习题课9 电磁感应中的动力学及能量问题
核心 目标 1. 熟练掌握法拉第电磁感应定律，结合力学、电学知识，能求解电磁感应中的力电、能量等问题．
2. 通过应用，提高分析、解决电磁感应综合问题的能力．
题型1 电磁感应中的动力学问题
1. 解决电磁感应中动力学问题的一般思路：“先电后力”．
2. 具体步骤是
(1) 确定研究对象(一般为在磁场中做切割磁感线运动的导体棒或线圈).
它既可视为电学对象(因为它相当于电源)，又可视为力学对象(因为感应电流的存在而受到安培力).
(2) 用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．
(3) 应用闭合电路欧姆定律求出电路中的感应电流的大小和方向．
(4) 分析研究导体棒或线圈受力情况，特别要注意安培力大小、方向的确定．
如果导体棒或线圈在磁场中受到的安培力变化了，从而引起合外力的变化，导致加速度、速度等发生变化，进而又引起感应电流、安培力、合外力的变化，最终可能使导体达到稳定的收尾状态．
(5) 涉及具有收尾速度的力学问题时，列出动力学方程或平衡方程求解．
(2024·深圳中学)用同样的金属材料制成三个大小相同的线圈a、b、c，其中线圈a的线径较粗，b、c两个的线径较细，且a、b是闭合的，c是开口的．它们从同样高度处自由落下，途中经一匀强磁场区域后着地，则它们运动时间的关系是( )
A. ta＝tb＝tc B. ta>tb>tc
C. ta＝tbtc
(2025·佛山H7联盟)如图所示，光滑且足够长的金属导轨MN、PQ平行地固定在同一绝缘水平面上，导轨上停放一质量m＝0.2 kg的金属杆ab，两导轨间距L＝0.2 m，两导轨的左端接入电阻R＝0.6 Ω的定值电阻，位于两导轨之间的金属杆ab的电阻r＝0.1 Ω，导轨的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．现用一外力F水平向右拉金属杆ab，使之由静止开始向右做匀加速直线运动，在整个运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直并接触良好，金属杆ab开始运动经t＝10 s时，定值电阻两端的电压U＝1.2 V，此时，求：
(1) 金属杆ab的速率．
(2) 外力F的大小．
(3) 在0～10 s内经过金属杆ab的电荷量Q.
1. 常见的的临界状态：导体棒或线圈所受合外力为零时的匀速运动．
2. 动态过程研究
题型2 电磁感应中的能量问题
1. 能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的．安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功使得其他形式的能(通常为机械能)转化为电能
2. 用能量观点解答电磁感应问题的一般步骤
(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则( )
A. 通过电阻R的电荷量为q＝
B. 导体棒克服安培力做的功为 Q
C. 导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv－Q
D. 导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
(2024·广州执信中学)如图所示，足够长的光滑金属平行导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．导轨顶端和底端接有定值电阻R1、R2，定值电阻R1、R2的阻值均为R.金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，金属棒沿导轨下滑距离s时速度恰好达到最大值．已知金属棒ab的质量为m，重力加速度为g.ab棒从开始运动到达最大速度过程中，求：
(1) ab棒的最大速度．
(2) 定值电阻R1产生的焦耳热．
(3) 通过定值电阻R2的电荷量．
求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
1. 如图所示，光滑平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd间距为l且均与导轨垂直，在ab、cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场．将质量均为m的两根导体棒PQ、MN先后从导轨上同一位置由静止释放，释放位置与虚线ab的距离为，当导体棒PQ进入磁场瞬间释放导体棒MN.已知导体棒PQ进入磁场瞬间恰开始做匀速运动，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则整个过程回路中产生的焦耳热为( )
A. mglsin θ B. 2mglsin θ
C. 3mglsin θ D. 无法确定
2. 如图所示，倾角为α＝30°的光滑固定斜面，斜面上相隔为d＝8 m的平行虚线MN与PQ间有大小为B＝0.1 T的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.2 Ω，边长L＝1 m的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈cd边从距PQ上方x＝2.5 m处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且ab边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动．取g＝10 m/s2.求：
(1) cd边刚进入磁场时线圈的速度v1和加速度a.
(2) 线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电荷量q.
(3) 线圈通过磁场的过程中产生的热量Q.
