微专题4 数列的重构问题
典例剖析素养初现
探究1 公共项问题
例1 (1) (2025·泰安期末)已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为(B )
A. 750 B. 800
C. 850 D. 832
【解析】数列1，3，5，7，9，…，99是首项a1＝1，公差d1＝2的等差数列，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d1＝1＋2(n－1)＝2n－1. 数列2，5，8，11，…，101是首项b1＝2，公差d2＝3的等差数列，其通项公式为bm＝b1＋(m－1)d2＝2＋3(m－1)＝3m－1.设an＝bm，即2n－1＝3m－1，化简可得2n＝3m.因为n，m为正整数，所以m必须是2的倍数，设m＝2t(t∈N*). 将m＝2t代入bm的通项公式，可得b2t＝3×2t－1＝6t－1，所以新数列的通项公式为ct＝6t－1. 当t＝1时，c1＝6×1－1＝5，所以新数列首项为5，新数列的公差d＝6.令ct≤99，即6t－1≤99，6t≤100，t≤≈16.67.因为t为正整数，所以t最大取16，即新数列有16项. 根据等差数列求和公式Sn＝，这里n＝16，c1＝5，c16＝6×16－1＝95，则S16＝＝800.
(2) (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则(BC )
A. an＝5n
B. an＝5n
C. {an}的前n项和为
D. {an}的前n项和为
【解析】 令4n＋1＝5m(n，m∈N*)，所以n＝＝＝∈N*(m＝2，3，…)，当m＝1时，n＝1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an＝5n(n＝1，2，3…)，所以{an}的前n项和为＝，故B，C正确，A，D错误．
在两个数列的公共项问题中，可以有两种方法：
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
探究2 增减项问题
例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6.
(1) 若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，因为3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝－n2＋(a1＋1)n.若数列{Sn}为递减数列，则Sn＋1－Sn＜0对于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)·n]＝a1－2n＜0在n∈N*上恒成立，则a1＜2n，所以a1＜(2n)min.又(2n)min＝2×1＝2，所以a1＜2，故a1的取值范围为(－∞，2).
(2) 若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95.
【解答】若a1＝1，则an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，根据题意，数列{bn}分组为第一组：1，20；第二组：－1，20，21；第三组：－3，20，21，22；…；第k组：－2k＋3，20，21，22，…，2k-1，则前k组一共有2＋3＋4＋…＋(k＋1)＝项．当k＝12时，项数为90，故T95相当于是前12组的和再加上－23，20，21，22，23这五项，即T95＝[1＋(－1)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)]＋(－23＋20＋21＋22＋23).设cn＝2n－1，则20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{cn}的前12项和，所以T95＝＋－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8 050.
探究3 计数问题
例3-1 (2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】因为Sn＝n2＋cn＋c，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋cn＋c－(n－1)2－c(n－1)－c＝2n－1＋c.因为{an}为等差数列，故a1＝S1＝1＋2c也符合上式，所以1＋c＝1＋2c，所以c＝0，所以an＝2n－1.
(2) 记bm为{an}在区间(0，2am](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式．
【解答】由题意知bm为{an}在区间(0，22m-1]中项的个数，令0＜2n－1≤22m-1，所以1≤n≤＝22m-2＋，n∈N*，所以1≤n≤22m-2，所以bm＝22m-2，所以bn＝22n-2＝4n-1.
例3-2 (2024·广东大湾区二模)已知数列{an}为等差数列，a1＝－4，前n项和为Sn，且满足：当n∈N*且n＜9时，S1＋＋…＋＝S1＋＋…＋.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】由S1＋＋…＋＝S1＋＋…＋，令n＝5，得＝0，即S5＝0，则＝0，即a1＋a5＝0，于是2a1＋4d＝0，而a1＝－4，解得d＝2，所以an＝2n－6.
(2) 定义集合Mn＝{ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10.
【解答】记Cn＝{i＋j|i，j∈N*且i，j≤n}，由于ai＋aj＝2(i＋j)－12，则Mn的元素个数即为Cn的元素个数，而Cn＝{2，3，4，…，2n}，共2n－1个元素，于是bn＝2n－1，所以T10＝＝100.
随堂内化及时评价
1. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为(A )
A. 1 666 B. 1 654
C. 1 472 D. 1 460
【解析】已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：2，14，26，38，50，…，182，194，共有＋1＝17项，它是公差为12的等差数列，故新数列前17项的和为×17＝1 666，即数列{an}的各项之和为1 666.
2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】 在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝3.因为2Sn＝3an－3，所以当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n.
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
【解答】因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项为 3，9，27，81，243，在数列{bn}的前105项中，这五项和为363.数列{bn}的前105项为3，6，9，…，27，…，81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695，所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，即T100＝16 695－363＝16 332.
