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第四章
数列
4.2 等差数列
第2课时 等差数列的性质
学习 目标 1. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质．
2. 能用等差数列的性质解决一些相关问题，包括简单的应用问题．
典例精讲 能力初成
(教材P16例3)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
1
等差数列的实际应用
探究
1
【解答】
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，那么4 km高度的气温是_______℃.
【解析】
用{an}表示自下而上n km高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝ －17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，所以an＝15－6.5n，所以a4＝－11.
变式
－11
(1) (教材P17例5补充)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于 ( )
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7(n－1)
2
等差数列的性质
【解析】
因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
B
探究
2
(2) 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为 ( )
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
【解析】
设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又因为d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
C
(1) 若{an}，{bn}是公差分别为d，d′的等差数列，则有：
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(2) 下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
(1) 在等差数列{an}中，若4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，则a4＋a9等于
( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
【解析】
在等差数列{an}中，4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，由等差数列的性质可得12a5＋12a8＝132，所以a5＋a8＝11，故a4＋a9＝a5＋a8＝11.
变式
C
(2) 已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为 ( )
A. －6 B. 6
C. 0 D. 10
【解析】
由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.
B
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
3
灵活设元解等差数列
【解答】
方法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6.又前三项的乘积为66，所以6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于该数列为递减数列，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10，所以－34是数列{an}的第10项．
探究
3
等差数列的设项方法与技巧
(1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2) 当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
(3) 当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
【解答】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
因为a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，所以a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.
1. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为 ( )
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
C
【解析】
2. 在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在数列{an}中每相邻两项之间插入一个
数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是_______．
【解析】
因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4，所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.
3. (多选)在等差数列{an}中，若a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则 ( )
A. 公差d＝－4 B. a2＝7
C. {an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84
BC
【解析】
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元，所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
4. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通无等候时间，则需要支付车费_______元．
23.2
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于 ( )
A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
B
【解析】
由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
【解析】
C
3. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于 ( )
A. 8 B. 4
C. 6 D. 12
A
【解析】
因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
【解析】
D
二、 多项选择题
5. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有 ( )
A. a1＋a101>0 B. a2＋a100<0
C. a3＋a99＝0 D. a51＝0
CD
【解析】
根据等差数列的性质得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0.又因为a3＋a99＝2a51，所以a3＋a99＝0.
【解析】
AD
三、 填空题
7. (教材P17 第1题)某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第10排有_____个座位．
33
【解析】
由条件可知，每排的座位数成等差数列，首项a1＝15，d＝2，则an＝15＋(n－1)×2＝2n＋13，a10＝2×10＋13＝33.
8. 若四个数成递增等差数列，四个数之和等于26，中间两个数之积为40，则这四个数是______________．
【解析】
设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其中d>0，
2，5，8，11
【解析】
四、 解答题
10. (1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；
【解答】
由等差数列的性质可得a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，所以5a5＝450，解得a5＝90，因此a2＋a8＝2a5＝180.
(2) 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，因为a15＝8，a60＝20，所以45d＝a60－a15＝20－8＝12，则15d＝4，因此a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
11. 已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
【解析】
【答案】BD
【解答】
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学习 目标 1. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质． 2. 能用等差数列的性质解决一些相关问题，包括简单的应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等差数列的实际应用
例1 (教材P16例3)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
(例1)
【解答】设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2).由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.根据题意，得即解这个不等式组，得19＜d≤20.9.所以d的取值范围为(19，20.9].
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
变式 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，那么4 km高度的气温是__－11_℃.
【解析】用{an}表示自下而上n km高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，所以an＝15－6.5n，所以a4＝－11.
探究2 等差数列的性质
例2 (1) (教材P17例5补充)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( B )
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7(n－1)
【解析】因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.
(2) 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( C )
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
【解析】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．又因为d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
(1) 若{an}，{bn}是公差分别为d，d′的等差数列，则有：
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(2) 下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
变式 (1) 在等差数列{an}中，若4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，则a4＋a9等于( C )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
【解析】在等差数列{an}中，4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，由等差数列的性质可得12a5＋12a8＝132，所以a5＋a8＝11，故a4＋a9＝a5＋a8＝11.