配套新练案
考向1 电磁感应中的动力学问题
1. (2024·茂名期末)(多选)如图所示，搭载着单匝矩形导线框的小车在水平外力F的作用下以速度v＝4 m/s向右匀速穿过一边长a＝20 cm的正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B＝0.5 T，线框的宽度为10 cm，高度为30 cm，总电阻R＝2 Ω，小车运动时，磁场能被导线框完全切割，下列说法中正确的是( )
A. 线框刚进入磁场时，产生的感应电动势为0.6 V
B. 线框刚进入磁场时，线框中产生的感应电流的大小为0.2 A
C. 线框在进入磁场的过程中，外力F的方向应该向右
D. 线框在进入磁场的过程中，外力F的大小为 0.02 N
2. (多选)依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，该装置原理如图可等效为：间距L＝0.5 m的两根竖直导轨上部连通，人和磁铁固定在一起，沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场．人和磁铁所经位置处，可等效为有一固定导体棒cd与导轨相连，整个装置总电阻始终为R＝4×10-5 Ω，在某次逃生试验中，质量M＝50 kg的测试者利用该装置最终以v＝2 m/s的速度匀速下降，已知与人一起下滑部分装置的质量m＝20 kg，取g＝10 m/s2，则( )
A. 导体棒cd中电流的方向从d到c
B. 导体棒cd中电流的方向从c到d
C. 下落过程中除安培力的阻力为200 N
D. 下落过程中除安培力的阻力为1 200 N
考向2 电磁感应中的能量问题
3. (2024·广州天河区期末)有一边长l＝0.1 m、质量m＝10 g的正方形导线框abcd，由高度h＝0.2 m处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止．已知匀强磁场的磁感应强度B＝1 T，匀强磁场区域的高度也是l，取g＝10 m/s2，则线框( )
A. 电阻R＝0.4 Ω
B. 进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量q＝0.2 C
C. 穿越磁场的过程产生的焦耳热Q＝0.02 J
D. 穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变
4. (多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( )
A. 释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B. 金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C. 金属棒运动过程中所受安培力的方向始终与运动方向相反
D. 电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
5. (2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则( )
A. 通过电阻R的电荷量为q＝
B. 导体棒克服安培力做的功为Q
C. 导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv－Q
D. 导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
6. (2024·安徽滁州九校联考)如图所示，用一根粗细均匀的细铜导线做成一个半径为r的闭合圆环，把圆环的一半置于均匀变化的匀强磁场中，磁场方向始终垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间的变化规律为B＝B0＋kt(B0 不变，k为一恒量且满足0A. 圆环中产生顺时针方向的感应电流
B. 圆环具有扩张的趋势
C. a、b两点间的电势差Uab＝kπr2
D. 在t ＝ 0时，右半圆环受到的安培力大小为
7. (2024·广州大学附属中学)如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的匝数N＝100，边长ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻r＝2 Ω.磁感应强度B在0～1 s内从零均匀变化到0.2 T．在1～5 s内从0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向．求：
(1) 0.5 s时线圈内感应电动势的大小E和感应电流的方向．
(2) 在1～5 s内通过线圈的电荷量q.
(3) 在0～5 s内线圈产生的焦耳热Q.
8. (2025·佛山三中)如图所示，倾角为θ的斜面上固定两根间距为L的足够长平行光滑导轨，将定值电阻和电源在导轨上端分别通过开关S1、S2与导轨连接，匀强磁场垂直斜面向下，磁感应强度大小为B，已知电源电动势为E、内阻为r(较大)，定值电阻阻值为R0，质量为m、长度为L、电阻不计的导体棒垂直导轨放置，重力加速度为g，不计导轨电阻．
(1) 闭合开关S1，断开开关S2，导体棒静止释放，求导体棒最终速度大小．
(2) 闭合开关S2，断开开关S1，导体棒静止释放，求导体棒最终速度大小．习题课9 电磁感应中的动力学及能量问题
核心 目标 1. 熟练掌握法拉第电磁感应定律，结合力学、电学知识，能求解电磁感应中的力电、能量等问题．
2. 通过应用，提高分析、解决电磁感应综合问题的能力．
题型1 电磁感应中的动力学问题
1. 解决电磁感应中动力学问题的一般思路：“先电后力”．
2. 具体步骤是
(1) 确定研究对象(一般为在磁场中做切割磁感线运动的导体棒或线圈).
