直线与圆,圆与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式Δ.
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
几何观点 dr dr dr
知识点二 圆于圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
相离 外切 相交 内切 内含
图形
几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条
【常用结论】
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝ 或 .
(3)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②，
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程可由①－②得到，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(4)圆系方程
①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数.
②过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).
③过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解).
题型一 直线与圆的位置关系
例题1 已知直线方程，圆的方程为，当为何值时，圆与直线有：
(1) 有两个公共点；(2) 只有一个公共点；(3) 没有公共点？
例题2 (x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A. 相切 B. 相离 C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心
例题3 (多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则l与圆C相切
【举一反三】
1. (2025·台州一模)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，其中D＜0，若圆C上仅有一个点到直线x＋y－2＝0的距离为1，则＝_ _；圆C的半径取值可能为_ _(请写出一个可能的半径取值)．
2. 直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3. 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1)
4. 对于任意实数，圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的取值有关
题型二 圆与圆的位置关系
例题1 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 .
例题2 (一题多解、开放题)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 .
例题3 圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围 .
【举一反三】
1. (2025·河北石家庄质检三)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 .
3. (2025·景德镇期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，若存在实数a使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为_ _．
4. 已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，则sin ∠AOB＝_ _．
5. (2024·合肥二检)(多选)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则( AD )
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B. 若圆O与圆C相切，则a＝±2
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2＜a＜2 D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
题型三 弦长问题
例题1 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ）
A．26 B．18 C．14 D．13
例题2 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是( )
A．－ B. C．－ D．0
例题3 若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为________，|AB|＝________.
【举一反三】
1. 直线被圆C:所截的弦长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
2. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．
3. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
4. (多选)(2025·湖南长沙模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直线l：(2m－1)x＋(m－1)y－3m＋1＝0.下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(2，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为2
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
题型四 切线问题
例题1 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
例题2 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
例题3 过点(3，1)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【举一反三】
1. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
2. (2024·山东滨州二模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝( )
A.1 B.3 C.5 D.7
3. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
4. （多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为 B．面积的最小值为
C．直线过定点 D．以线段为直径的圆可能不经过点
题型五 圆的综合
例题1 (2024·连云港、如皋联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则( )
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4
B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0
C. 当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2，8]
D. 当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于
例题2 已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3 已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（ ）
①点到直线的距离小于 ②点到直线的距离大于
③当最小时， ④当最大时，
A．个 B．个 C．个 D．个
【举一反三】
1.若直线l：y＝k（x+1）﹣4与曲线有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）
2. 平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
(2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【课后练习】
1. 圆与直线有公共点的充要条件是（ ）
A．或 B． C． D．或
2. 已知直线与圆相切，则m的值为（ ）
A. 3或 B. 1或 C. 0或4 D. 或0
3. 圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
4. 已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝1和C2：x2+y2﹣2by+b2﹣4＝0恰好有三条公切线，则的最小值（ ）
A．2 B．1 C．2 D．4
5. 已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
6. 已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7. 设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
8. 已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则PA的最小值为________．
9. (多选)已知圆上两点满足，点满足：，则下列结论中正确的是( )
A.当时，
B.当时，过点的圆的最短弦长是
C.线段的中点纵坐标最小值是
D.过点作图的切线且切点为，则的取值范围是
10. (多选)已知两平行直线与，直线与图相切，则下列说法正确的是( )
A.的值为4 B.两平行直线间的距离为 C.的值为 D.直线截圆所得的弦长为
11. 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0及直线l：y＝kx－k＋2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为 .
12. (2024·邢台一模)已知a＞0，过点A(a，a)恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则a＝_1_，该直线的方程为_ _．
13.(2024·张家口一模)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为_ _．
14. 已知圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(1) 若点Q的坐标为(－2，4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．
(2) 过点A(1，0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE＝∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
15. 已知圆．
(1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
(2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．直线与圆,圆与圆的位置关系
知识点一 直线与圆的位置关系
设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式Δ.
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ0 Δ0 Δ0
几何观点 dr dr dr
知识点二 圆于圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
相离 外切 相交 内切 内含
图形
几何法 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解
公切线条数 4条 3条 2条 1条 0条
【常用结论】
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝ 或 .
(3)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②，
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程可由①－②得到，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(4)圆系方程
①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数.
②过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).
③过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解).
