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第五章
一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
第3课时 导数的几何意义
学习 目标 1. 能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力．
2. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
3. 了解导函数的概念.
新知初探 基础落实
f′(x0)
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴夹角的正切值. ( )
(2) 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)一定存在． ( )
(3) 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处一定没有切线． ( )
(4) 曲线y＝f(x)的切线与曲线y＝f(x)的公共点可能不止一个. ( )
(5) 若函数f(x)在区间(a，b)内某处切线的斜率为0，则f(x)在(a，b)内是常函数.
( )
×
×
×
√
×
典例精讲 能力初成
1
与导数的几何意义有关的图象问题
探究
1
【答案】B
【解析】
(1) 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
变式
【答案】B
【解析】
已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
(1) 求它们的交点；
2
求曲线在某点处的切线方程
【解答】
探究
2
(2) 求抛物线在交点处的切线方程．
【解答】
已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
2
曲线f(x)在x＝x0处的导数就是曲线f(x)在x＝x0处的切线斜率. 若曲线f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝kx＋b，则满足f(x0)＝kx0＋b，k＝f′(x0).
【解答】
变式
已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1.
(1) 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
3
求切点坐标
【解答】
探究
3
(2) 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
【解答】
设抛物线在点(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y－2＝0，则切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，解得x0＝1，则y0＝2×12＋1＝3，故该点坐标为(1，3).
(3) 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
【解答】
设抛物线在点(x0，y0)处的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，解得x0＝2，则y0＝2×22＋1＝9，故该点坐标为(2，9).
已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1.
3
利用导数求切点坐标的解题步骤：
(1) 设切点坐标为(x0，y0)；
(2) 求导函数f′(x)；
(3) 求切线的斜率；
(4) 由切点处的导函数与斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5) 点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
若直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为_____，
切点坐标为__________.
【解析】
变式
(教材P69例5补充)某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，正方形铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形铁板的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数. 设此时正方形铁板的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃，10 ℃，100 ℃时正方形铁板面积的瞬时变化率.
4
导函数的概念
探究
4
【解答】
随堂内化 及时评价
【解析】
由导数的几何意义知，函数f(x)在(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合.
1. 设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A. 不存在 B. 与x轴平行或重合
C. 与x轴垂直 D. 与x轴斜交
B
2. 已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于 ( )
A. 4 B. －4
C. －2 D. 2
D
【解析】
如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线f(x)在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f′(x2)为曲线f(x)在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0>k1>k2，即f′(x1)>f′(x2).
3. 如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2＜x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是 ( )
A. f′(x1)＞f′(x2) B. f′(x1)＜f′(x2)
C. f′(x1)＝f′(x2) D. 不能确定
A
【解析】
由f′(－1)＝－3知，切线斜率为－3，故切线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
4. 若函数f(x)在点A(－1，2)处的导数是－3，则在点A处的切线方程是______________．
3x＋y＋1＝0
【解析】
5. 若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则该切点坐标为___________．
(2，－2)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则 ( )
A. f′(x0)>0 B. f′(x0)＝0
C. f′(x0)<0 D. f′(x0)不存在
C
【解析】
根据导数的几何意义，f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．因为切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.
2. 若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)等于 ( )
A. 0 B. －3x
C. 3 D. －3
D
【解析】
【解析】
B
4. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则 ( )
A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1
C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1
A
【解析】
二、 多项选择题
5. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标可能是 ( )
A. (1，1) B. (－1，1)
C. (－1，－1) D. (2，8)
AC
【解析】
6. 若函数y＝f(x)的导函数在区间(a，b)(0＜a＜b)上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不可能是 ( )
BCD
【解析】
依题意，y＝f′(x)在(a，b)上单调递增，则在函数f(x)的图象上，各点处的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A项满足，B，C，D项均不满足.
三、 填空题
7. 设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为__________.