它既可视为电学对象(因为它相当于电源)，又可视为力学对象(因为感应电流的存在而受到安培力).
(2) 用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．
(3) 应用闭合电路欧姆定律求出电路中的感应电流的大小和方向．
(4) 分析研究导体棒或线圈受力情况，特别要注意安培力大小、方向的确定．
如果导体棒或线圈在磁场中受到的安培力变化了，从而引起合外力的变化，导致加速度、速度等发生变化，进而又引起感应电流、安培力、合外力的变化，最终可能使导体达到稳定的收尾状态．
(5) 涉及具有收尾速度的力学问题时，列出动力学方程或平衡方程求解．
(2024·深圳中学)用同样的金属材料制成三个大小相同的线圈a、b、c，其中线圈a的线径较粗，b、c两个的线径较细，且a、b是闭合的，c是开口的．它们从同样高度处自由落下，途中经一匀强磁场区域后着地，则它们运动时间的关系是( D )
A. ta＝tb＝tc B. ta>tb>tc
C. ta＝tbtc
解析：由题意可知，线圈进入磁场时的速度相同，安培力为F＝BIL＝BL＝，根据牛顿第二定律mg－＝ma，线圈质量为m＝ρS·4L，电阻为R＝ρ′，得a＝g－tc，故选D.
(2025·佛山H7联盟)如图所示，光滑且足够长的金属导轨MN、PQ平行地固定在同一绝缘水平面上，导轨上停放一质量m＝0.2 kg的金属杆ab，两导轨间距L＝0.2 m，两导轨的左端接入电阻R＝0.6 Ω的定值电阻，位于两导轨之间的金属杆ab的电阻r＝0.1 Ω，导轨的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．现用一外力F水平向右拉金属杆ab，使之由静止开始向右做匀加速直线运动，在整个运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直并接触良好，金属杆ab开始运动经t＝10 s时，定值电阻两端的电压U＝1.2 V，此时，求：
(1) 金属杆ab的速率．
答案：14 m/s
解析：通过金属杆ab的电流I＝＝ A＝2 A
金属杆ab产生的感应电动势
E＝I(R＋r)＝2×(0.6＋0.1) V＝1.4 V
所以金属杆ab的速度大小
v＝＝ m/s＝14 m/s
(2) 外力F的大小．
答案：0.48 N
解析：金属杆ab运动的加速度
a＝＝ m/s2＝1.4 m/s2
金属杆ab受到的安培力大小
F安＝BIL＝0.5×2×0.2 N＝0.2 N
10 s末时，对金属杆ab，根据牛顿第二定律有
F－F安＝ma
解得F＝0.48 N
(3) 在0～10 s内经过金属杆ab的电荷量Q.
答案：10 C
解析：根据法拉第电磁感应定律可得
＝＝＝
经过金属杆ab的电荷量为Q＝·t＝·t
联立解得Q＝10 C
1. 常见的的临界状态：导体棒或线圈所受合外力为零时的匀速运动．
2. 动态过程研究
题型2 电磁感应中的能量问题
1. 能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的．安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功使得其他形式的能(通常为机械能)转化为电能
2. 用能量观点解答电磁感应问题的一般步骤
(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则( AD )
A. 通过电阻R的电荷量为q＝
B. 导体棒克服安培力做的功为 Q
C. 导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv－Q
D. 导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
解析：通过电阻R的电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝，A正确；由功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的热量，由于R上产生的热量为Q，根据串联电路中焦耳热按电阻分配可知W克安＝Q，B错误；由能量守恒可知mv＝Q＋Qf，所以导体棒与导轨间产生的摩擦热为Qf＝mv－Q，C错误；导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝＝－Q，D正确．故选AD.