配套新练案
1. 已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为(A )
A. 178 B. 191
C. 206 D. 216
【解析】对于数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，an，它有n＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝n＋＝n(n＋1)项．当n＝13时，×13×14＝91；当n＝14时，×14×15＝105.由于an＝n，所以{bn}的前100项和为S100＝(a1＋a2＋…＋a13)＋(100－13)×1＝＋87＝178.
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋3(n∈N*)，数列{bn}的前n项和Sn＝(n∈N*)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{cn}，则满足cn＜2 025的n的最大值为(D )
A. 340 B. 339
C. 338 D. 337
【解析】当n＝1时，b1＝S1＝5；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝3n＋2，它和数列{an}的公共项构成的新数列{cn}是首项为5，公差为6的等差数列，则cn＝6n－1.令cn＜2 025，可得n＜，所以n的最大值为337.
3. 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20等于(D )
A. 599 B. 569
C. 554 D. 568
【解析】因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1).又因为a1＋1＝2，所以＝2，则数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＋1＝2n，即an＝2n－1.因为bn＝2log2(1＋an)－1＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，即bn＝2n－1.显然{an}中的项均在{bn}中，又b1＝a1＝1，b16＝31，b25＝49.由an＝2n－1，得a5＝31，a6＝63，所以b16＝a5＝31，a5＜b25＜a6，从而c1＋c2＋…＋c20＝(b1＋b2＋…＋b25)－(a1＋a2＋…＋a5)＝－[(21＋22＋…＋25)－5]＝625－＋5＝568.
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】由题知an＞0，当n＝1时，4a1＝4S1＝(a1－1)·(a1＋3)，解得a1＝3.由4Sn＝(an－1)·(an＋3)(n∈N*)知，当n≥2时，4Sn－1＝(an－1－1)(an－1＋3)，作差得4an＝a－a＋2an－2an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因为an＋an－1＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an＝2n＋1.
(2) 将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和．
【解答】a50＝101，又26＜101＜27，同时a44＝89＞26，故b50＝a44，所以b1＋b2＋…＋b50＝(a1＋a2＋…＋a44)＋(21＋22＋…＋26)＝(a1＋a44)＋＝2 150.
5. (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1) 求证：a1＝b1；
【解答】设等差数列{an}的公差为d，则解得b1＝a1＝，得证．
(2) 求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
【解答】由(1)知，b1＝a1＝，所以bk＝am＋a1 b1×2k-1＝a1＋(m－1)d＋a1，即2k-1＝2m，亦即m＝2k-2∈[1，500]，解得2≤k≤10，所以k＝2，3，4，…，10，故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9.
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2) 保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前150项和T150.
【解答】在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，可知ak(k≥2)在数列{bn}中对应的项数n＝k＋20＋21＋…＋2k-2＝k＋＝2k-1＋k－1.当k＝8时，n＝27＋7＝135，即a8＝b135；当k＝9时，n＝28＋8＝264，即a9＝b264.由题意可知b136＝b137＝…＝b150＝3，所以T150＝S8＋3×(150－8)＝＋426＝490.
7. 设各项都不为0的数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝2·an，a1＝2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】因为Tn＝2·an，当n≥2时，Tn－1＝2·an－1，两式相除可得an＝.因为an≠0，所以an－1＝2n-1，又a1＝2符合上式，所以an＝2n.
(2) 保持数列{an}中的各项顺序不变，在每两项ak与ak＋1之间插入一项2(ak＋1－ak)(其中k＝1，2，3，…)，组成新的数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞2 025，求n的最小值．
【解答】依题得S2n＝a1＋2(a2－a1)＋a2＋2(a3－a2)＋…＋an＋2(an＋1－an)＝a1＋a2＋…＋an＋2(a2－a1＋a3－a2＋…＋an＋1－an)＝a1＋a2＋…＋an＋2(an＋1－a1)＝a1＋a2＋…＋an＋2an＋1－2a1＝＋2n+2－4＝3·2n+1－6，易知{S2n}随着n的增大而增大．当n＝8时，S16＝3×28+1－6＝1 530＜2 025；当n＝9时，S18＝3×29+1－6＝3 066＞2 025.而S17＝S16＋b17＝S16＋a9＝1 530＋512＝2 042＞2 025，综上，n的最小值为17.微专题4 数列的重构问题
典例剖析素养初现
探究1 公共项问题
例1 (1) (2025·泰安期末)已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为( )
A. 750 B. 800
C. 850 D. 832
(2) (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则( )
A. an＝5n
B. an＝5n
C. {an}的前n项和为
D. {an}的前n项和为
在两个数列的公共项问题中，可以有两种方法：
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
探究2 增减项问题
例2 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6.
(1) 若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围；
(2) 若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95.
探究3 计数问题
例3-1 (2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 记bm为{an}在区间(0，2am](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式．
例3-2 (2024·广东大湾区二模)已知数列{an}为等差数列，a1＝－4，前n项和为Sn，且满足：当n∈N*且n＜9时，S1＋＋…＋＝S1＋＋…＋.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 定义集合Mn＝{ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10.
