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第四章
数列
4.2 等差数列
第4课时 等差数列前n项和的性质及应用
学习 目标 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2. 掌握等差数列前n项和的性质及其应用．
3. 会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．
典例精讲 能力初成
(1) 在等差数列{an}中，若S10＝100，S100＝10，则S110＝________．
1
等差数列前n项和的性质
【解析】
探究
1
【答案】－110
(2) 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为____．
【解析】
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5.
【答案】5
【解析】
D
(2025·新乡期末)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则 ( )
A. a4＞0
B. d＞0
C. 当Sn＞0时，n的最大值为9
D. 当n＝4时，Sn取得最大值
2
等差数列前n项和的最值问题
探究
2
【答案】AD
【解析】
寻求正、负项分界点的方法：
(2) 利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
变式
【答案】BCD
【解析】
某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
3
等差数列前n项和的实际应用问题
探究
3
【解答】
随堂内化 及时评价
【解析】
因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
1. 已知数列{an}是等差数列，且Sn＝20，S2n＝38，则S3n等于 ( )
A. 63 B. 54
C. 36 D. 27
B
【解析】
2. (2025·厦门期末)某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件，为保证今年该产品的总产量超过1 800件，则k的最小值为
( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
【解析】
3. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，则Sn取最大值时n的值可能为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
BC
【解析】
【解析】
5. 若一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝______．
2.5
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于
( )
A. 66 B. 99 C. 144 D. 297
B
【解析】
2. 设等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n的值为 ( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
D
【解析】
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
BC
【解析】
AB
【解析】
2n－11
0
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____，Sn的最小值为_______．
【解析】
在等差数列{an}中，由S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，而a2＝－3，故公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时，an≤0，当n≥6时，an>0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.
0
－10
9. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_____.
【解析】
10
四、 解答题
10. (教材P25第 9题 ) 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
(1) 截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
【解答】
(2) 如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，那么这个车队当天一共行驶了多少千米？
【解答】
10. (教材P25第 9题 ) 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
【解答】
【解答】
【解析】
B
【解析】
【解答】
【解答】
谢谢观赏第4课时 等差数列前n项和的性质及应用
学习 目标 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2. 掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 3. 会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等差数列前n项和的性质
例1 (1) 在等差数列{an}中，若S10＝100，S100＝10，则S110＝__－110_．
【解析】方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得所以S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110.
方法二：因为S10＝100，S100＝10，所以S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，所以a11＋a100＝－2.又因为a1＋a110＝a11＋a100＝－2，所以S110＝＝－110.
方法三：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，所以设其公差为d，前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22.所以数列{an}的前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110.
方法四：设数列{an}的公差为d，因为Sn＝na1＋d，则＝a1＋(n－1)，所以数列是等差数列，其公差为.所以－＝(100－10)×，且－＝(110－100)×.代入已知数值，消去d，可得S110＝－110.
方法五：令Sn＝An2＋Bn.因为S10＝100，S100＝10，所以解得所以S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110.
(2) 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为__5_．
【解析】方法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多＝30，其值为6d，则d＝5.
方法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，则解得所以6d＝192－162＝30，所以d＝5.
方法三：由题意知
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，解得d＝5.
(3) 设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则等于( D )
A. B.
C. D.
【解析】因为S13＝＝13a7，T13＝＝13b7，所以＝＝.
(1) 若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的一半．
(2) Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且公差为m2d.
(3) 关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质：
若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
探究2 等差数列前n项和的最值问题
例2 (2025·新乡期末)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则( AD )
A. a4＞0
B. d＞0
C. 当Sn＞0时，n的最大值为9
D. 当n＝4时，Sn取得最大值
【解析】设数列{an}的公差为d，对于A，由S8＞0，得S8＝＝＝4(a4＋a5)＞0.又a5＜0，所以a4＞0，故A正确；对于B，由A知a4＞0，则d＝a5－a4＜0，故B错误；对于C，当1≤n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0.又S9＝＝9a5＜0，所以当n≥10时，Sn＝S9＋a10＋a11＋…＋an＜0，且S8＞0，所以当Sn＞0时，n的最大值为8，故C错误；对于D，因为当1≤n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，所以当Sn取得最大值时，n＝4，故D正确．
寻求正、负项分界点的方法：
(1) 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2) 利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
变式 (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＋a10>0，a10<0，则下列结论正确的是( BCD )
A. S19>0
B. S18>0
C. 数列是等差数列
D. 对任意n∈N*，都有Sn≤S9
【解析】由题意知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＋a10>0，a10<0，所以a9>0，a10<0，d<0，S19＝＝19a10<0，S18＝＝9(a10＋a9)>0，故A错误，B正确；由题意知＝＝a1＋ (a1，d 分别为首项、公差)，所以－＝－＝，所以数列是以a1为首项，为公差的等差数列，故C正确；因为a9>0，a10<0，d<0，所以a1>…>a9>0>a10>…，所以对任意n∈N*，都有Sn≤S9，故D正确．
探究3 等差数列前n项和的实际应用问题
例3 某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
【解答】从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.因为500>480，所以在24 h内能构筑成第二道防线．
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}是等差数列，且Sn＝20，S2n＝38，则S3n等于( B )
A. 63 B. 54
C. 36 D. 27
【解析】因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，所以S3n＝3(S2n－Sn)＝54.