(2024·广州执信中学)如图所示，足够长的光滑金属平行导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．导轨顶端和底端接有定值电阻R1、R2，定值电阻R1、R2的阻值均为R.金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，金属棒沿导轨下滑距离s时速度恰好达到最大值．已知金属棒ab的质量为m，重力加速度为g.ab棒从开始运动到达最大速度过程中，求：
(1) ab棒的最大速度．
答案：
解析：ab棒达到最大速度时，ab棒受力平衡，则有
mg sin θ＝BIL
根据法拉第电磁感应定律有E＝BLvm
根据闭合电路欧姆定律有I＝
联立解得vm＝
(2) 定值电阻R1产生的焦耳热．
答案：mgs sin θ－
解析：ab棒恰达到最大速度时，根据能量守恒有
mgs sin θ＝mv＋Q
定值电阻R1产生的焦耳热为Q1＝
联立解得Q1＝mgs sin θ－
(3) 通过定值电阻R2的电荷量．
答案：
解析：ab棒恰达到最大速度的过程q＝Δt
而 ＝，＝＝
通过定值电阻R2的电荷量q2＝
联立解得q2＝
求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
1. 如图所示，光滑平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，导轨电阻忽略不计．虚线ab、cd间距为l且均与导轨垂直，在ab、cd之间的区域存在垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场．将质量均为m的两根导体棒PQ、MN先后从导轨上同一位置由静止释放，释放位置与虚线ab的距离为，当导体棒PQ进入磁场瞬间释放导体棒MN.已知导体棒PQ进入磁场瞬间恰开始做匀速运动，两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则整个过程回路中产生的焦耳热为( B )
A. mglsin θ B. 2mglsin θ
C. 3mglsin θ D. 无法确定
解析：导体棒PQ进入磁场时恰好匀速运动，在导体棒PQ进入磁场时导体棒MN开始释放，MN进入磁场前有＝t，则PQ运动的距离x＝vt＝l，故当导体棒PQ匀速离开磁场区域瞬间，导体棒MN恰进入磁场并开始匀速运动，导体棒PQ经过磁场区域的过程中，回路产生的焦耳热Q1＝mgl sin θ，则导体棒MN经过磁场区域的过程中，回路产生的焦耳热Q2＝mgl sin θ，整个过程中回路产生的焦耳热Q＝ Q1＋Q2＝2mgl sin θ，故B正确．
2. 如图所示，倾角为α＝30°的光滑固定斜面，斜面上相隔为d＝8 m的平行虚线MN与PQ间有大小为B＝0.1 T的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.2 Ω，边长L＝1 m的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈cd边从距PQ上方x＝2.5 m处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且ab边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动．取g＝10 m/s2.求：
(1) cd边刚进入磁场时线圈的速度v1和加速度a.
答案：5 m/s 2.5 m/s2
解析：线圈沿斜面向下运动，由动能定理可得
mgx sin 30°＝mv－0
解得v1＝5 m/s
受力分析可得mg sin 30°－BIL＝ma
I＝＝
解得a＝2.5 m/s2
(2) 线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电荷量q.
答案：0.5 C
解析：线圈进入磁场过程中，通过ab边的电荷量q＝·Δt
由闭合电路欧姆定律可得＝
由法拉第电磁感应定律得＝
解得q＝＝＝0.5 C
(3) 线圈通过磁场的过程中产生的热量Q.
答案： J
解析：线圈离开磁场时，根据平衡条件有BL＝mg sin 30°
解得v2＝＝10 m/s
由能量守恒定律可得
Q总＝mg(d＋x＋L)sin 30°－mv＝ J
配套新练案
考向1 电磁感应中的动力学问题
1. (2024·茂名期末)(多选)如图所示，搭载着单匝矩形导线框的小车在水平外力F的作用下以速度v＝4 m/s向右匀速穿过一边长a＝20 cm的正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B＝0.5 T，线框的宽度为10 cm，高度为30 cm，总电阻R＝2 Ω，小车运动时，磁场能被导线框完全切割，下列说法中正确的是( BCD )
A. 线框刚进入磁场时，产生的感应电动势为0.6 V
B. 线框刚进入磁场时，线框中产生的感应电流的大小为0.2 A
C. 线框在进入磁场的过程中，外力F的方向应该向右
D. 线框在进入磁场的过程中，外力F的大小为 0.02 N
解析：线框刚进入磁场时，线框切割磁感线产生的感应电动势为E＝Bav＝0.4 V，线框中产生的感应电流的大小为I＝，解得I＝0.2 A，A错误，B正确；根据楞次定律，可知线框进入磁场时受到向左的阻力，所以外力F应向右，C正确；为使线框匀速运动，在进入磁场的过程中，外力F的大小满足F＝F安，F安＝BIa＝0.02 N，则F＝0.02 N，D正确．故选B、C、D.
