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第四章
数列
4.3 等比数列
第2课时 等比数列的性质
学习 目标 1. 掌握等比数列的性质并会应用．
2. 熟练掌握等比数列的判定方法．
3. 能用等比数列解决简单的实际应用问题．
典例精讲 能力初成
1
等比数列的性质
【解析】
探究
1
18
【解析】
(2) 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.
(3) 在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk+1.
(1) 已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于 ( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. －2
【解析】
因为y＝(x－1)2＋2，所以b＝1，c＝2.又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.
B
变式
【解析】
B
(教材P32例5)已知数列{an}的首项a1＝3.
(1) 若{an}为等差数列，公差d＝2，证明：数列{3an}为等比数列；
2
等比数列的判定
【解答】
探究
2
【解答】
(教材P32例5)已知数列{an}的首项a1＝3.
2
等比数列的判断方法主要有如下两种：
【解答】
变式
【解答】
变式
(教材P31例4补充)某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么2025年8月该厂的生产总值为多少万元？
3
等比数列的实际应用问题
【解答】
探究
3
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 在等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于 ( )
A. 12 B. 6
C. －12 D. －6
A
【解析】
2. (2025·邯郸期末)一个容积为2 L的瓶中装满某种水溶液，从中倒出1 L后用水添满摇匀，再倒出1 L混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的10%，则至少需要倒 ( )
A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次
B
【解析】
A
【解析】
D
【解析】
AC
配套新练案
【解析】
C
2. 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an，则a2 025等于 ( )
A. 32 025＋1 B. 32 025－1
C. 32 025 D. 32 024
C
【解析】
因为an＋1＝3an，a1＝3，所以数列{an}是首项、公比均为3的等比数列，所以an＝3n，所以a2 025＝32 025.
3. 已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为 ( )
A. －4或－1 B. －4
C. －1 D. 4或1
B
【解析】
【解析】
因为lg a，lg b，lg c成等差数列，所以lg a＋lg c＝2 lg b，所以b2＝ac＞0，所以a，b，c成等比数列．
C
【解析】
【答案】ABD
【解析】
AD
【解析】
－2
【解析】
－3
9. (2025·福州期末)某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10 000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约_________辆. (参考数据：1.27≈3.58，1.28≈4.30，1.29≈5.16)
【解析】
43 000
四、 解答题
10. 某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，试求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比，若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？
【解答】
11. 已知数列{an}为等比数列．
(1) 若an＞0，且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，求a3＋a5的值；
【解答】
(2) 若a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
【解答】
11. 已知数列{an}为等比数列．
【解析】
【答案】3
【解答】
(2) 证明：数列{an－2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
【解答】
谢谢观赏第2课时 等比数列的性质
学习 目标 1. 掌握等比数列的性质并会应用． 2. 熟练掌握等比数列的判定方法． 3. 能用等比数列解决简单的实际应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等比数列的性质
例1 (1) 在等比数列{an}中，若a3＝，a9＝3，则a15＝__18_．
【解析】由等比数列的性质知a3a15＝a，故a15＝＝＝18.
(2) 已知公比为q的等比数列{an}，若a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)＝___．
【解析】因为a5＋a9＝q，所以a4＋a8＝，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝.
(1) 若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则，{a}，{an·bn}，也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2) 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.
(3) 在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk+1.
变式 (1) 已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( B )
A. 3 B. 2
C. 1 D. －2
【解析】因为y＝(x－1)2＋2，所以b＝1，c＝2.又因为a，b，c，d成等比数列，所以ad＝bc＝2.
(2) 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( B )
A. B.
C. D. 2
【解析】因为a3·a9＝a，所以a＝2a，所以 ＝2，所以q2＝2.因为q>0，所以q＝.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.
探究2 等比数列的判定
例2 (教材P32例5)已知数列{an}的首项a1＝3.