题型一 直线与圆的位置关系
例题1 已知直线方程，圆的方程为，当为何值时，圆与直线有：
(1) 有两个公共点；(2) 只有一个公共点；(3) 没有公共点？
【解析】法一 已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2．
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离，则
①当d＜2时，即m＞0或m＜时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
②当d＝2时，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
③当d＞2时，即＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
法二 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程并化简整理得：(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0．由于Δ＝4m(3m＋4)，则
①当Δ＞0时，即m＞0或m＜时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点；
②当Δ＝0时，即m＝0或m＝时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点；
③当Δ＜0时，即＜m＜0时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点．
例题2 (x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A. 相切 B. 相离 C. 相交过圆心 D. 相交但直线不过圆心
【答案】D
【解析】 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝＜，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
例题3 (多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A. 若点A在圆C上，则l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
圆心C(0，0)到直线l的距离d＝.若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以d＝＞|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以d＝＜|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
【举一反三】
1. (2025·台州一模)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，其中D＜0，若圆C上仅有一个点到直线x＋y－2＝0的距离为1，则＝_ _；圆C的半径取值可能为_ _(请写出一个可能的半径取值)．
【答案】
【解析】根据题意，与直线x＋y－2＝0的距离为1的点都在直线x＋y＝0和x＋y－4＝0上．又圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＝0过原点且原点到直线x＋y－2＝0的距离为1，则圆心C在直线y＝x上，且圆C与x＋y＝0相切，所以＝.如图，因为圆上仅有1个点到直线x＋y－2＝0的距离为1，所以圆C与x＋y－4＝0无交点，所以r∈(0，1).
2. 直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】由题意得：已知圆的方程可化为，即圆心的坐标为，半径为
圆心到直线的距离为
当时，即 ，则整理可知：，根据二次函数的性质，，故不等式恒成立，直线与圆相交；
当时，即 ，不等式无解；
故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；
3. 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1) C．(0，－1) D．(0，＋1)
【答案】A
【解析】计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
4. 对于任意实数，圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与的取值有关
【答案】A
【解析】∵直线的方程，整理得，令，解得，∴直线过定点，
∵圆的方程为，整理得，
∴圆的圆心，半径，
∴圆心到定点的距离为：，
∴点在圆的内部，直线与圆的位置关系是相交.
故选：A.
题型二 圆与圆的位置关系
例题1 圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 .
【答案】x－2y＋4＝0 2
【解析】联立两圆的方程得两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为x－2y＋4＝0.设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组解得或所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2.
例题2 (一题多解、开放题)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 .
【答案】3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＝－1
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切.如图，当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)，点O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，由题意得解得所以m的方程为－x＋y＋＝0，即7x－24y－25＝0.当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.综上，所求切线的方程为3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＝－1.
例题3 圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，则实数m的取值范围 .
【答案】
【解析】将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得(x＋m)2＋y2＝1，即圆心为(－m，0)，半径为1，圆x2＋(y
－2)2＝4的圆心为(0，2)，半径为2，因为圆x2＋(y－2)2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，
所以两圆的位置关系为外切或相离，所以≥2＋1，即m2≥5，解得m∈(－∞，－]∪[，＋∞).
【举一反三】
1. (2025·河北石家庄质检三)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心C2，半径r2＝4，则＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选C.
2. 过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为 .
【答案】x2＋y2－3x＋y－1＝0
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标代入直线l，可得λ＝，显然圆x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
3. (2025·景德镇期中)已知圆C1：x2＋y2－2ax－1＋a2＝0与圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，若存在实数a使得两圆仅有一条公切线，则r的最小值为_ _．
【答案】2
【解析】 因为圆C1：(x－a)2＋y2＝1，所以圆心C1(a，0)，半径为1；因为圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2＝r2，所以圆心C2(1，－1)，半径为r.若两圆仅有一条公切线，即两圆相内切，所以|C1C2|＝|r－1|.由于|C1C2|＝≥1，故|r－1|≥1，又r＞0，解得r≥2，即r的最小值为2.
4. 已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，则sin ∠AOB＝_ _．
【答案】
【解析】 因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，所以直线AB的方程为(x2＋y2－4)－(x2＋y2－x＋y－3)＝0，即x－y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB的距离为d＝，所以|AB|＝2＝.在△AOB中，|OA|＝|OB|＝2，由余弦定理得cos ∠AOB＝＝－，所以sin ∠AOB＝＝＝.
