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第五章
一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
第2课时 导数的概念
学习 目标 1. 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达．
2. 通过应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.
新知初探 基础落实
f′(x0)
( )
(2) y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率就是y＝f(x)在x＝x0处的导数． ( )
(3) 函数f(x)＝2x＋1在区间[1，3]上的平均变化率为2. ( )
(4) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上的平均变化率为0，则函数f(x)在(a，b)上是常函数． ( )
(5) 函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的几何意义即为过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的斜率． ( )
×
√
√
×
√
典例精讲 能力初成
1
求函数的平均变化率
【解答】
探究
1
(2) [－4，－2]；
【解答】
(3) [x0，x0＋Δx].
【解答】
1
求函数平均变化率的步骤：
(1) 先计算函数值的变化量Δy＝f(x1)－f(x0)；
(2) 再计算自变量的变化量Δx＝x1－x0；
函数f(x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为 ( )
A. 2x0－1 B. 2x0＋Δx
C. 2x0Δx＋(Δx)2 D. (Δx)2－Δx＋1
【解析】
变式
B
2
求函数某点处的导数
【解答】
探究
2
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
(1) 求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
【解析】
变式
D
(教材P66例3补充)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2时的瞬时变化率，并解释它的实际意义．
3
导数的实际意义
【解答】
探究
3
解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．
随堂内化 及时评价
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
由导数的意义知s′(4)＝10表示物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s.
3. 已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)，则s′(4)＝10表示的意义是 ( )
A. 经过4 s后物体前进了10 m
B. 物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C. 物体在第4秒内前进了10 m
D. 物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s
D
【解析】
A
【解析】
5. 设函数f(x)在x＝x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则 ( )
A. f(x)＝a B. f(x)＝b
C. f′(x0)＝a D. f′(x0)＝b
C
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为 ( )
A. 0.40 B. 0.41
C. 0.43 D. 0.44
B
【解析】
因为x0＝2，Δx＝0.1，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
【解析】
D
【解析】
C
A
【解析】
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝t2x，若f′(1) ＝4，则t的值可以是 ( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】
AD
【解析】
AD
【解析】
－3
8. 函数f(x)＝x3在x＝0处的导数为___.
0
【解析】
9. 已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝______.
－1
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
谢谢观赏第2课时 导数的概念
学习 目标 1. 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达． 2. 通过应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.
新知初探基础落实
一、 概念表述
导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫作y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作__f′(x0)_，即f′(x0)＝ ＝ .
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率＝中，Δx一定是正数．( × )
(2) y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率就是y＝f(x)在x＝x0处的导数．( √ )
(3) 函数f(x)＝2x＋1在区间[1，3]上的平均变化率为2. ( √ )
(4) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上的平均变化率为0，则函数f(x)在(a，b)上是常函数．( × )
(5) 函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的几何意义即为过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的斜率．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝－x2，求它在下列区间上的平均变化率.
(1) [1，3]；
【解答】函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝＝＝－.
(2) [－4，－2]；
【解答】函数f(x)在区间[－4，－2]上的平均变化率为＝＝＝.
(3) [x0，x0＋Δx].
【解答】函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝－2x0－Δx.
求函数平均变化率的步骤：
(1) 先计算函数值的变化量Δy＝f(x1)－f(x0)；
(2) 再计算自变量的变化量Δx＝x1－x0；
(3) 最后求平均变化率＝.
变式 函数f(x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为( B )
A. 2x0－1
B. 2x0＋Δx
C. 2x0Δx＋(Δx)2
D. (Δx)2－Δx＋1
【解析】 根据定义知，其平均变化率为＝＝2x0＋Δx.
探究2 求函数某点处的导数
例2 (教材P65例1补充)用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
【解答】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－＝
＝，
所以＝，所以当Δx无限趋近于0时，无限趋近于－，所以f′(1)＝－.
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
(1) 求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2) 求平均变化率＝；
(3) 求极限 .
变式 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为( D )
A. －2 B. －
C. D. 2
【解析】由题知 ＝－ ＝－a，即－a＝1－a，解得a＝2.