2. (多选)依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，该装置原理如图可等效为：间距L＝0.5 m的两根竖直导轨上部连通，人和磁铁固定在一起，沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场．人和磁铁所经位置处，可等效为有一固定导体棒cd与导轨相连，整个装置总电阻始终为R＝4×10-5 Ω，在某次逃生试验中，质量M＝50 kg的测试者利用该装置最终以v＝2 m/s的速度匀速下降，已知与人一起下滑部分装置的质量m＝20 kg，取g＝10 m/s2，则( AC )
A. 导体棒cd中电流的方向从d到c
B. 导体棒cd中电流的方向从c到d
C. 下落过程中除安培力的阻力为200 N
D. 下落过程中除安培力的阻力为1 200 N
解析：由右手定则可知，导体棒cd中电流的方向从d到c，A正确，B错误；导体棒两端电动势为E＝BLv，感应电流I＝＝，安培力FA＝BIL＝，由左手定则可判断，导体棒cd所受安培力方向向下，根据牛顿第三定律可知磁铁受力向上，大小为F′A＝，对M和m，由平衡条件 (M＋m)g＝F′A＋f，解得f＝200 N，C正确，D错误．
考向2 电磁感应中的能量问题
3. (2024·广州天河区期末)有一边长l＝0.1 m、质量m＝10 g的正方形导线框abcd，由高度h＝0.2 m处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止．已知匀强磁场的磁感应强度B＝1 T，匀强磁场区域的高度也是l，取g＝10 m/s2，则线框( C )
A. 电阻R＝0.4 Ω
B. 进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量q＝0.2 C
C. 穿越磁场的过程产生的焦耳热Q＝0.02 J
D. 穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变
解析：线框由高度h＝0.2 m处自由下落，有v2＝2gh，线框在磁场中做匀速运动，则mg＝BIl，又I＝，E＝Blv，联立解得R＝0.2 Ω，A错误；线框进入匀强磁场的过程流过线框的电荷量q＝It＝I＝＝0.05 C，B错误；线框穿越匀强磁场的过程产生的焦耳热Q＝2mgl＝0.02 J，C正确；线框进入磁场和离开磁场时感应电流的方向相反，穿越磁场的过程安培力的方向没有变化，总是竖直向上，D错误．
4. (多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则( AC )
A. 释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B. 金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C. 金属棒运动过程中所受安培力的方向始终与运动方向相反
D. 电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
解析：金属棒释放瞬间，速度为零，感应电流为零，由于弹簧处于原长状态，因此金属棒只受重力作用，其加速度的大小为g，A正确；根据右手定则可知，金属棒向下运动时，流过金属棒的电流向右，则流过电阻R的电流方向为 b→a，B错误；由右手定则可知，金属棒向下运动过程中，流过金属棒的电流向右，由左手定则可知，金属棒受到的安培力向上；当金属棒向上运动时，由右手定则可知，流过金属棒的电流向左，由左手定则可知，金属棒受到的安培力向下；由此可知，金属棒受到的安培力总是与它的运动方向相反，C正确；当金属棒下落到最终静止时，重力势能转化为弹性势能和焦耳热，所以电阻R上产生的总热量小于金属棒重力势能的减少量，D错误．
5. (2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则( AD )
A. 通过电阻R的电荷量为q＝
B. 导体棒克服安培力做的功为Q
C. 导体棒与导轨因摩擦产生的热量为mv－Q
D. 导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝－Q
解析：通过电阻R的电荷量为q＝·Δt＝·Δt＝，A正确；由功能关系可知，导体棒克服安培力做的功等于回路中产生的总焦耳热，由于R上产生的热量为Q，根据串联电路中焦耳热按电阻分配可知W克安＝Q，B错误；由能量守恒可知mv＝Q＋Qf，所以导体棒与导轨间产生的摩擦热为Qf＝mv－Q，C错误；导体棒与导轨间的动摩擦因数μ＝＝－Q，D正确．故选A、D.
6. (2024·安徽滁州九校联考)如图所示，用一根粗细均匀的细铜导线做成一个半径为r的闭合圆环，把圆环的一半置于均匀变化的匀强磁场中，磁场方向始终垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间的变化规律为B＝B0＋kt(B0 不变，k为一恒量且满足0A. 圆环中产生顺时针方向的感应电流
B. 圆环具有扩张的趋势
C. a、b两点间的电势差Uab＝kπr2
D. 在t ＝ 0时，右半圆环受到的安培力大小为
解析：由于磁场均匀增大，线圈中的磁通量变大，根据楞次定律可知线圈中电流为逆时针，同时为了阻碍磁通量的变化，线圈将有收缩的趋势，A、B错误；根据法拉第电磁感应定律得电动势为E＝·＝，所以电流为I＝＝，ab两端电压为Uab＝·I＝，C错误；根据安培力公式F＝BIL＝B0·2r＝，D正确．故选D.