5. (2024·合肥二检)(多选)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则( AD )
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1 B. 若圆O与圆C相切，则a＝±2
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2＜a＜2 D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
【答案】AD
【解析】 圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2.对于A，|OC|＝≥1，所以A正确．
对于B，当两圆内切时，|OC|＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；当两圆外切时，圆心距d＝|OC|＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.综上所述，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B不正确．
对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，|OC|∈(R－r，R＋r)，即∈(1，3)，可得1＜＜3，解得－2＜a＜2且a≠0，故C不正确．
对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2＝1的圆心O在公共弦上时，公共弦长取最大值2，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．
题型三 弦长问题
例题1 已知直线与圆相交于A,B两点，则的周长为（ ）
A．26 B．18 C．14 D．13
【答案】B
【解析】由，得，所以圆心为,半径，
圆心C到直线l的距离，所以，所以的周长为．
故选：B．
例题2 已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则·的值是( )
A．－ B. C．－ D．0
【答案】A
【解析】在△OAB中，|OA|＝|OB|＝1,|AB|＝，可得∠AOB＝120°，所以·＝1×1×cos 120°＝－.
例题3 若点P(1,1)为圆x2＋y2－6x＝0中弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为________，|AB|＝________.
【答案】2x－y－1＝0 4
【解析】圆x2＋y2－6x＝0的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.又因为点P(1,1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为＝－，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圆心(3,0)与点P(1,1)之间的距离d＝，圆的半径r＝3，则|AB|＝2＝4.
【举一反三】
1. 直线被圆C:所截的弦长的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【解析】直线过定点M，当直线与CM垂直时弦长最短，
圆的半径为4，圆心到定点M的距离为，所以弦长的最小值为，
2. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．
【答案】
【解析】由题意知圆心到直线的距离等于，即，解得．
3. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．
【答案】0或6
【解析】圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3．因为，所以圆心到曲线的距离为，即，所以或6．
4. (多选)(2025·湖南长沙模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直线l：(2m－1)x＋(m－1)y－3m＋1＝0.下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(2，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为2
C.直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D.直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
【答案】BD
【解析】对于A，将直线l的方程整理为m(2x＋y－3)＋(－x－y＋1)＝0，由得无论m为何值，直线l恒过定点(2，－1)，故A不正确；
对于B，将x＝0代入圆C的方程，得(y－1)2＝15，解得y＝1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B正确；
对于C，无论m为何值，直线l不过圆心(1，1)，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；
对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＋1＝(x－2)，即x－2y－4＝0，故D正确
题型四 切线问题
例题1 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
【解析】由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)
∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴切线的斜率k＝－＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
例题2 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为
，即，则，
，解得或．
例题3 过点(3，1)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面几何知识，直线一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为，故直线的斜率一定是，只有选项A中直线的斜率为．
【举一反三】
1. 设，，若直线与圆相切，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，所以，
设，则，解得.
2. (2024·山东滨州二模)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝( )
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】C
【解析】 由题意可知：圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C，半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知＝r＝3，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则＝3，解得m＝5或m＝－7(舍去)，所以正实数m＝5.故选C.
3. 过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】因为点在直线上，
可设，又是圆的两条切线，且，
所以,,,所以,即，化为，
解得或，所以点坐标为.
4. （多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为 B．面积的最小值为
C．直线过定点 D．以线段为直径的圆可能不经过点
【答案】BCD
【解析】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，
由，两式相减得，，故A错误；
B选项，到直线：的距离为，
而，所以的最小值为，
所以面积的最小值为，故B正确；
C选项，设，，
线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，
化简得：，
由，两式相减得，即，
由，解得，所以直线过定点，故C正确；
D选项，由A选项，由，解得或,即，，，
即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．
题型五 圆的综合
例题1 (2024·连云港、如皋联考)已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2(r＞0)，P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则( )
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4
B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线方程为6x－8y－1＝0
C. 当r＝2时，|PQ|的取值范围为[2，8]
D. 当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于
【答案】 BC
【解析】 易知圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝r2的圆心为C2(3，－4)，半径为r.对于A，若圆C1与圆C2无公共点，则|C1C2|＞r＋1或|C1C2|＜|r－1|，即可得5＞r＋1或5＜|r－1|，解得0＜r＜4或r＞6，故A错误；
对于B，当r＝5时，两圆相交，公共弦为x2＋y2－[(x－3)2＋(y＋4)2]＝1－25，整理可得6x－8y－1＝0，故B正确；
对于C，当r＝2时，易知两圆外离，|PQ|∈[|C1C2|－3，|C1C2|＋3]，即|PQ|∈[2，8]，故C正确；
对于D，若∠APB＝，则四边形AC2BP为正方形，如图，则|PC2|＝3，而|PC2|∈[|C1C2|－1，|C1C2|＋1]，即|PC2|∈[4，6]，而3∈[4，6]，所以存在点P满足∠APB＝，故D错误．
例题2 已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，所以.