(2) 已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( B )
A. －6 B. 6
C. 0 D. 10
【解析】由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，故a10－b10＝6.
探究3 灵活设元解等差数列
例3 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
【解答】方法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，解得a＝6.又前三项的乘积为66，所以6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5.由于该数列为递减数列，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.令－5n＋16＝－34，解得n＝10，所以－34是数列{an}的第10项．
方法二：根据所给已知条件可得
即解得或
因为数列{an}是递减等差数列，所以d＜0.故a1＝11，d＝－5，所以an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，解得n＝10，所以－34是数列{an}的第10项．
等差数列的设项方法与技巧
(1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2) 当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
(3) 当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
变式 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
【解答】设第3个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知条件可以得到整理得解得a＝1，d＝±.当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
随堂内化及时评价
1. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( C )
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
【解析】因为a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，所以a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，所以a7＝20，所以a1＋a13＝2a7＝40.
2. 在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是__－_．
【解析】方法一：设新的等差数列的公差为d，由a1＝8，a5＝2，得a3＝＝＝5，a2＝＝＝，所以d＝＝＝－.
方法二：设新的等差数列为{bn}，其公差为d，则b1＝a1＝8，b9＝a5＝2，所以d＝＝＝－.
3. (多选)在等差数列{an}中，若a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则( BC )
A. 公差d＝－4 B. a2＝7
C. {an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84
【解析】因为a1＋a2＋a3＝21，所以3a2＝21，所以a2＝7.因为a1＝3，所以d＝4，所以数列{an}为递增数列，a4＝a2＋2d＝15，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝45.
4. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通无等候时间，则需要支付车费__23.2_元．
【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元，所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( B )
A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
【解析】由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所以a7＝8.
2. 在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( C )
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
【解析】设等差数列{an}的公差为d，因为a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，所以5a8＝120，a8＝24，所以a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.
3. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( A )
A. 8 B. 4
C. 6 D. 12
【解析】因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
4. 若首项为－21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是( D )
A. (3，＋∞) B.
C. D.
【解析】设an＝－21＋(n－1)d，因为从第8项起开始为正数，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤.
二、 多项选择题
5. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( CD )
A. a1＋a101>0 B. a2＋a100<0
C. a3＋a99＝0 D. a51＝0
【解析】根据等差数列的性质得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a51＝0.又因为a3＋a99＝2a51，所以a3＋a99＝0.
6. 已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列判断正确的是( AD )
A. 数列{an}是递增数列
B. 数列{nan}是递增数列
C. 数列是递增数列
D. 数列{an＋3nd}是递增数列
【解析】在等差数列{an}中，因为d＞0，所以数列{an}为递增数列，所以A正确．令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，数列{nan}可能是先减后增，所以B错误．＝＝＋d，当b＞0时，数列是递减数列，所以C错误．an＋3nd＝4dn＋b，因为d＞0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，故D正确．
三、 填空题
7. (教材P17 第1题)某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第10排有__33_个座位．
【解析】由条件可知，每排的座位数成等差数列，首项a1＝15，d＝2，则an＝15＋(n－1)×2＝2n＋13，a10＝2×10＋13＝33.
8. 若四个数成递增等差数列，四个数之和等于26，中间两个数之积为40，则这四个数是__2，5，8，11_．
【解析】设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其中d>0，
所以
解得所以这四个数为2，5，8，11.
9. 若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为___．
【解析】由题意知n－m＝3d1，d1＝(n－m).又因为n－m＝4d2，d2＝(n－m)，所以＝＝.
四、 解答题
10. (1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；
【解答】由等差数列的性质可得a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，而a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，所以5a5＝450，解得a5＝90，因此a2＋a8＝2a5＝180.
(2) 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
【解答】设等差数列{an}的公差为d，因为a15＝8，a60＝20，所以45d＝a60－a15＝20－8＝12，则15d＝4，因此a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
11. 已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4.因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.