(1) 若{an}为等差数列，公差d＝2，证明：数列{3an}为等比数列；
【解答】由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1.设bn＝3an，则＝＝9.又b1＝33＝27，所以是以27为首项，9为公比的等比数列．
(2) 若{an}为等比数列，公比q＝，证明：数列{log3an}为等差数列．
【解答】由a1＝3，q＝，得an＝3×n-1＝33-2n.两边取以3为底的对数，得log3an＝log333-2n＝3－2n.所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2.又log3a1＝log33＝1，所以是首项为1，公差为－2的等差数列．
等比数列的判断方法主要有如下两种：
(1) 定义法，若＝q(q≠0，n∈N*)或＝q(q≠0，n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列；
(2) 等比中项公式法，在数列{an}中，若an≠0且a＝an·an－2(n≥3，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
变式 已知数列{an}满足：a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2).
(1) 求a1＋a2＋a3的值；
【解答】由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，得a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，所以a1＋a2＋a3＝＋3＋13＝.
(2) 令bn＝an＋，求证：数列{bn}是等比数列．
【解答】因为an＝4an－1＋1(n≥2)，所以an＋1＝4an＋1，所以＝＝＝＝4.又因为b1＝a1＋＝，所以数列{bn}是以为首项，4为公比的等比数列．
探究3 等比数列的实际应用问题
例3 (教材P31例4补充)某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么2025年8月该厂的生产总值为多少万元？
【解答】设从2024年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，所以＝1＋m%.所以数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列，所以an＝a(1＋m%)n-1.所以2025年8月该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20-1＝a(1＋m%)19(万元).
随堂内化及时评价
1. 在等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于( A )
A. 12 B. 6
C. －12 D. －6
【解析】由a2a15＝a7a10，得a15＝＝＝12.
2. (2025·邯郸期末)一个容积为2 L的瓶中装满某种水溶液，从中倒出1 L后用水添满摇匀，再倒出1 L混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的10%，则至少需要倒( B )
A. 3次 B. 4次
C. 5次 D. 6次
【解析】设该种水溶液的原浓度为a，倒1次后浓度变为，倒2次后浓度变为，…，倒n次后浓度变为，令＜a(n为正整数)，解得n≥4.
3. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( A )
A. 5 B. 7
C. 6 D. ±5
【解析】方法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a＝10，所以a2a8＝50，所以a4a5a6＝(a4a6)·a5＝a＝()3＝(50)3＝5.
方法二：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)·(a7a8a9)＝(a4a5a6)2，所以a4a5a6＝±＝±5.又因为数列的各项均为正数，所以a4a5a6＝5.
4. 在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为( D )
A. －或 B. －
C. D. 或－
【解析】在等比数列{an}中，因为a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，所以a2a16＝2.又因为 a2a16＝a ＝2，所以a9＝±，所以＝＝a9＝±.
5. (多选)在数列{an}中，如果an＝32-n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是( AC )
A. 公比为的等比数列
B. 公比为3的等比数列
C. 首项为3的等比数列
D. 首项为的等比数列
【解析】因为an＝32-n(n＝1，2，3，…)，所以a1＝3，a2＝1，an－1＝33-n(n≥2)，则有＝＝(n≥2)，所以{an}为等比数列，且公比q＝，首项a1＝3.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若正项等比数列{an}满足a＋2a3a7＋a6a10＝16，则a2＋a8等于( C )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
【解析】根据题意，等比数列{an}满足a＋2a3a7＋a6a10＝16，则有a＋2a2a8＋a＝16，即(a2＋a8)2＝16，又由数列{an}为正项等比数列，故a2＋a8＝4.
2. 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an，则a2 025等于( C )
A. 32 025＋1 B. 32 025－1
C. 32 025 D. 32 024
【解析】因为an＋1＝3an，a1＝3，所以数列{an}是首项、公比均为3的等比数列，所以an＝3n，所以a2 025＝32 025.
3. 已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为( B )
A. －4或－1 B. －4
C. －1 D. 4或1
【解析】由等比数列的性质可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，且所以x≠0且x≠－1，整理可得x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1(舍去)或x＝－4.