7. (2024·广州大学附属中学)如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的匝数N＝100，边长ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻r＝2 Ω.磁感应强度B在0～1 s内从零均匀变化到0.2 T．在1～5 s内从0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向．求：
(1) 0.5 s时线圈内感应电动势的大小E和感应电流的方向．
答案：10 V，感应电流方向为adcba
解析：磁感应强度B在0～1 s内从0均匀变化到0.2 T，故0.5 s时刻的瞬时感应电动势的大小和0～1 s内的平均感应电动势大小相等，则由感应电动势E1＝，且磁通量的变化量ΔΦ1＝ΔB1S
解得E1＝N
代入数据得E1＝10 V
0～1 s磁感应强度在逐渐增大，根据楞次定律：感应电流产生的磁场将与原磁场方向相反，则感应电流的方向为adcba.
(2) 在1～5 s内通过线圈的电荷量q.
答案：10 C
解析：同理可得 E2＝N
感应电流I2＝
电荷量q＝I2Δt2
解得q＝N
代入数据得q＝10 C
(3) 在0～5 s内线圈产生的焦耳热Q.
答案：100 J
解析：0～1 s内的焦耳热Q1＝IrΔt1，且I1＝
1～5 s内的焦耳热Q2＝IrΔt2
由Q＝Q1＋Q2，代入数据得Q＝100 J
8. (2025·佛山三中)如图所示，倾角为θ的斜面上固定两根间距为L的足够长平行光滑导轨，将定值电阻和电源在导轨上端分别通过开关S1、S2与导轨连接，匀强磁场垂直斜面向下，磁感应强度大小为B，已知电源电动势为E、内阻为r(较大)，定值电阻阻值为R0，质量为m、长度为L、电阻不计的导体棒垂直导轨放置，重力加速度为g，不计导轨电阻．
(1) 闭合开关S1，断开开关S2，导体棒静止释放，求导体棒最终速度大小．
答案：
解析：S1闭合，S2断开，由静止释放导体棒，导体棒与电阻构成回路E＝BLv1，I＝，F安＝BIL
最终匀速运动mg sin θ＝F安
可得v1＝
(2) 闭合开关S2，断开开关S1，导体棒静止释放，求导体棒最终速度大小．
答案：＋
解析：闭合开关S2，断开开关S1，导体棒切割磁感线产生的电动势为E动＝BLv2
根据右手定则可知动生电动势E动的方向与电源的电动势E方向相反，导体棒最终匀速运动，此时回路的电流为
I1＝
安培力方向沿斜面向上，满足F′安＝BI1L＝mg sin θ
解得v2＝＋(共56张PPT)
第二章
习题课9 电磁感应中的动力学及能量问题
电磁感应
核心 目标 1. 熟练掌握法拉第电磁感应定律，结合力学、电学知识，能求解电磁感应中的力电、能量等问题．
2. 通过应用，提高分析、解决电磁感应综合问题的能力．
能力提升 典题固法
电磁感应中的动力学问题
题型
1
1. 解决电磁感应中动力学问题的一般思路：“先电后力”．
2. 具体步骤是
(1) 确定研究对象(一般为在磁场中做切割磁感线运动的导体棒或线圈).
它既可视为电学对象(因为它相当于电源)，又可视为力学对象(因为感应电流的存在而受到安培力).
