曲线的渐近线方程为，整理可得.
题型三 双曲线离心率
例题1 （2024新高考Ⅰ卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
例题2 （2023新高考Ⅰ卷·16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，故，
所以在中，，整理得，故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.故答案为：.
例题3 （2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】过点作另一条渐近线的垂线于，由对称性可得，
由，则有，则，
故，故，故，即.
例题4 （2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】，故点在的垂直平分线上，
则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点，故设点，
不妨设均在上，则，
，，，即，，
，故离心率为.
【举一反三】
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，不妨取渐近线为，
焦点到渐近线的距离为，则，，则．
2. 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设的内切圆与，的切点分别为，，
由切线长定理可知，，，
又，，
由双曲线的定义可知，故而，又，
双曲线的离心率为．
3. 已知椭圆的左，右顶点分别为，，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可得，，设，，则由在椭圆上可得，①
直线与的斜率之积为，，②把①代入②化简可得，
，
4. 双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：因为点在双曲线上，且轴，
所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得，则，，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以（舍去），或，
5. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】如图，，是双曲线的左右焦点，延长交于点．
是的角平分线，．
点在双曲线上，，．
是的中点，是的中点，是△的中位线，，则．
在△中，由余弦定理可知，，
当的横坐标趋近于时，直线的斜率趋近，故，得，．
6. 、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为为等边三角形，不妨设，
为双曲线上一点，，
为双曲线上一点，则，，，
由，则，
在△中应用余弦定理得：，
得，则，解得．
题型四 焦点三角形
例题1 已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，故为直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
例题2 已知 是双曲线的左 右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：设，，则.
由双曲线定义知，，又，故，
由于在以为直径的圆上，所以，故有
从而
解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为.
设，联立，解得，即.
因此，选项A正确.
例题3 双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
【答案】
【解答】由题意，设，，，，则，，
，，两式相减可得
，，，，．
例题4 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为
【答案】ACD
【解析】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，
设圆分别与的三边切于点，则由题，且，，
又，A选项正确；
由选项A得，连接、、，则，
所以，B选项错误；
同理，，，，
所以由焦三角面积公式得，
又，故得，的周长为，选项正确；
由，由正弦定理得，D选项正确.
【举一反三】
1. 已知双曲线：的左 右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
【答案】
【解析】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，
由双曲线定义知，所以，所以，
所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，
此时，直线方程为，
由，得，故点，
.
2. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
【答案】/
【详解】不妨将点置于第一象限. 设是双曲线的右焦点，连接. 分别为的中点，故.又由双曲线定义得，
故.
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【详解】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
4. 设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】A
【详解】∵为正三角形，
设，则，，又双曲线，
则根据双曲线定义得，
∴，即等边三角形的边长为4，
故的面积为.
5. 已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为 B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则 D．若，则的外接圆半径为
【答案】ABD
【解析】由离心率为，右顶点为可得，，故双曲线C的方程为，A正确；
双曲线的渐近线为，故点A到双曲线C的渐近线的距离为，B正确；
由双曲线的定义，，则或10，C错误；
，则，的外接圆半径为，D正确.
故选：ABD.
【课后练习】
1. 设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】B
【解析】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程表示双曲线,则，解得或
3．已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】根据双曲线的第二定义，，又根据双曲线的第一定义得，所以，所以当点M在双曲线的右支顶点时达到最小值，
由双曲线方程得，所以.
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】双曲线的实半轴长，
由双曲线的定义，可得
所以，
则三角形的周长为.
5．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设内切圆与切于点，与切于点，则，，，
又由，，
，
，
又，则，，
又，，所以，
所以此双曲线的渐近线方程为.
6．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.
7.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】BC
【解析】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误；
对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确；
对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误．
8. 【多选】已知点在双曲线上，分别是左 右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D．
【答案】BC
【解析】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
9. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
【答案】/
【解析】因为双曲线，则，，所以，
因为为双曲线右支上一点，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，所以.
10．已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，
所以E的轨迹方程为.
故答案为：.
11.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为.
由题意知：；..所以椭圆的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.则所以双曲线的标准方程为.