4. 若lg a，lg b，lg c成等差数列，则( C )
A. b＝
B. b＝(lg a＋lg b)
C. a，b，c成等比数列
D. a，b，c成等差数列
【解析】因为lg a，lg b，lg c成等差数列，所以lg a＋lg c＝2 lg b，所以b2＝ac＞0，所以a，b，c成等比数列．
二、 多项选择题
5. 若数列{an}是等比数列，则下列选项正确的有( ABD )
A. 数列{a}是等比数列
B. 若a3＝2，a7＝32，则q＝±2
C. 若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
D. 若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列
【解析】设an＝a1qn-1.对于A，因为a＝aq2n-2，所以＝＝q2是常数，所以数列{a}是等比数列，故A正确；对于B，因为a3＝2，a7＝32，所以q4＝＝＝16，q＝±2，故B正确；对于C，因为a3＝2，a7＝32，a5与a3，a7同号，所以a5＝＝8，故C错误；对于D，若a1＜a2＜a3，则或数列{an}是递增数列，故D正确．
6. 对任意等比数列{an}，下列判断一定正确的是( AD )
A. 成等比数列
B. {an＋2}成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
【解析】设an＝a1qn-1，＝，＝＝＝，故A正确；＝，不是常数，故B错误；a－a2a8＝aq6(1－q2)＝0不一定成立，故C错误；a－a3a9＝aq10－aq10＝0，故D正确．
三、 填空题
7. (2023·全国乙卷)已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝__－2_．
【解析】设的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，则a4＝q2，即a1q3＝q2，a1q＝1.因为a9a10＝－8，所以a1q8·a1q9＝－8，所以q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
8. 已知等比数列{an}的公比为－，a2＝－，那么数列的第3项为___，公比是__－3_．
【解析】因为数列{an}是以－为公比的等比数列，a2＝－，所以a1＝4，则是以＝为首项，公比q＝－3的等比数列，其第3项为×(－3)2＝.
9. (2025·福州期末)某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10 000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约__43 000_辆. (参考数据：1.27≈3.58，1.28≈4.30，1.29≈5.16)
【解析】根据题意，从2024年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，则a1＝10 000，公比q＝1＋20%＝1.2，所以an＝a1qn-1＝10 000×1.2n-1，则2032年全年约生产新能源汽车为a9＝10 000×1.28≈43 000(辆)，故2032年全年生产新能源汽车约43 000辆．
四、 解答题
10. 某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，试求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比，若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？
【解答】设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列，且a1＝128，则a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.设an＝8，即an＝128·(1－50%)n-1＝8，解得n＝5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元．
11. 已知数列{an}为等比数列．
(1) 若an＞0，且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，求a3＋a5的值；
【解答】因为{an}为等比数列，a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，所以a＋2a3a5＋a＝36，即(a3＋a5)2＝36.又因为an＞0，所以a3＋a5＝6.
(2) 若a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
【解答】因为{an}为等比数列，所以a1a9＝a3a7＝64.又因为a3＋a7＝20，所以a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4.①当a3＝4，a7＝16时，＝q4＝4，此时a11＝a3q8＝4×42＝64.②当a3＝16，a7＝4时，＝q4＝，此时a11＝a3q8＝16×＝1.
12. (教材P34第5题)已知数列的通项公式为an＝，则使an取得最大值的n的值为__3_．(参考数据：≈1.4)
【解析】设n＝k时，an最大．因为a1＝，a2＝＞a1，所以k＞1，所以 即故 即 所以即2.5≤k≤3.5(k∈Z)，所以k＝3，故当an取最大值时，n＝3.
13. 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*).
(1) 求a2，a3的值；
【解答】由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.
(2) 证明：数列{an－2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
【解答】因为an＋1＝3an－4n＋2，所以an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n).由(1)知a1－2＝－2＝，所以an－2n≠0，n∈N*，所以＝3，所以数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列．所以an－2n＝×3n-1，所以an＝3n-2＋2n.第2课时 等比数列的性质
学习 目标 1. 掌握等比数列的性质并会应用． 2. 熟练掌握等比数列的判定方法． 3. 能用等比数列解决简单的实际应用问题．
典例精讲能力初成
探究1 等比数列的性质
例1 (1) 在等比数列{an}中，若a3＝，a9＝3，则a15＝__________．
(2) 已知公比为q的等比数列{an}，若a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)＝___________．
(1) 若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则，{a}，{an·bn}，也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．
(2) 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq.
