微专题3 裂项相消法
典例剖析素养初现
探究1 等差型裂项求和
例1 (2025·厦门期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，a2a3＝28.
(1) 求an和Sn；
【解答】因为{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2.又S3＝12，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝12，即a2＝4.又因为a2·a3＝28，所以a3＝7，所以公差d＝a3－a2＝3，所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2，Sn＝＝＝.
(2) 令bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn＜.
【解答】由(1)知an＋1＝3(n＋1)－2＝3n＋1，所以bn＝＝＝－，所以b1＋b2＋…＋bn＝＋＝.又因为n∈N*，所以＞0，即＜，所以b1＋b2＋…＋bn＜.
常见的裂项技巧：
(1) ＝，特别地，当k＝1时，＝－；
(2) ＝＝·；
(3) ＝.
变式 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a5＝2a2，S3＝a.
(1) 求数列{an} 的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，由a5＝2a2，S3＝a，得又d≠0，解得d＝1，a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1.
(2) 求证：＋＋＋…＋<1(n∈N*).
【解答】由(1)知，＝<＝－，所以＋＋＋…＋<＋＋…＋＝1－<1.
探究2 无理型裂项求和
例2 若数列{an}满足a1＝1，＝an＋1.
(1) 求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
【解答】由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1.又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*).
(2) 若bn＝，求数列{bn}的前n项和．
【解答】bn＝＝＝－，故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
含有无理式常见的裂项有：
(1) ＝(－)，特别地，当k＝1时，＝－.
(2) ＝－等．
在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
变式 设数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(A )
A. 120 B. 99
C. 11 D. 121
【解析】因为an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，即＝11，所以n＋1＝121，解得n＝120.
探究3 指数型裂项求和
例3 (2025·洛阳期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an＋1＞an，a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，{an}的前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】因为等比数列{an}满足an＋1＞an，所以{an}为递增数列，设{an}的公比为q(q＞1)，等差数列{bn}的公差为d.又a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，所以解得或(舍去)，所以an＝2n-1，bn＝n.
(2) 设cn＝，求数列的前n项和Tn.
【解答】因为an＝2n-1，所以Sn＝＝2n－1，故cn＝＝＝－，则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－.
此类常见的形式有：
(1) ＝－，＝；
(2) ＝－；
(3) ＝－.
探究4 通项裂项为“＋”型求和
例4 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋an＋b，a1＝3，数列{bn}的前n项和Tn＝bn，b1＝2.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2＋n＝n2＋an＋b，所以解得所以数列{an}的通项公式为an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.因为Tn＝bn，当n≥2时，Tn－1＝bn－1，所以bn＝Tn－Tn－1＝bn－bn－1, 所以bn＝bn－1，即＝.所以bn＝×××…×××b1＝×××…×××2＝n(n＋1).
(2) 令cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Pn.
【解答】由(1)知cn＝(－1)n＝(－1)n·＝(－1)n.当n为奇数时，Pn＝－＋－＋…－＝－1－＝－；当n为偶数时，Pn＝－＋－＋…＋＝－1＋＝－.综上所述，数列{cn}的前n项和Pn＝
(1) (－1)n·＝(－1)n；
(2) (－1)n＝(－1)n.
随堂内化及时评价
1. 在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋lg ，则a100的值为(B )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
【解析】因为an＋1＝an＋lg ，所以an＋1－an＝lg ＝lg ＝lg (n＋1)－lg n.因为a1＝2，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋lg n－lg (n－1)]＝2＋lg n－lg 1＝2＋lg n，则a100＝2＋lg 100＝2＋2＝4.
2. ＋＋＋…＋的值为(C )
A.
B. －
C. －
D. －＋
【解析】因为＝＝＝，所以＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(－－)＝－.
3. (多选)已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，则数列的前n项和Sn的值可能是(CD )
A. B.
C. D.
【解析】因为数列an＝n(n＋2)，所以＝＝，Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋－＝·[－]＝－×(＋)<.当n＝4和n＝6时，选项C，D正确．
4. 已知数列{an}满足a1＝，且＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】由＝，得－＝1.又因为＝2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，an＝.
(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解答】由(1)知bn＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝－3.
配套新练案
1. 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设数列{an}的公差为d，则an＝2＋(n－1)d，n∈N*，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，即(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝0(舍去)或d＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
(2) 设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n.
【解答】因为bn＝＝＝，所以Sn＝[＋＋…＋]＝＝.由Sn<，即<，得n<12，所以使Sn<成立的最大的正整数n＝11.
2. 已知公差不为零的等差数列{an}满足a2＝3，且a1，a3，a7 成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设{an}的首项为a1，公差为d，因为a1，a3，a7 成等比数列，所以a＝a1a7.又a2＝3，所以即又d≠0，所以解得故an＝n＋1.
(2) 设数列{bn}满足bn＝，{bn}的前n 项和为Sn，求证：Sn<.
【解答】由(1)知bn＝＝－，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝＋.因为n∈N*，所以＋<(＋)＝，所以Sn<.
3. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a＝2anSn－1.
(1) 求证：数列{S}是等差数列；
【解答】当n≥2，n∈N* 时，由a＝2anSn－1，得(Sn－Sn－1)2＝2(Sn－Sn－1)Sn－1，即S－S＝1，所以数列{S}是等差数列．
(2) 设数列的前n项和为Tn，求证：T100>18.
【解答】由S＝2S1S1－1，得S＝1，由(1)可知数列{S} 是等差数列，且公差为1，所以S＝1＋(n－1)·1＝n.又因为数列{an}是正项数列，所以Sn＝，即＝＝>＝2(－)，故T100>2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1)>2(－1)＝18.