例题3 已知点在圆上，直线与轴、轴分别交于点、，则下列结论中正确的有（ ）
①点到直线的距离小于 ②点到直线的距离大于
③当最小时， ④当最大时，
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】 C
【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相离，点到直线的距离的最大值为，最小值为，
因为，，故①对，②错；
直线交轴于点，交轴于点，，
过点作圆的两条切线，切点分别为、，如下图所示：
当最小时，点与点重合，此时，
当最大时，点与点重合，此时，③④都对.
【举一反三】
1.若直线l：y＝k（x+1）﹣4与曲线有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．（0，3] D．[3，+∞）
【答案】 D
【解析】解：曲线C的方程为x＝1，变形可得（x﹣1）2+y2＝4（x≤1），
所以曲线C是以（1，0）为圆心，半径为2的圆的左半部分，设M（1，2），
直线l的方程为y＝k（x+1）+4，恒过点P（﹣1，﹣4），若直线l：y＝k（x+1）+4与曲线C：y＝1有两个交点，
所以k≥kPM时，直线与半圆有2个交点，而kPM3，所以k≥3，所以k的取值范围为[3，+∞）．
2. 平面直角坐标系内，过点的直线l与曲线相交于A、B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】解：曲线表示以O圆心半径为1的上半圆，
则△AOB的面积S|OA||OB|sin∠AOBsin∠AOB，要使三角形的面积最大，此时sin∠AOB＝1，
即∠AOB＝90°，则|AB|取AB的中点C，则|OC|AB|，∵|OD|，
∴sin∠ODC，则∠ODC＝30°，∠xDA＝150°，
即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率k＝tan150°，故选：A．
3. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，：，及点和.
(1)求圆和圆公切线段的长度；
(2)在圆上是否存在点P，使得？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
【解题思路】（1）将圆化为标准方程，得到圆心和半径，根据同侧异侧两种情况计算公切线段长度得到答案.
（2）存在满足条件，根据题意化解得到，根据两圆的位置关系得到答案.
【解答过程】（1）圆：，即， ，
圆：，即， ，，
圆心距为，故两圆外离，共有4条公切线段，两两长度相同，
当两圆在公切线同侧时：.
当两圆在公切线异侧时：.
综上所述，公切线段长为或.
（2）假设存在满足条件，即，
化简得到：，圆心为，半径.
，故两圆相交，有两个交点.
故点P的个数为2.
【课后练习】
1. 圆与直线有公共点的充要条件是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【解析】若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离，即，
∴，即，∴ 或，
∴圆与直线有公共点的充要条件是或．
2. 已知直线与圆相切，则m的值为（ ）
A. 3或 B. 1或 C. 0或4 D. 或0
【答案】A
【解析】 圆的圆心为，半径为，因直线与圆相切，则点到直线的距离为，整理得，解得或，所以m的值为3或.
故选：A
3. 圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，
∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝ (a＋3b)＝
≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，
故选：C.
4. 已知圆C1：（x﹣a）2+y2＝1和C2：x2+y2﹣2by+b2﹣4＝0恰好有三条公切线，则的最小值（ ）
A．2 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】解：根据题意，圆C1：（x﹣a）2+y2＝1，圆心为（a，0），半径R＝1，
圆C2：x2+y2﹣2by+b2﹣4＝0，即x2+（y﹣b）2＝4，其圆心C2，（0，b），半径r＝2，
若两个圆恰好有三条公切线，则两圆外切，则有（a﹣0）2+（0﹣b）2＝a2+b2＝（2+1）2＝9，
则点（a，b）为圆x2+y2＝3上一点，
的几何意义为圆x2+y2＝3上一点和点（3，4）之间的距离,其最小值为3＝5﹣3＝2,故选：A．
5. 已知圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线恒过的定点为（ ）
A．（2，2） B．（2，1） C．（1，2） D．（1，1）
【答案】B
【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣kx﹣2y＝0和圆C2：x2+y2﹣2ky﹣2＝0相交，则，
则圆C1和圆C2的公共弦所在的直线为kx﹣2ky+2y﹣2＝0，变形可得k（x﹣2y）＝2（y﹣1），
则有，则有，即两圆公共弦所在的直线恒过的定点为（2，1），故选：B．
6. 已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1 |t－1|≤2≤t＋1 1≤t≤3，即t的最小值为1.
7. 设点，若在圆上存在点N，使得，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当点的坐标为时，圆上存在点，使得，所以符合题意，排除B、D；当点的坐标为时，，过点作圆的一条切线，连接，则在中，，则，故此时在圆上不存在点，使得，即不符合题意，排除C，故选A．
8. 已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则PA的最小值为________．
【答案】 2－
【解析】方法一 由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，
设P(cos α，sin α)，则A(cos α，2－cos α)，
∴PA＝|2－cos α－sin α|＝，∴PA的最小值为2－.