(2) 若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
【解答】由(1)知a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n.当n＞1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4，所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n.
12. (多选)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n的值可能为( BD )
A. － B. －
C. D.
【解析】设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根分别为a1，a2，a3，a4，则a1，a2，a3，a4组成首项为的等差数列，设其公差为d，由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3.①若a1，a4为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a2，a3为方程x2－2x＋n＝0的两根，则由韦达定理可得a1＋a4＝＋a4＝2，可得a4＝，d＝＝，则a2＝，a3＝，此时m＝a1a4＝，n＝a2a3＝，则m－n＝－.②若a1，a4为x2－2x＋n＝0的两根，a2，a3为方程x2－2x＋m＝0的两根，同理可得m＝，n＝，则m－n＝.综上所述，m－n＝±.
13. 已知正项数列{an}满足a1＝1，a＋a＝2a，且a4－a2＝.
(1) 求数列{a}的通项公式；
【解答】由已知得a－a＝a－a，所以数列{a}是等差数列，设其公差为d.由a4－a2＝得a－a＝2，所以2d＝2，即d＝1，所以a＝a＋(n－1)d＝n.
(2) 求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值．
【解答】由an＞0，得an＝，所以原不等式可化为＋1＜2，两边平方可得n＋6＋2＜4n，即2＜3n－6，所以4(n＋5)＜(3n－6)2，整理得(n－4)(9n－4)＞0，解得n＞4或n＜.因为n∈N*，故n的最小值为5.第2课时 等差数列的性质
学习 目标 1. 能用等差数列的定义推导等差数列的性质． 2. 能用等差数列的性质解决一些相关问题，包括简单的应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等差数列的实际应用
例1 (教材P16例3)某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．
解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键．在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．
变式 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，那么4 km高度的气温是__－11_℃.
探究2 等差数列的性质
例2 (1) (教材P17例5补充)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7(n－1)
(2) 已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为( )
A. 0 B. 37
C. 100 D. －37
(1) 若{an}，{bn}是公差分别为d，d′的等差数列，则有：
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
(2) 下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
变式 (1) 在等差数列{an}中，若4(a2＋a5＋a8)＋6(a6＋a10)＝132，则a4＋a9等于( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
(2) 已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为( )
A. －6 B. 6
C. 0 D. 10
探究3 灵活设元解等差数列
例3 已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{an}的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
等差数列的设项方法与技巧
(1) 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列．
(2) 当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.
(3) 当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.
变式 已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
随堂内化及时评价
1. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13的值为( )
A. 20 B. 30
C. 40 D. 50
2. 在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在数列{an}中每相邻两项之间插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是__________．
3. (多选)在等差数列{an}中，若a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则( )
A. 公差d＝－4 B. a2＝7
C. {an}为递增数列 D. a3＋a4＋a5＝84
4. 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通无等候时间，则需要支付车费__________元．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＝2，a3＋a5＝10，则a7等于( )
A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
2. 在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( )
A. 14 B. 15
C. 16 D. 17
3. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于( )
A. 8 B. 4
C. 6 D. 12
4. 若首项为－21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是( )
A. (3，＋∞) B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A. a1＋a101>0 B. a2＋a100<0
C. a3＋a99＝0 D. a51＝0
6. 已知等差数列{an}的公差d＞0，则下列判断正确的是( )
A. 数列{an}是递增数列
B. 数列{nan}是递增数列
C. 数列是递增数列
D. 数列{an＋3nd}是递增数列
三、 填空题
7. (教材P17 第1题)某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第10排有__________个座位．
8. 若四个数成递增等差数列，四个数之和等于26，中间两个数之积为40，则这四个数是___________．
9. 若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为__________．
四、 解答题
10. (1) 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；
(2) 已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
11. 已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若从数列{an}中依次取出第2项、第4项、第6项、…、第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
12. (多选)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n的值可能为( )
A. － B. －
C. D.
13. 已知正项数列{an}满足a1＝1，a＋a＝2a，且a4－a2＝.
(1) 求数列{a}的通项公式；
(2) 求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值．