随堂内化及时评价
1. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为( )
A. 1 666 B. 1 654
C. 1 472 D. 1 460
2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
配套新练案
1. 已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为( )
A. 178 B. 191
C. 206 D. 216
2. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋3(n∈N*)，数列{bn}的前n项和Sn＝(n∈N*)，若这两个数列的公共项顺次构成一个新数列{cn}，则满足cn＜2 025的n的最大值为( )
A. 340 B. 339
C. 338 D. 337
3. 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20等于( )
A. 599 B. 569
C. 554 D. 568
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和．
5. (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1) 求证：a1＝b1；
(2) 求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前150项和T150.
7. 设各项都不为0的数列{an}的前n项积为Tn，Tn＝2·an，a1＝2.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 保持数列{an}中的各项顺序不变，在每两项ak与ak＋1之间插入一项2(ak＋1－ak)(其中k＝1，2，3，…)，组成新的数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞2 025，求n的最小值．(共30张PPT)
第四章
数列
微专题4 数列的重构问题
典例剖析 素养初现
(1) (2025·泰安期末)已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ( )
A. 750 B. 800
C. 850 D. 832
1
公共项问题
探究
1
【答案】B
【解析】
【解析】
BC
在两个数列的公共项问题中，可以有两种方法：
(1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式；
(2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．
已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6.
(1) 若数列{Sn}为递减数列，求a1的取值范围；
2
增减项问题
【解答】
设等差数列{an}的公差为d，因为3a2＋2a3＝S5＋6，所以3(a1＋d)＋2(a1＋2d)＝5a1＋10d＋6，解得d＝－2，所以Sn＝－n2＋(a1＋1)n.若数列{Sn}为递减数列，则Sn＋1－Sn＜0对于n∈N*恒成立，所以Sn＋1－Sn＝[－(n＋1)2＋(a1＋1)(n＋1)]－[－n2＋(a1＋1)·n]＝a1－2n＜0在n∈N*上恒成立，则a1＜2n，所以a1＜(2n)min.又(2n)min＝2×1＝2，所以a1＜2，故a1的取值范围为(－∞，2).
探究
2
(2) 若a1＝1，在数列{an}的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Tn，求T95.
【解答】
已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且3a2＋2a3＝S5＋6.
2
(2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R.
(1) 求数列{an}的通项公式；
计数问题
【解答】
因为Sn＝n2＋cn＋c，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋cn＋c－(n－1)2－c(n－1)－c＝2n－1＋c.因为{an}为等差数列，故a1＝S1＝1＋2c也符合上式，所以1＋c＝1＋2c，所以c＝0，所以an＝2n－1.
探究
3
3－1
(2) 记bm为{an}在区间(0，2am](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式．
【解答】
(2024·常州期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R.
3－1
【解答】
3－2
(2) 定义集合Mn＝{ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10.
【解答】
3－2
随堂内化 及时评价
【解析】
1. 已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的各项之和为 ( )
A. 1 666 B. 1 654 C. 1 472 D. 1 460
A
【解答】
在2Sn＝3an－3中，令n＝1，得a1＝3.因为2Sn＝3an－3，所以当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－3，两式相减得2an＝3an－3an－1，所以an＝3an－1，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n.
2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知数列{bn}满足bn＝3n，在数列{bn}中剔除属于数列{an}的项，并且把剩余的项从小到大排列构成新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和T100.
【解答】
因为bn＝3n，所以数列{an}中的项都在数列{bn}中．数列{an}的前5项为 3，9，27，81，243，在数列{bn}的前105项中，这五项和为363.数列{bn}的前105项为3，6，9，…，27，…，81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3＝16 695，所以数列{cn}的前100项和为数列{bn}的前105项和减去3，9，27，81，243的和，即T100＝16 695－363＝16 332.
2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－3.
配套新练案
1. 已知数列{an}满足an＝n，在an，an＋1之间插入n个1，构成数列{bn}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，…，则数列{bn}的前100项和为 ( )
A. 178 B. 191 C. 206 D. 216
A
【解析】
【解析】
D
3. 已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20等于 ( )
A. 599 B. 569
C. 554 D. 568
【解析】
【答案】D
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
(2) 将数列{an}和数列{2n}中所有的项按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和．
【解答】
4. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(an－1)(an＋3)(n∈N*).
5. (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
(1) 求证：a1＝b1；
【解答】
(2) 求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数．
【解答】
5. (2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】
设等差数列{an}的公差为d.由S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2) 保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的前150项和T150.
【解答】
6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.
【解答】
(2) 保持数列{an}中的各项顺序不变，在每两项ak与ak＋1之间插入一项2(ak＋1－ak)(其中k＝1，2，3，…)，组成新的数列{bn}，记数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞2 025，求n的最小值．
【解答】
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