【解析】
(1，0)
【解析】
【解析】
5
3
【解答】
【解答】
(2) 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)上的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
【解答】
【解析】
【解析】
3
3
【解析】
(2，3)
－5
谢谢观赏第3课时 导数的几何意义
学习 目标 1. 能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力． 2. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3. 了解导函数的概念.
新知初探基础落实
一、 概念表述
在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))，即当Δx→0(Δx＝x－x0)时，割线P0P的斜率k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝__f′(x0)_．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴夹角的正切值. ( × )
(2) 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)一定存在．( × )
(3) 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处一定没有切线．( × )
(4) 曲线y＝f(x)的切线与曲线y＝f(x)的公共点可能不止一个. ( √ )
(5) 若函数f(x)在区间(a，b)内某处切线的斜率为0，则f(x)在(a，b)内是常函数. ( × )
典例精讲能力初成
探究1 与导数的几何意义有关的图象问题
例1 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( B )
A. a
B. f′(2)C. f′(4)D. f′(2)(例1)
【解析】根据题意，如图，设点M(2，f(2))，N(4，f(4))，则f′(2)为曲线在点M处切线的斜率，f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，故a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)(例1答)
(1) 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
变式 (2025·温州期末)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是( B )
A. ＜f′(1)＜f′(3)
B. f′(3)＜＜f′(1)
C. f′(3)＜f′(1)＜
D. f′(1)＜＜f(3)
(变式)
【解析】根据导数的几何意义，由题图可知，f′(1)，f′(3)分别表示在点A(1，f(1))，B(3，f(3))处切线的斜率．又kAB＝＝，由图可知f′(3)＜＜f′(1).
(变式答)
探究2 求曲线在某点处的切线方程
例2 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
(1) 求它们的交点；
【解答】联立解得或所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13).
(2) 求抛物线在交点处的切线方程．
【解答】因为y＝x2＋4，＝＝＝Δx＋2x，所以 ＝2x，所以y′|x＝－2＝－4，y′|x＝3＝6，即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6.所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0，在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0.
曲线f(x)在x＝x0处的导数就是曲线f(x)在x＝x0处的切线斜率. 若曲线f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝kx＋b，则满足f(x0)＝kx0＋b，k＝f′(x0).
变式 求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程.
【解答】 由导数的几何意义可知，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数. 而f′(－2)＝ ＝ ＝ ＝－，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
探究3 求切点坐标
例3 已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1.
(1) 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
【解答】设抛物线上一点的坐标为(x0，y0)，因为f(x)＝2x2＋1，所以＝＝4x＋2Δx，所以f′(x)＝ (4x＋2Δx)＝4x，所以f′(x0)＝4x0.
(1) 设抛物线在点(x0，y0)处的切线的倾斜角为45°，则斜率为tan 45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，解得x0＝，则y0＝2×＋1＝，故该点坐标为.
(2) 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
【解答】设抛物线在点(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y－2＝0，则切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，解得x0＝1，则y0＝2×12＋1＝3，故该点坐标为(1，3).
(3) 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
【解答】设抛物线在点(x0，y0)处的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，解得x0＝2，则y0＝2×22＋1＝9，故该点坐标为(2，9).
利用导数求切点坐标的解题步骤：
(1) 设切点坐标为(x0，y0)；
(2) 求导函数f′(x)；
(3) 求切线的斜率；
(4) 由切点处的导函数与斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5) 点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
变式 若直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为___，切点坐标为____.
【解析】设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ ＝ ＝ ＝ [3x＋3x0Δx＋(Δx)2－2x0－Δx]＝3x－2x0.
由题意可知f′(x0)＝3x－2x0＝1，解得x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，f(x0)＝x－x＋1＝1.又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，f(x0)＝1代入得a＝0，与已知条件矛盾，不合题意，舍去．当x0＝－时，f(x0)＝3－2＋1＝.将代入直线y＝x＋a中，得a＝.
探究4 导函数的概念
例4 (教材P69例5补充)某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，正方形铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形铁板的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数. 设此时正方形铁板的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃，10 ℃，100 ℃时正方形铁板面积的瞬时变化率.