方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得PAmin＝(－1)＝2－.
9. (多选)已知圆上两点满足，点满足：，则下列结论中正确的是( )
A.当时，
B.当时，过点的圆的最短弦长是
C.线段的中点纵坐标最小值是
D.过点作图的切线且切点为，则的取值范围是
【答案】CD
【解析】 圆的圆心，半径，令圆心到直线距离为，对于，今直线，即，显然有，线段的垂直平分线平行于轴，此时点不存在，即不存在，不正确；对于，当时，点在圆内，而圆的直径长为2，则过点的固的最短弦长小于2，而不正确；对于，令线段的中点，则，则当且仅当时取等号，所以，C正确；对于，依题意及切线长定理得：，所以的取值范围是正确.故选：CD.
10. (多选)已知两平行直线与，直线与图相切，则下列说法正确的是( )
A.的值为4 B.两平行直线间的距离为 C.的值为 D.直线截圆所得的弦长为
【答案】AC
【解析】 对，因为平行，故，解得，验证满足题意，故正确；对，由，直线：与问的距离，故B错误；对C，因为直线与圆相切，故，故C正确；对D，圆心到的距离，故直线截圆所得的弦长为，故错误，故选：
11. 已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0及直线l：y＝kx－k＋2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN，最短弦为PQ，则四边形PMQN的面积为 .
【答案】4
【解析】 将圆C方程整理为(x－2)2＋(y－1)2＝4，得圆心C(2，1)，半径r＝2，将直线l的方程整理为y＝k(x－1)＋2，得直线l恒过定点(1，2)，且(1，2)在圆C内，所以最长弦MN为过(1，2)的圆的直径，即｜MN｜＝4，最短弦PQ为过(1，2)，且与最长弦MN垂直的弦，所以圆心C到直线PQ的距离为d＝＝，所以｜PQ｜＝2＝2＝2，所以四边形PMQN的面积S＝｜MN｜·｜PQ｜＝×4×2＝4.
12. (2024·邢台一模)已知a＞0，过点A(a，a)恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则a＝_1_，该直线的方程为_ _．
【答案】x－2y＋1＝0
【解析】若过点A(a，a)，a＞0恰好只有一条直线与圆E：x2＋y2－4x＋2y＝0相切，则A(a，a)一定在圆x2＋y2－4x＋2y＝0上，可得a2＋a2－4a＋2a＝0，解得a＝1(a＝0舍去)，故A(1，1)，圆E的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心E(2，－1)，半径r＝.因为kAE＝＝－2，所以该直线的斜率为，直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
13.(2024·张家口一模)过点P(1，2)作圆O：x2＋y2＝10相互垂直的两条弦AB与CD，则四边形ACBD的面积的最大值为_ _．
【答案】15
【解析】如图，过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N，|OP|＝.记|OM|＝m，|ON|＝n，则m2＋n2＝5，|AB|＝2，|CD|＝2，S四边形ACBD＝|AB|·|CD|＝2·≤2×＝15，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以四边形ACBD的面积的最大值为15.
14. 已知圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(1) 若点Q的坐标为(－2，4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．
(2) 过点A(1，0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E，F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE＝∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(1) 由条件可知Q，M，C，N四点共圆，且QC为直径，记为圆D，则D(0，2)，半径r＝＝2，所以圆D的方程为x2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4y－4＝0.因为圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，两圆方程相减可得x－y－1＝0，所以直线MN的方程为x－y－1＝0.
(2) 假设存在点B(b，0)(b≤0)满足条件，由题可设直线AE：x＝my＋1，E(x1，y1)，F(x2，y2).联立消去x得(m2＋1)y2－2my－3＝0.因为点A(1，0)在圆C内部，所以Δ＞0恒成立，则y1＋y2＝，y1y2＝.因为∠ABE＝∠ABF，所以kBE＝－kBF，即＋＝0，即＋＝0，整理得2my1y2＋(1－b)(y1＋y2)＝0，从而2m·＋(1－b)·＝0，化简有m(b＋2)＝0.因为对任意的m∈R恒成立，所以b＝－2，由此可得假设成立，故存在满足条件的点B，且坐标为(－2，0).
15. 已知圆．
(1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；
(2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【解析】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离.则截得的弦长；
法2：设，联立方程组得，消得，
；
法3：设，联立方程组得，消得，解得，
则，.
（2）圆C的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去，
设直线的方程为，即，则圆心C到直线的距离为，
又的面积，所以当时取最大值8，
由，得，解得，，
所以直线的方程为或.
