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第四章
数列
4.3 等比数列
第3课时 等比数列前n项和公式及性质
学习 目标 1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式．
2. 掌握等比数列的前n项和的性质．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和 公式 _________________
________________
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，则数列{an}是等比数列． ( )
(2) 所有的等比数列，都可以利用公式求前n项和Sn. ( )
(3) 若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B＝0. ( )
×
√
√
×
×
典例精讲 能力初成
(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题：
(1) 若an＝3×2n，求S6；
等比数列前n项和的基本运算
【解答】
探究
1
1－1
【解答】
(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题：
1－1
(3) 若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
【解答】
(教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题：
1－1
(1) 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量：a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).
(2) 运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
若等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，则S5＝______．
【解析】
变式
211
(教材P36例8补充)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＋S4＝S6，求公比q.
【解答】
①若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意；
1－2
【解析】
变式
(1) 在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝_____．
2
等比数列前n项和的性质
【解析】
因为数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，所以S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7，91－S4构成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)·(1＋q2)＝S2(1＋q2)>0，所以S4＝28.
探究
2
28
(2) 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝____．
【解析】
2
(1) 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n).特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于 ( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. －20
【解析】
变式
C
随堂内化 及时评价
【解析】
C
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，解得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于
( )
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
C
【解析】
C
【解析】
4. (多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则
( )
A. S8＝729 B. S8＝820 C. q＝3 D. q＝9
BC
【解析】
5. (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若8S6＝7S3，则{an}的公比为_______．
配套新练案
【解析】
B
【解析】
由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
C
【解析】
A
4. 已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项和a2＋a4＋…＋a100为 ( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
D
【解析】
设S＝a1＋a3＋…＋a99，则a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，因为S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝90，所以3S＝90，S＝30，所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.
【解析】
【答案】BCD
【解析】
【答案】ABD
【解析】
27
【解析】
5
9. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_____．
【解析】
10
四、 解答题
10. (1) 已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，求数列{an}的公比q.
【解答】
【解答】
(3) 已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a}的前n项和．
【解答】
【解答】
【解答】
【解析】
【答案】B
【解答】
【解答】
谢谢观赏第3课时 等比数列前n项和公式及性质
学习 目标 1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式． 2. 掌握等比数列的前n项和的性质．
新知初探基础落实
一、 概念表述
已知 量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和 公式 _Sn＝_ _Sn＝_
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，则数列{an}是等比数列．(× )
(2) 所有的等比数列，都可以利用公式求前n项和Sn. (√ )
(3) 若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B＝0. (√ )
(4) 设数列{an}是等比数列，若a1＝，q＝，则S8＝. (× )
(5) 设数列{an}是等比数列，若a1＝8，q＝，Sn＝，则n＝6. (× )
典例精讲能力初成
探究1 等比数列前n项和的基本运算
例1-1 (教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题：
(1) 若an＝3×2n，求S6；
【解答】因为an＝3×2n＝6×2n-1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，于是S6＝＝378.
(2) 若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
【解答】由题意得解得
从而S5＝＝＝.
(3) 若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
【解答】由题意知q≠1，则解得
(1) 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量：a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).
(2) 运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
变式 若等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，则S5＝_211_．
【解析】因为等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，由a5＝a1q4得q4＝＝.又因为q>0，所以q＝，所以S5＝＝＝211.
例1-2 (教材P36例8补充)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＋S4＝S6，求公比q.
【解答】①若q＝1，则S2＝2a1，S4＝4a1，S6＝6a1，显然满足S2＋S4＝S6，所以q＝1符合题意；
②若q≠1，则＋＝，整理得(q2＋1)(q＋1)2(q－1)2＝0，解得q＝－1(q＝1舍去).综上，公比q的值等于1或－1.