2. (2025·厦门期末)某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件，为保证今年该产品的总产量超过1 800件，则k的最小值为( A )
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
【解析】因为某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件，所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项，k为公差的等差数列．由今年该产品的总产量超过1 800件，所以12×100＋k＞1 800，解得k＞，又k∈N，所以k的最小值为10.
3. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，则Sn取最大值时n的值可能为( BC )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【解析】因为S4＝S9，所以4a1＋d＝9a1＋d，化简得a1＋6d＝0，所以a1＝－6d.因为a1>0，所以d<0，所以Sn＝na1＋d＝－6dn＋d＝n2－dn，它的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为n＝，因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值．
4. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝___．
【解析】因为{an}，{bn}均为等差数列，所以＝＝＝.
5. 若一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝__2.5_．
【解析】在前20项中，奇数项和S奇＝×75＝25，偶数项和S偶＝×75＝50.又因为S偶－S奇＝10d，所以d＝＝2.5.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B )
A. 66 B. 99
C. 144 D. 297
【解析】在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a2＋a5＋a8＝＝33，所以S9＝(a1＋a4＋a7)＋(a2＋a5＋a8)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋33＋27＝99.
2. 设等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n的值为( D )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
【解析】因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，当Sn取最大值时，n的值为( C )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
【解析】由＝，得13a6＝11a5.由等差数列通项公式可得13(a1＋5d)＝11(a1＋4d)，解得d＝－.由等差数列的前n项和公式可知Sn＝na1＋＝na1＋×＝－(n2－22n)＝－(n－11)2＋.由二次函数性质可知，当n＝11时，Sn取得最大值．
4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份面包的量为( C )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
【解析】易得中间的一份为20个面包，设最小的一份面包的量为a1，公差为d(d＞0)，根据题意，有[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝.故最小一份面包的量为个．
二、 多项选择题
5. (2025·郑州期末)已知Sn是公差为d的等差数列的前n项和，且S7＞S9＞S8，下列说法正确的是( BC )
A. d＜0
B. 数列的最小项为S8
C. ＞
D. Sn＜0时n的最大值为15
【解析】在等差数列中，由S7＞S9＞S8，得a8＝S8－S7＜0，a9＝S9－S8＞0，a8＋a9＝S9－S7＜0.对于A，d＝a9－a8＞0，故A错误；对于B，数列是递增数列，前8项均为负，从第9项起为正，则数列的最小项为S8，故B正确；对于C，由a8＋a9＜0，得－a8＞a9＞0，因此＞，故C正确；对于D，由a8＋a9＜0，得S16＝＝8(a8＋a9)＜0，故D错误．
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且＝，则下列选项中正确的是( AB )
A. ＝ B. ＝1
C. {an}是递增数列 D. {an}是递减数列
【解析】由题意并结合等差数列前n项和的特征，可设Sn＝kn(n＋1)，Tn＝2kn2，其中k≠0.对于A, ＝＝＝＝，故A正确；对于B，＝＝＝＝1，故B正确；对于C，当k<0时，a1＝S1＝2k，a2＝S2－S1＝2×3k－2k＝4k，所以a1>a2，所以{an}不是递增数列，故C错误；对于D，当k>0时，a1＝S1＝2k，a2＝S2－S1＝2×3k－2k＝4k，所以a1
三、 填空题
7. 在等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝__2n－11_，S10＝__0_．
【解析】设公差为d，因为－＝2，所以d－d＝2，所以d＝2.因为a1＝－9，所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，S10＝10×(－9)＋×2＝0.
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝__0_，Sn的最小值为__－10_．
【解析】在等差数列{an}中，由S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，而a2＝－3，故公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0.由等差数列{an}的性质得当n≤5时，an≤0，当n≥6时，an>0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.
9. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为__10_.
【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个，所以钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200.所以当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
四、 解答题
10. (教材P25第 9题 ) 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
(1) 截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
【解答】第一辆车14时出发，每辆车的间隔时间为10 min，即为 h，则第15辆车在14×＝ h后出发，即最后一辆车出发的时间为16时20分，故截止到18时，最后一辆车行驶了1 h 40 min.
(2) 如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，那么这个车队当天一共行驶了多少千米？
【解答】设每辆车行驶的时间构成数列，由题意可得构成首项为a1＝4，公差为d＝－的等差数列，则15辆车行驶的时间的和为S15＝15×4＋×＝小时，所以行驶的总里程为S＝×60＝2 550(km).