探究3 导数的实际意义
例3 (教材P66例3补充)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2时的瞬时变化率，并解释它的实际意义．
【解答】当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3(2＋Δx)，函数值y关于x的瞬时变化率为＝＝＝3(m3/s).当Δx趋于0时，瞬时变化率总是3，所以f′(2)＝3 m3/s.导数f′(2)表示当x＝2 s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是说，如果水管中的水保持以x＝2 s时的瞬时速度流动的话，每经过1 s，水管中流过的水量为3 m3.
解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)，当自变量增加Δx时，函数值增加Δy，则等于( B )
A. 4 B. 4＋2Δx
C. 4＋2(Δx)2 D. 4x
【解析】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝4＋2Δx.
2. (2025·淮安期末)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝，则f′(x0)等于( B )
A. B.
C. 1 D.
【解析】由 ＝ f′(x0)＝.
3. 已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)，则s′(4)＝10表示的意义是( D )
A. 经过4 s后物体前进了10 m
B. 物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C. 物体在第4秒内前进了10 m
D. 物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s
【解析】由导数的意义知s′(4)＝10表示物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s.
4. 已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( A )
A. ±2 B. 2
C. －2 D. －4
【解析】 由f′(m)＝＝－，得－＝－，即m2＝4，解得m＝±2.
5. 设函数f(x)在x＝x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( C )
A. f(x)＝a B. f(x)＝b
C. f′(x0)＝a D. f′(x0)＝b
【解析】 因为f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，所以＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝ ＝ (a＋bΔx)＝a.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( B )
A. 0.40 B. 0.41
C. 0.43 D. 0.44
【解析】因为x0＝2，Δx＝0.1，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
2. 函数f(x)＝在x＝2处的导数为( D )
A. 2 B.
C. D. －
【解析】 ＝ ＝ ＝－，所以函数f(x)在x＝2处的导数为－.
3. 设函数f(x)在x＝1处存在导数且为2，则 等于( C )
A. 2 B. 1
C. D. 6
【解析】根据题意，函数f(x)在x＝1处存在导数且为2，即f′(1)＝2，则 ＝× ＝×f′(1)＝.
4. 已知函数f＝ax2＋bx＋1(a≠0)在x＝0处的导数f′＞0，函数f的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为( A )
A. 2 B.
C. 3 D.
【解析】因为f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，所以f′(0)＝ ＝ (aΔx＋b)＝b＞0.因为函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，所以b2－4a＝0，即a＝，所以＝＝＋＋1≥2＋1＝2，当且仅当＝，即b＝2时等号成立，故的最小值为2.
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝t2x，若f′(1) ＝4，则t的值可以是( AD )
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
【解析】因为f′(1)＝ ＝t2＝4，所以t＝±2.
6. 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，下列式子中无限趋近于2的有( AD )
A.
B.
C.
D.
【解析】因为 ＝f′(x0)＝2，故A正确；因为 ＝f′(x0)＝1，故B错误；因为 ＝2f′(x0)＝4，故C错误；因为 ＝f′(x0)＝2，故D正确．
三、 填空题
7. 若f′(x0)＝2，则 ＝－3．
【解析】令t＝－3h，则 ＝－ ＝－ ＝－f′(x0)＝－×2＝－3.
8. 函数f(x)＝x3在x＝0处的导数为0.
【解析】 ＝ ＝ (Δx)2＝0.
9. 已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝－1.
【解析】因为f′(x0)＝
＝
＝ (6x0＋3Δx＋6)＝6x0＋6＝0，所以x0＝－1.
四、 解答题
10. 求函数f(x)＝ 在x＝x0(x0>－1)处的导数.
【解答】因为f(x)＝，所以f′(x0)＝
＝
＝
＝ ＝.
11. 建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义.
【解答】根据导数的定义，得f′(100)＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＋＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
12. 比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率的大小.
【解答】当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.当自变量从变到Δx＋时，函数的平均变化率为k2＝＝.由于是在x＝0和x＝附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负，当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.因为Δx＜0，且Δx→0，所以Δx－＜－，所以sin ＜－，所以sin ＜－1，sin ＋1＜0，所以k1－k2＞0，即k1＞k2.综上可知，正弦函数y＝sin x在x＝0附近的平均变化率大于在x＝附近的平均变化率.