变式 在等比数列{an}中，若a3＝，S3＝，则a1＋q＝_或_．
【解析】因为在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，所以当q＝1时，S3＝3a1＝，a1＝；当q≠1时，S3＝＝，a1×(1＋q＋q2)＝，而a3＝＝a1×q2，两式相除得＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝－或1.因为q≠1，所以q＝－，a1＝6.综上所述，q＝－，a1＝6或q＝1，a1＝，故a1＋q＝或.
探究2 等比数列前n项和的性质
例2 (1) 在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝_28_．
【解析】因为数列{an}是等比数列，且易知公比q≠－1，所以S2，S4－S2，S6－S4也构成等比数列，即7，S4－7，91－S4构成等比数列，所以(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21.又因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)·(1＋q2)＝S2(1＋q2)>0，所以S4＝28.
(2) 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_2_．
【解析】由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，所以S奇＝－80，S偶＝－160，所以q＝＝2.
(1) 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n).特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(2) 若等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝.
变式 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于(C )
A. 5 B. 10
C. 15 D. －20
【解析】因为在等比数列{an}中，S10＝1，S30＝7，所以q≠－1，所以等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列．设{an}的公比为q，则＝q10>0，故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…都大于0.故(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－1)2＝1·(7－S20) S－S20－6＝0.因为S20>0，所以S20＝3.而(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，故(7－3)2＝(3－1)(S40－7)，故S40＝15.
随堂内化及时评价
1. 等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(C )
A. B.
C. D.
【解析】当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝.
2. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(C )
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，解得q2＝4.因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2.又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
3. 设公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7等于(C )
A. 3 B. 9
C. 27 D. 81
【解析】根据题意，等比数列{an}的公比为3，且S3＝，即a1＋a2＋a3＝，则a5＋a6＋a7＝q4(a1＋a2＋a3)＝33＝27.
4. (多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则(BC )
A. S8＝729 B. S8＝820
C. q＝3 D. q＝9
【解析】由正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，S2＝1，S6＝91，所以且q＞0，q≠1，整理得(1－q＋q2)(1＋q＋q2)＝(1＋q2)2－q2＝91，即q4＋q2－90＝0，由q＞0，解得q＝3，故C正确，D错误；而a1＝，S8＝＝820，故A错误，B正确．
5. (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若8S6＝7S3，则{an}的公比为_－_．
【解析】若q＝1，则由8S6＝7S3得8·6a1＝7·3a1，则a1＝0，不合题意，所以q≠1.当q≠1时，因为8S6＝7S3，所以8·＝7·，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)·(1－q3)＝7(1－q3)，8(1＋q3)＝7，解得q＝－.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(B )
A. －2 B. －1
C. D.
【解析】由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝.将q＝代入S2＝3a2＋2中，得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.
2. (2023·全国甲卷)设等比数列的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于(C )
A. B.
C. 15 D. 40
【解析】由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(A )
A. B. －
C. D.
【解析】因为在等比数列{an}中，a7＋a8＋a9＝S9－S6，S3＝8，S6＝7，所以q≠－1.因为S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝.
4. 已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项和a2＋a4＋…＋a100为(D )
A. 15 B. 30
C. 45 D. 60
【解析】设S＝a1＋a3＋…＋a99，则a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)q＝2S，因为S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100＝90，所以3S＝90，S＝30，所以a2＋a4＋…＋a100＝2S＝60.