11. (2025·福州期末)已知等差数列满足a3＝1，a2＋3a4＝0.
(1) 求数列的通项公式；
【解答】设等差数列的公差为d，依题意，得解得所以an＝5＋(n－1)×(－2)＝7－2n.
(2) 求的前n项和Sn的最大值．
【解答】 方法一：Sn＝na1＋d＝5n＋·(－2)＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9.因为n∈N*，所以当n＝3时，Sn的最大值为9.
方法二： 由an＝7－2n，可得当n≤3时，an＞0；当n≥4时，an＜0，所以S1＜S2＜S3＞S4＞S5＞…，即当n＝3时，Sn最大．因为S3＝5×3＋×(－2)＝9，所以Sn的最大值为9.
12. (2025·武汉期末)设等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为( B )
A. B.
C. D.
【解析】因为数列，均为等差数列，故由＝，可设Sn＝n(2n＋1)k，Tn＝n(3n－1)k，则a7＝S7－S6＝105k－78k＝27k，b5＝T5－T4＝70k－44k＝26k，则＝＝.
13. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S7＝28，则an＝__n_，的最大值是___.
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则解得所以数列{an}的通项为an＝a1＋(n－1)d＝n.Sn＝＝，所以＝.令t＝n＋1，则t≥2且t∈N，＝＝，由对勾函数的单调性可知，函数y＝t＋＋7在t∈(0，2)时单调递减，在t∈(2，＋∞)时单调递增，故当t＝3或t＝4时，取得最大值为.
14. (教材P25第7题)已知Sn是等差数列的前n项和．
(1) 求证：是等差数列；
【解答】因为Sn＝na1＋d＝n2＋n，所以＝n＋，所以－＝n＋－(n－1)－＝，所以是等差数列．
(2) 设Tn为数列的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn.
【解答】由＝＝3，＝＝5，则公差d1＝＝＝.又因为＝＋3d1，所以＝－3d1＝3－3×＝，所以＝＋(n－1)d1＝＋(n－1)＝n＋1，所以Tn＝n＋×＝n2＋n.第4课时 等差数列前n项和的性质及应用
学习 目标 1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 2. 掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 3. 会解决与等差数列前n项和有关的实际应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等差数列前n项和的性质
例1 (1) 在等差数列{an}中，若S10＝100，S100＝10，则S110＝__________．
(2) 一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为__________．
(3) 设等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有＝，则等于( )
A. B.
C. D.
(1) 若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的一半．
(2) Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，且公差为m2d.
(3) 关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质：
若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
探究2 等差数列前n项和的最值问题
例2 (2025·新乡期末)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知S8＞0，a5＜0，则( )
A. a4＞0
B. d＞0
C. 当Sn＞0时，n的最大值为9
D. 当n＝4时，Sn取得最大值
寻求正、负项分界点的方法：
(1) 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2) 利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
变式 (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＋a10>0，a10<0，则下列结论正确的是( )
A. S19>0
B. S18>0
C. 数列是等差数列
D. 对任意n∈N*，都有Sn≤S9
探究3 等差数列前n项和的实际应用问题
例3 某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？
随堂内化及时评价
1. 已知数列{an}是等差数列，且Sn＝20，S2n＝38，则S3n等于( )
A. 63 B. 54
C. 36 D. 27
2. (2025·厦门期末)某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件，为保证今年该产品的总产量超过1 800件，则k的最小值为( )
A. 10 B. 11
C. 12 D. 13
3. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，则Sn取最大值时n的值可能为( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
4. 已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝__________．
5. 若一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，则公差d＝__________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( )
A. 66 B. 99
C. 144 D. 297
2. 设等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n的值为( )
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且＝，当Sn取最大值时，n的值为( )
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
4. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份面包的量为( )
A. 个 B. 个
C. 个 D. 个
二、 多项选择题
5. (2025·郑州期末)已知Sn是公差为d的等差数列的前n项和，且S7＞S9＞S8，下列说法正确的是( )
A. d＜0
B. 数列的最小项为S8
C. ＞
D. Sn＜0时n的最大值为15
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，且＝，则下列选项中正确的是( )
A. ＝ B. ＝1
C. {an}是递增数列 D. {an}是递减数列
三、 填空题
7. 在等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝___________，S10＝__________．
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝__________，Sn的最小值为___________．
9. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为___________.
四、 解答题
10. (教材P25第 9题 ) 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
(1) 截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
(2) 如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，那么这个车队当天一共行驶了多少千米？
11. (2025·福州期末)已知等差数列满足a3＝1，a2＋3a4＝0.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求的前n项和Sn的最大值．
12. (2025·武汉期末)设等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为( )
A. B.
C. D.
13. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S7＝28，则an＝__________，的最大值是__________.
14. (教材P25第7题)已知Sn是等差数列的前n项和．
(1) 求证：是等差数列；
(2) 设Tn为数列的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn.