(2) 用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．
(3) 应用闭合电路欧姆定律求出电路中的感应电流的大小和方向．
(4) 分析研究导体棒或线圈受力情况，特别要注意安培力大小、方向的确定．
如果导体棒或线圈在磁场中受到的安培力变化了，从而引起合外力的变化，导致加速度、速度等发生变化，进而又引起感应电流、安培力、合外力的变化，最终可能使导体达到稳定的收尾状态．
(5) 涉及具有收尾速度的力学问题时，列出动力学方程或平衡方程求解．
(2024·深圳中学)用同样的金属材料制成三个大小相同的线圈a、b、c，其中线圈a的线径较粗，b、c两个的线径较细，且a、b是闭合的，c是开口的．它们从同样高度处自由落下，途中经一匀强磁场区域后着地，则它们运动时间的关系是 ( )
A. ta＝tb＝tc
B. ta>tb>tc
C. ta＝tbD. ta＝tb>tc
1
D
(2025·佛山H7联盟)如图所示，光滑且足够长的金属导轨MN、PQ平行地固定在同一绝缘水平面上，导轨上停放一质量m＝0.2 kg的金属杆ab，两导轨间距L＝0.2 m，两导轨的左端接入电阻R＝0.6 Ω的定值电阻，位于两导轨之间的金属杆ab的电阻r＝0.1 Ω，导轨的电阻可忽略不计．整个装置处于磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．现用一外力F水平向右拉金属杆ab，使之由静止开始向右做匀加速直线运动，在整个运动过程中金属杆ab始终与导轨垂直并接触良好，金属杆ab开始运动经t＝10 s时，定值电阻两端的电压U＝1.2 V，此时，求：
(1) 金属杆ab的速率．
答案：14 m/s
2
(2) 外力F的大小．
答案：0.48 N
(3) 在0～10 s内经过金属杆ab的电荷量Q.
答案：10 C
1. 常见的的临界状态：导体棒或线圈所受合外力为零时的匀速运动．
2. 动态过程研究
电磁感应中的能量问题
题型
2
1. 能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的．安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能)，克服安培力做功使得其他形式的能(通常为机械能)转化为电能
2. 用能量观点解答电磁感应问题的一般步骤
(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则 ( )
3
AD
(2024·广州执信中学)如图所示，足够长的光滑金属平行导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．导轨顶端和底端接有定值电阻R1、R2，定值电阻R1、R2的阻值均为R.金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，金属棒沿导轨下滑距离s时速度恰好达到最大值．已知金属棒ab的质量为m，重力加速度为g.ab棒从开始运动到达最大速度过程中，求：
(1) ab棒的最大速度．
4
(2) 定值电阻R1产生的焦耳热．
(3) 通过定值电阻R2的电荷量．
求解焦耳热Q的几种方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
随堂内化 即时巩固
B
2. 如图所示，倾角为α＝30°的光滑固定斜面，斜面上相隔为d＝8 m的平行虚线MN与PQ间有大小为B＝0.1 T的匀强磁场，方向垂直斜面向下，一质量m＝0.1 kg，电阻R＝0.2 Ω，边长L＝1 m的正方形单匝纯电阻金属线圈，线圈cd边从距PQ上方x＝2.5 m处由静止释放沿斜面下滑进入磁场，且ab边刚要离开磁场时线圈恰好做匀速运动．取g＝10 m/s2.求：
(1) cd边刚进入磁场时线圈的速度v1和加速度a.
答案：5 m/s 2.5 m/s2
(2) 线圈进入磁场的过程中，通过ab边的电荷量q.
答案：0.5 C
(3) 线圈通过磁场的过程中产生的热量Q.