二、 多项选择题
5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下列判断正确的是(BCD )
A. 当S5＝4，S10＝12时，公比q＝2
B. ＝q
C. 当项数是偶数时，若其奇数项之和为42，偶数项之和为14，则这个数列的公比为q＝
D. 若＝3，则＝
【解析】对于A，由S5＝4，S10＝12，S10－S5＝12－4＝8，＝q5＝2，故A错误；对于B，＝＝q，故B正确；对于C，设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S奇＝42，S偶＝14，所以q＝＝＝，故C正确；对于D，设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，所以S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，所以S6＝7k，S4＝3k，所以＝＝，故D正确．
6. (2025·淮安期末)已知各项均为正数的等比数列的公比为q，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则(ABD )
A. q＝2
B. a6＝32
C. ＋＋＋…＋＞2
D. 数列的前n项和为
【解析】由题知q≠1且q＞0，由a5－a1＝15，a4－a2＝6，得 q＝2或q＝.当q＝2时，a1＝1；当q＝时，a1＝－16＜0，不符合题意，因此A正确．对于B，因为a6＝1×25＝32，所以B正确．对于C，an＝2n-1，＝n-1，所以＋＋＋…＋＝＝2＜2，因此C不正确．对于D，log2an＋1＝log22n＝n，显然数列是等差数列，因此数列的前n项和为，所以D正确．
三、 填空题
7. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝__，a5＝27．
【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1.又因为a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝，a5＝a1q4＝×34＝27.
8. (2025·开封期末)已知等比数列的公比为－，前n项和为Sn，若＝，则n＝_5_．
【解析】根据等比数列前n项和公式可得＝＝＝＝1＋n＝，则n＝－，因此n＝－＝5，所以n＝5.
9. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为_10_．
【解析】设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S奇＝341，S偶＝682，所以q＝＝2，所以S奇＝＝341，解得n＝5，即这个等比数列的项数为10.
四、 解答题
10. (1) 已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，求数列{an}的公比q.
【解答】设数列{an}的公比为q(q>0)，因为等比数列{an}的前3项和为14，而a1＝2，显然q≠1，所以14＝ q3－7q＋6＝0 q3－q－6q＋6＝0 q(q＋1)(q－1)－6(q－1)＝0 (q－1)(q2＋q－6)＝0，解得q＝1或q＝2或q＝－3.又因为q≠1，q>0，所以q＝2.
(2) 在正项等比数列{an}中，若a2＝，a4＝，求该数列的前10项和．
【解答】因为a2＝，a4＝，所以q2＝＝.因为是正项等比数列{an}，所以q＝，a1＝＝1，所以S10＝＝＝2－.
(3) 已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a}的前n项和．
【解答】由题意得an＝2n-1，所以a＝4n-1，即数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以其前n项和Sn＝＝.
11. (2024·全国甲卷)已知等比数列的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1) 求数列的通项公式；
【解答】因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn－1＝3an－3，n≥2，两式相减得2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列{an}的公比为q＝.由2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝n-1.
(2) 求数列的前n项和Tn.
【解答】由等比数列求和公式得Sn＝＝n－，所以数列的前n项和Tn＝S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝×－n＝·－n＝·n－n－.
12. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn.若存在无穷多个正整数k，使Sk≤0，则q的取值范围是(B )
A. B.
C. D.
【解析】依题意知a1＞0，q≠0，若q＞0，则an＞0，Sn＞0，此时不存在符合题意的k，所以q＜0.若q＝－1，则Sn＝a1×＝[1－(－1)n]，当n为正偶数时，Sn＝0，所以存在无穷多个正整数k，使Sk≤0.当－1＜q＜0时，Sn＝＝(1－qn)，其中＞0，1－qn＞0，所以Sn＞0，此时不存在符合题意的k.当q＜－1时，Sn＝＝(1－qn)，其中＞0，当n是正奇数时，1－qn＞0，所以Sn＞0，此时不存在符合题意的k；当n是正偶数时，1－qn＜0，Sn＜0，所以存在无穷多个正整数k，使Sk≤0.综上所述，q的取值范围是.
13. (教材P41第11题)已知数列的首项a1＝，且满足an＋1＝.
(1) 求证：数列为等比数列．
【解答】由题意，数列满足an＋1＝，可得＝＝·＋，可得－1＝·＋－1＝，即＝.因为a1＝，所以－1＝，所以数列表示首项为，公比为的等比数列．
(2) 若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n.