(3) 在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk+1.
变式 (1) 已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于( )
A. 3 B. 2
C. 1 D. －2
(2) 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于( )
A. B.
C. D. 2
探究2 等比数列的判定
例2 (教材P32例5)已知数列{an}的首项a1＝3.
(1) 若{an}为等差数列，公差d＝2，证明：数列{3an}为等比数列；
(2) 若{an}为等比数列，公比q＝，证明：数列{log3an}为等差数列．
等比数列的判断方法主要有如下两种：
(1) 定义法，若＝q(q≠0，n∈N*)或＝q(q≠0，n≥2，n∈N*)，则数列{an}是等比数列；
(2) 等比中项公式法，在数列{an}中，若an≠0且a＝an·an－2(n≥3，n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
变式 已知数列{an}满足：a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2).
(1) 求a1＋a2＋a3的值；
(2) 令bn＝an＋，求证：数列{bn}是等比数列．
探究3 等比数列的实际应用问题
例3 (教材P31例4补充)某工厂2024年1月的生产总值为a万元，计划从2024年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么2025年8月该厂的生产总值为多少万元？
随堂内化及时评价
1. 在等比数列{an}中，a2＝3，a7a10＝36，则a15等于( )
A. 12 B. 6
C. －12 D. －6
2. (2025·邯郸期末)一个容积为2 L的瓶中装满某种水溶液，从中倒出1 L后用水添满摇匀，再倒出1 L混合溶液后再用水添满摇匀，如此进行下去，若使得瓶中溶液浓度低于原来的10%，则至少需要倒( )
A. 3次 B. 4次
C. 5次 D. 6次
3. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( )
A. 5 B. 7
C. 6 D. ±5
4. 在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的两个根，则的值为( )
A. －或 B. －
C. D. 或－
5. (多选)在数列{an}中，如果an＝32-n(n＝1，2，3，…)，那么这个数列是( )
A. 公比为的等比数列
B. 公比为3的等比数列
C. 首项为3的等比数列
D. 首项为的等比数列
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若正项等比数列{an}满足a＋2a3a7＋a6a10＝16，则a2＋a8等于( )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
2. 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an，则a2 025等于( )
A. 32 025＋1 B. 32 025－1
C. 32 025 D. 32 024
3. 已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为( )
A. －4或－1 B. －4
C. －1 D. 4或1
4. 若lg a，lg b，lg c成等差数列，则( )
A. b＝
B. b＝(lg a＋lg b)
C. a，b，c成等比数列
D. a，b，c成等差数列
二、 多项选择题
5. 若数列{an}是等比数列，则下列选项正确的有( )
A. 数列{a}是等比数列
B. 若a3＝2，a7＝32，则q＝±2
C. 若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
D. 若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列
6. 对任意等比数列{an}，下列判断一定正确的是( )
A. 成等比数列
B. {an＋2}成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
D正确．
三、 填空题
7. (2023·全国乙卷)已知为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝__________．
8. 已知等比数列{an}的公比为－，a2＝－，那么数列的第3项为___，公比是___________．
9. (2025·福州期末)某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2024年全年生产新能源汽车10 000辆，如果在后续的几年中，后一年的产量在前一年的基础上提高20%，那么2032年全年生产新能源汽车约__________辆. (参考数据：1.27≈3.58，1.28≈4.30，1.29≈5.16)
四、 解答题
10. 某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，试求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比，若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？
11. 已知数列{an}为等比数列．
(1) 若an＞0，且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝36，求a3＋a5的值；
(2) 若a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值．
12. (教材P34第5题)已知数列的通项公式为an＝，则使an取得最大值的n的值为__________．(参考数据：≈1.4)
13. 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*).
(1) 求a2，a3的值；
(2) 证明：数列{an－2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式．