13. 利用导数的定义求f(x)＝在x＝1处的导数．
【解答】Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－，所以＝，所以f′(1)＝ ＝ ＝ ＝.第2课时 导数的概念
学习 目标 1. 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达． 2. 通过应用导数的定义求函数在某点处的导数，提升数学运算素养.
新知初探基础落实
一、 概念表述
导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫作y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作___________，即f′(x0)＝ ＝ .
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率＝中，Δx一定是正数．( )
(2) y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率就是y＝f(x)在x＝x0处的导数．( )
(3) 函数f(x)＝2x＋1在区间[1，3]上的平均变化率为2. ( )
(4) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上的平均变化率为0，则函数f(x)在(a，b)上是常函数．( )
(5) 函数y＝f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的几何意义即为过(x1，f(x1))，(x2，f(x2))两点的直线的斜率．( )
典例精讲能力初成
探究1 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝－x2，求它在下列区间上的平均变化率.
(1) [1，3]；
(2) [－4，－2]；
(3) [x0，x0＋Δx].
求函数平均变化率的步骤：
(1) 先计算函数值的变化量Δy＝f(x1)－f(x0)；
(2) 再计算自变量的变化量Δx＝x1－x0；
(3) 最后求平均变化率＝.
变式 函数f(x)＝x2－1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为( )
A. 2x0－1
B. 2x0＋Δx
C. 2x0Δx＋(Δx)2
D. (Δx)2－Δx＋1
探究2 求函数某点处的导数
例2 (教材P65例1补充)用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤：
(1) 求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2) 求平均变化率＝；
(3) 求极限 .
变式 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a， ＝1－a，则实数a的值为( )
A. －2 B. －
C. D. 2
探究3 导数的实际意义
例3 (教材P66例3补充)一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2时的瞬时变化率，并解释它的实际意义．
解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．
随堂内化及时评价
1. 已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)，当自变量增加Δx时，函数值增加Δy，则等于( )
A. 4 B. 4＋2Δx
C. 4＋2(Δx)2 D. 4x
2. (2025·淮安期末)已知函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝，则f′(x0)等于( )
A. B.
C. 1 D.
3. 已知物体做直线运动的方程为s＝s(t)，则s′(4)＝10表示的意义是( )
A. 经过4 s后物体前进了10 m
B. 物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C. 物体在第4秒内前进了10 m
D. 物体在第4秒时的瞬时速度为10 m/s
4. 已知函数f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为( )
A. ±2 B. 2
C. －2 D. －4
5. 设函数f(x)在x＝x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A. f(x)＝a B. f(x)＝b
C. f′(x0)＝a D. f′(x0)＝b
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝x2＋1，则在x0＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A. 0.40 B. 0.41
C. 0.43 D. 0.44
2. 函数f(x)＝在x＝2处的导数为( )
A. 2 B.
C. D. －
3. 设函数f(x)在x＝1处存在导数且为2，则 等于( )
A. 2 B. 1
C. D. 6
4. 已知函数f＝ax2＋bx＋1(a≠0)在x＝0处的导数f′＞0，函数f的图象与x轴恰有一个交点，则的最小值为( )
A. 2 B.
C. 3 D.
二、 多项选择题
5. 设f(x)＝t2x，若f′(1) ＝4，则t的值可以是( )
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
6. 对于函数f(x)，若f′(x0)＝2，则当h无限趋近于0时，下列式子中无限趋近于2的有( )
A.
B.
C.
D.
三、 填空题
7. 若f′(x0)＝2，则 ＝___________．
8. 函数f(x)＝x3在x＝0处的导数为___________.
9. 已知函数f(x)＝3x2＋6x＋1，且f′(x0)＝0，则x0＝___________.
四、 解答题
10. 求函数f(x)＝ 在x＝x0(x0>－1)处的导数.
11. 建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是关于x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)的值，并解释它的实际意义.
12. 比较正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的平均变化率的大小.
13. 利用导数的定义求f(x)＝在x＝1处的导数．