【解答】由(1)可得－1＝×n-1＝2·n，所以＝2·n＋1.设数列的前n项和为Sn，则Sn＝＋＋＋…＋＝2＋…＋＋n＝2×＋n＝n＋1－.若Sn＜100，即n＋1－＜100.因为函数y＝x＋1－为增函数，所以满足Sn＜100的最大整数n的值为99.第3课时 等比数列前n项和公式及性质
学习 目标 1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式． 2. 掌握等比数列的前n项和的性质．
新知初探基础落实
一、 概念表述
已知 量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和 公式 __Sn＝___________ __Sn＝___________
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 若数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，则数列{an}是等比数列．( )
(2) 所有的等比数列，都可以利用公式求前n项和Sn. ( )
(3) 若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B＝0. ( )
(4) 设数列{an}是等比数列，若a1＝，q＝，则S8＝. ( )
(5) 设数列{an}是等比数列，若a1＝8，q＝，Sn＝，则n＝6. ( )
典例精讲能力初成
探究1 等比数列前n项和的基本运算
例1-1 (教材P35例7补充)在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，解决下列问题：
(1) 若an＝3×2n，求S6；
(2) 若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3) 若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
(1) 等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量：a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).
(2) 运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
变式 若等比数列{an}的各项都是正数，且a1＝16，a5＝81，则S5＝___________．
例1-2 (教材P36例8补充)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＋S4＝S6，求公比q.
②若q≠1，则＋＝，整理得(q2＋1)(q＋1)2(q－1)2＝0，解得q＝－1(q＝1舍去).综上，公比q的值等于1或－1.
变式 在等比数列{an}中，若a3＝，S3＝，则a1＋q＝___________．
探究2 等比数列前n项和的性质
例2 (1) 在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝___________．
(2) 已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝___________．
(1) 若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n).特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(2) 若等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q＝.
变式 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于( )
A. 5 B. 10
C. 15 D. －20
随堂内化及时评价
1. 等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A. B.
C. D.
2. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于( )
A. 16 B. 8
C. 4 D. 2
3. 设公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，则a5＋a6＋a7等于( )
A. 3 B. 9
C. 27 D. 81
4. (多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则( )
A. S8＝729 B. S8＝820
C. q＝3 D. q＝9
5. (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若8S6＝7S3，则{an}的公比为_____________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( )
A. －2 B. －1
C. D.
2. (2023·全国甲卷)设等比数列的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于( )
A. B.
C. 15 D. 40
3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A. B. －
C. D.
4. 已知等比数列{an}的公比q＝2，前100项和为S100＝90，则其偶数项和a2＋a4＋…＋a100为( )
A. 15 B. 30
C. 45 D. 60
二、 多项选择题
5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，下列判断正确的是( )
A. 当S5＝4，S10＝12时，公比q＝2
B. ＝q
C. 当项数是偶数时，若其奇数项之和为42，偶数项之和为14，则这个数列的公比为q＝
D. 若＝3，则＝
6. (2025·淮安期末)已知各项均为正数的等比数列的公比为q，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则( )
A. q＝2
B. a6＝32
C. ＋＋＋…＋＞2
D. 数列的前n项和为
三、 填空题
7. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，a＝a6，则S5＝___________，a5＝__________．
8. (2025·开封期末)已知等比数列的公比为－，前n项和为Sn，若＝，则n＝___________．
9. 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为____________．
四、 解答题
10. (1) 已知各项均为正数的等比数列{an}的前3项和为14，a1＝2，求数列{an}的公比q.
(2) 在正项等比数列{an}中，若a2＝，a4＝，求该数列的前10项和．
(3) 已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{a}的前n项和．
11. (2024·全国甲卷)已知等比数列的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.
(1) 求数列的通项公式；
(2) 求数列的前n项和Tn.
12. 设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn.若存在无穷多个正整数k，使Sk≤0，则q的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13. (教材P41第11题)已知数列的首项a1＝，且满足an＋1＝.
(1) 求证：数列为等比数列．
(2) 若＋＋＋…＋＜100，求满足条件的最大整数n.