4. (2025·武汉期末)设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1) 求数列的通项公式．
【解答】由Sn＝2an－2①，当n＝1时，S1＝2a1－2，即a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2②， ①－②得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1，所以＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
(2) 令bn＝，设Tn为数列的前n项和，是否存在常数t，使Tn＜t对n∈N*恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．
【解答】由an＝2n，可得an＋1＝2n+1，Sn＝2(2n－1)，则bn＝＝＝＝，故Tn＝＋＋…＋＝.由于Tn单调递增，可得T1≤Tn＜，即≤Tn＜，则存在常数t，使Tn＜t对n∈N*恒成立，且t≥，故t的最小值为.
5. 记正项数列{an}的前n 项积为Tn，且＝1－.
(1) 求证：数列{Tn}是等差数列；
【解答】由题意得Tn＝a1a2·…·an，当n≥2 时，可得Tn－1＝a1a2·…·an－1，则＝an(n≥2).因为＝1－，所以＝1－(n≥2)，即Tn－Tn－1＝4(n≥2).当n＝1 时，可得T1＝a1，所以＝1－，解得T1＝5，所以数列{Tn}是以5为首项，4 为公差的等差数列．
(2) 记bn＝(－1)n·，求数列{bn} 的前2n 项和S2n .
【解答】由(1)可得Tn＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，所以bn＝(－1)n·＝(－1)n·＝(－1)n·(＋)，所以S2n＝－(＋)＋(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝－＋＝－.微专题3 裂项相消法
典例剖析素养初现
探究1 等差型裂项求和
例1 (2025·厦门期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，a2a3＝28.
(1) 求an和Sn；
(2) 令bn＝，证明：b1＋b2＋…＋bn＜.
常见的裂项技巧：
(1) ＝，特别地，当k＝1时，＝－；
(2) ＝＝·；
(3) ＝.
变式 已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，a5＝2a2，S3＝a.
(1) 求数列{an} 的通项公式；
(2) 求证：＋＋＋…＋<1(n∈N*).
探究2 无理型裂项求和
例2 若数列{an}满足a1＝1，＝an＋1.
(1) 求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；
(2) 若bn＝，求数列{bn}的前n项和．
含有无理式常见的裂项有：
(1) ＝(－)，特别地，当k＝1时，＝－.
(2) ＝－等．
在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
变式 设数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )
A. 120 B. 99
C. 11 D. 121
探究3 指数型裂项求和
例3 (2025·洛阳期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an＋1＞an，a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，{an}的前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 设cn＝，求数列的前n项和Tn.
此类常见的形式有：
(1) ＝－，＝；
(2) ＝－；
(3) ＝－.
探究4 通项裂项为“＋”型求和
例4 已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋an＋b，a1＝3，数列{bn}的前n项和Tn＝bn，b1＝2.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 令cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Pn.
(1) (－1)n·＝(－1)n；
(2) (－1)n＝(－1)n.
随堂内化及时评价
1. 在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋lg ，则a100的值为( )
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
2. ＋＋＋…＋的值为( )
A.
B. －
C. －
D. －＋
3. (多选)已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，则数列的前n项和Sn的值可能是( )
A. B.
C. D.
4. 已知数列{an}满足a1＝，且＝.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
配套新练案
1. 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝，n∈N*，Sn是数列{bn}的前n项和，求使Sn<成立的最大的正整数n.
2. 已知公差不为零的等差数列{an}满足a2＝3，且a1，a3，a7 成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}满足bn＝，{bn}的前n 项和为Sn，求证：Sn<.
3. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足a＝2anSn－1.
(1) 求证：数列{S}是等差数列；
(2) 设数列的前n项和为Tn，求证：T100>18.
4. (2025·武汉期末)设数列的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2.
(1) 求数列的通项公式．
(2) 令bn＝，设Tn为数列的前n项和，是否存在常数t，使Tn＜t对n∈N*恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．
5. 记正项数列{an}的前n 项积为Tn，且＝1－.
(1) 求证：数列{Tn}是等差数列；
(2) 记bn＝(－1)n·，求数列{bn} 的前2n 项和S2n .(共36张PPT)
第四章
数列
微专题3 裂项相消法
典例剖析 素养初现
(2025·厦门期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，a2a3＝28.
(1) 求an和Sn；
1
等差型裂项求和
【解答】
探究
1
【解答】
(2025·厦门期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝12，a2a3＝28.
1
常见的裂项技巧：
【解答】
变式
【解答】
变式
2
无理型裂项求和
【解答】
探究
2
【解答】
2
含有无理式常见的裂项有：
【解析】
变式
A
(2025·洛阳期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an＋1＞an，a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，{an}的前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
3
指数型裂项求和
【解答】
探究
3
【解答】
(2025·洛阳期末)已知等比数列{an}和等差数列{bn}满足：an＋1＞an，a1＝b1＝1，a2＝b2，3a3＝4b3，{an}的前n项和为Sn.
3
此类常见的形式有：
4
通项裂项为“＋”型求和
【解答】
探究
4
【解答】
4
随堂内化 及时评价
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
CD
【解答】
【解答】
配套新练案
1. 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
设数列{an}的公差为d，则an＝2＋(n－1)d，n∈N*，由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，即(3＋d)2＝3(3＋3d)，解得d＝0(舍去)或d＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.
【解答】
1. 已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列．
2. 已知公差不为零的等差数列{an}满足a2＝3，且a1，a3，a7 成等比数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
【解答】
2. 已知公差不为零的等差数列{an}满足a2＝3，且a1，a3，a7 成等比数列．
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
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