12. 若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
【详解】（1）令分别是左右焦点，则，得，
双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得：
，
双曲线的标准方程为 ；
（2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ，
，解得 ，
在△中，，
设与的夹角为 ，由余弦定理得：，
；
综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 .
13已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，
设，则①，
因为，所以，所以②，
又因为的面积为，所以，即，
所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.
14．已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
【答案】②③
【详解】由已知
因为点P在双曲线上，、是双曲线C的左、右焦点，的面积为20，
所以，所以，.
对于①，点P到x轴的距离为4，故①错误.
对于②，由对称性，不妨设.因为，，
所以，即②正确.
对于③，由对称性，不妨设，由双曲线的定义有，
结合，解得，.
所以在中，由余弦定理得，
所以为钝角，所以③正确.
对于④，由对称性，不妨设，由③的判断过程知，，，
则，
所以，所以，所以④错误.
故答案为：②③双曲线
1.双曲线的定义
双曲线的定义：平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为一个常数2a（2a＜｜F1F2｜）M点的轨迹为双曲线. F1，F2为双曲线的焦点,｜F1F2｜为双曲线的焦距.
若2a＝｜F1F2｜，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；
若2a＞｜F1F2｜，则轨迹不存在；
若2a＝0，则轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质 范围 x≥a，或x≤－a y≤－a，或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知识点三 焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
知识点四 弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，,
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
【常用结论】
(1)双曲线方程的常见设法
①与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ.
②若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ.
③与双曲线－＝1共焦点的方程可设为
(2)双曲线中的常用结论
①双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
②若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
③同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
④若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
⑤点P在双曲线－＝1，上，双曲线以点P为切点的切线方程为.
即对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
题型一 双曲线的定义及方程
例题1 双曲线与椭圆有相同的焦距,一条渐近线方程为,则双曲线的标准方程为
A． B．或 C．或 D．
例题2 已知，分别是双曲线的左 右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为 ．
2. 求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆方程。
3.与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线的标准方程为______．
4. －＝4表示的曲线方程为
5. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A.－＝1(x＞2) B.－＝1(x＞3) C.＋＝1(0＜x＜2) D.＋＝1(0＜x＜3)
题型二 双曲线的性质
例题1 把方程分别为：和的双曲线称为共轭双曲线，则共轭双曲线有相同
A．离心率 B．渐近线 C．焦点 D．顶点
例题2 已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于、两点，若，则等于 ．
例题3 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则（ ）
A． B． C．2 D．3
例题4 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
例题5 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1. 已知，为双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过分别交双曲线左、右支于、点，，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
2. 【多选】（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为
3. 双曲线的右焦点到直线的距离的最大值为
A． B．2 C． D．3
4. 已知点，将函数的图像绕原点顺时针旋转得到曲线C，在C上任取一点P，则（ ）
A． B．2 C． D．不确定
5. 若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6. 设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三 双曲线离心率
例题1 （2024新高考Ⅰ卷）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
例题2 （2023新高考Ⅰ卷·16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
例题3 （2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
例题4 （2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【举一反三】
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，且，则双曲线的离心率为
A． B．3 C． D．
2. 已知点，分别是双曲线：的左、右焦点，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为 .
3. 已知椭圆的左，右顶点分别为，，点是椭圆上与，不重合的动点，若直线，斜率之积为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
4. 双曲线，的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点，轴，，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．2
5. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
6. 、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
题型四 焦点三角形
例题1 已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
例题2 已知 是双曲线的左 右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
例题3 双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、斜率分别为、，若，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
例题4 已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为
【举一反三】
1. 已知双曲线：的左 右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
2. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是 .
3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4. 设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，若为正三角形，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．3
5. 已知双曲线C：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为 B．点A到双曲线C的渐近线的距离为
C．若，则 D．若，则的外接圆半径为
【课后练习】
1. 设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
2．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，，点在双曲线的右支上，的延长线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
8. 【多选】已知点在双曲线上，分别是左 右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D．
9. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为 ．
10．已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
11.（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求离心率，焦点在x轴，且经过点的双曲线标准方程.
12. 若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
13已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知点P在双曲线C：上，、是双曲线C的左右焦点，若的面积为20，则下列说法中正确的是 .（填序号）
①点P到x轴的距离为；②；③为钝角三角形；④.