配套新练案
考向1 电磁感应中的动力学问题
1. (2024·茂名期末)(多选)如图所示，搭载着单匝矩形导线框的小车在水平外力F的作用下以速度v＝4 m/s向右匀速穿过一边长a＝20 cm的正方形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B＝0.5 T，线框的宽度为10 cm，高度为30 cm，总电阻R＝2 Ω，小车运动时，磁场能被导线框完全切割，下列说法中正确的是 ( )
A. 线框刚进入磁场时，产生的感应电动势为0.6 V
B. 线框刚进入磁场时，线框中产生的感应电流的大小为0.2 A
C. 线框在进入磁场的过程中，外力F的方向应该向右
D. 线框在进入磁场的过程中，外力F的大小为 0.02 N
BCD
2. (多选)依附建筑物架设的磁力缓降高楼安全逃生装置，该装置原理如图可等效为：间距L＝0.5 m的两根竖直导轨上部连通，人和磁铁固定在一起，沿导轨共同下滑，磁铁产生磁感应强度B＝0.2 T的匀强磁场．人和磁铁所经位置处，可等效为有一固定导体棒cd与导轨相连，整个装置总电阻始终为R＝4×10-5 Ω，在某次逃生试验中，质量M＝50 kg的测试者利用该装置最终以v＝2 m/s的速度匀速下降，已知与人一起下滑部分装置的质量m＝20 kg，取g＝10 m/s2，则 ( )
A. 导体棒cd中电流的方向从d到c
B. 导体棒cd中电流的方向从c到d
C. 下落过程中除安培力的阻力为200 N
D. 下落过程中除安培力的阻力为1 200 N
AC
考向2 电磁感应中的能量问题
3. (2024·广州天河区期末)有一边长l＝0.1 m、质量m＝10 g的正方形导线框abcd，由高度h＝0.2 m处自由下落，如图所示，其下边ab进入匀强磁场区域后，线圈开始做匀速运动，直到其上边dc刚刚开始穿出匀强磁场为止．已知匀强磁场的磁感应强度B＝1 T，匀强磁场区域的高度也是l，取g＝10 m/s2，则线框 ( )
A. 电阻R＝0.4 Ω
B. 进入磁场的过程通过线框横截面的电荷量q＝0.2 C
C. 穿越磁场的过程产生的焦耳热Q＝0.02 J
D. 穿越磁场的过程，感应电流方向和安培力方向都不变
C
4. (多选)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则 ( )
A. 释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B. 金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b
C. 金属棒运动过程中所受安培力的方向始终与运动方向相反
D. 电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
AC
解析：金属棒释放瞬间，速度为零，感应电流为零，由于弹簧处于原长状态，因此金属棒只受重力作用，其加速度的大小为g，A正确；根据右手定则可知，金属棒向下运动时，流过金属棒的电流向右，则流过电阻R的电流方向为 b→a，B错误；由右手定则可知，金属棒向下运动过程中，流过金属棒的电流向右，由左手定则可知，金属棒受到的安培力向上；当金属棒向上运动时，由右手定则可知，流过金属棒的电流向左，由左手定则可知，金属棒受到的安培力向下；由此可知，金属棒受到的安培力总是与它的运动方向相反，C正确；当金属棒下落到最终静止时，重力势能转化为弹性势能和焦耳热，所以电阻R上产生的总热量小于金属棒重力势能的减少量，D错误．
5. (2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，一平行金属导轨静置于水平桌面上，空间中有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B，粗糙平行导轨间距为L，导轨和阻值为R的定值电阻相连，质量为m的导体棒和导轨垂直且接触良好，导体棒的电阻为r，导体棒以初速度v0向右运动，运动距离x后停止，此过程中电阻R产生的焦耳热为Q，导轨电阻不计，重力加速度为g，则 ( )
AD
6. (2024·安徽滁州九校联考)如图所示，用一根粗细均匀的细铜导线做成一个半径为r的闭合圆环，把圆环的一半置于均匀变化的匀强磁场中，磁场方向始终垂直纸面向里，磁感应强度大小随时间的变化规律为B＝B0＋kt(B0 不变，k为一恒量且满足0D
7. (2024·广州大学附属中学)如图所示，匀强磁场中有一矩形闭合线圈abcd，线圈平面与磁场垂直．已知线圈的匝数N＝100，边长ab＝1.0 m、bc＝0.5 m，电阻r＝2 Ω.磁感应强度B在0～1 s内从零均匀变化到0.2 T．在1～5 s内从0.2 T均匀变化到－0.2 T，取垂直纸面向里为磁场的正方向．求：
(1) 0.5 s时线圈内感应电动势的大小E和感应电流的方向．
答案：10 V，感应电流方向为adcba
(2) 在1～5 s内通过线圈的电荷量q.
答案：10 C
(3) 在0～5 s内线圈产生的焦耳热Q.
答案：100 J
8. (2025·佛山三中)如图所示，倾角为θ的斜面上固定两根间距为L的足够长平行光滑导轨，将定值电阻和电源在导轨上端分别通过开关S1、S2与导轨连接，匀强磁场垂直斜面向下，磁感应强度大小为B，已知电源电动势为E、内阻为r(较大)，定值电阻阻值为R0，质量为m、长度为L、电阻不计的导体棒垂直导轨放置，重力加速度为g，不计导轨电阻．
(1) 闭合开关S1，断开开关S2，导体棒静止释放，求
导体棒最终速度大小．
(2) 闭合开关S2，断开开关S1，导体棒静止释放，求导体棒最终速度大小．
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