【解答】依题意可知f(t)＝[10(1＋at)]2＝100·(1＋at)2.设t＝t0时温度的改变量为Δt，则＝＝＝200a＋100a2Δt＋200a2t0.可得f′(0)＝ ＝ (200a＋100a2Δt＋200a2t0)＝200a, f′(10)＝ ＝ (200a＋100a2Δt＋2 000a2)＝200a＋2 000a2，f′(100)＝ ＝ (200a＋100a2Δt＋20 000a2)＝200a＋20 000a2，所以在0 ℃，10 ℃，100 ℃时，正方形铁板面积对温度的瞬时变化率分别为200a，200a＋2 000a2，200a＋20 000a2.
随堂内化及时评价
1. 设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A. 不存在
B. 与x轴平行或重合
C. 与x轴垂直
D. 与x轴斜交
【解析】 由导数的几何意义知，函数f(x)在(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合.
2. 已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( D )
A. 4 B. －4
C. －2 D. 2
3. 如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2＜x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是( A )
(第3题)
A. f′(x1)＞f′(x2) B. f′(x1)＜f′(x2)
C. f′(x1)＝f′(x2) D. 不能确定
【解析】 如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线f(x)在点A处切线的斜率，设该斜率为k1，f′(x2)为曲线f(x)在点B处切线的斜率，设该斜率为k2，由图象可得0>k1>k2，即f′(x1)>f′(x2).
(第3题答)
4. 若函数f(x)在点A(－1，2)处的导数是－3，则在点A处的切线方程是__3x＋y＋1＝0_．
【解析】 由f′(－1)＝－3知，切线斜率为－3，故切线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
5. 若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则该切点坐标为__(2，－2)_．
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝ ＝ ＝2x0－3＝1，解得x0＝2，则y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( C )
A. f′(x0)>0 B. f′(x0)＝0
C. f′(x0)<0 D. f′(x0)不存在
【解析】根据导数的几何意义，f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．因为切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.
2. 若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)等于( D )
A. 0 B. －3x
C. 3 D. －3
【解析】f′(x)＝ ＝ ＝ (－3)＝－3.
3. 已知曲线y＝x2－2上一点P，则此曲线在点P处的切线的倾斜角为( B )
A. 30° B. 45°
C. 135° D. 165°
【解析】因为y＝x2－2，所以y′＝ ＝ ＝x，所以曲线在点P处的切线的斜率为1，所以曲线在点P处的切线的倾斜角为45°.
4. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A )
A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1
C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1
【解析】根据题意，得切线的斜率k＝ ＝1，所以a＝1.又因为点(0，b)在切线上，所以b＝1.
二、 多项选择题
5. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标可能是( AC )
A. (1，1) B. (－1，1)
C. (－1，－1) D. (2，8)
【解析】因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).
6. 若函数y＝f(x)的导函数在区间(a，b)(0＜a＜b)上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不可能是( BCD )
A B
C D
【解析】依题意，y＝f′(x)在(a，b)上单调递增，则在函数f(x)的图象上，各点处的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A项满足，B，C，D项均不满足.
三、 填空题
7. 设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为__ (1，0)_.
【解析】设点M(x0，y0)，k＝ ＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，得x0＝1，则y0＝0.故点M的坐标为(1，0).
8. 已知函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的方程为__y＝－x＋1_．
【解析】因为f′(2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－，又f(2)＝，所以所求切线方程为y－＝－(x－2)，即y＝－x＋1.
9. 已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝__5_，m＝__3_．
【解析】由题意知m＝a＋2，1＋m＝b，因为f′(1)＝ ＝ ＝a－2，所以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a－2.由a－2＝－1，得a＝1，故m＝3，b＝4，a＋b＝5.
四、 解答题
10. 设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程为y＝x，求a，b的值.
【解答】因为＝
＝
＝，所以 ＝＝，解得a＝2或a＝－(舍去). 将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1，所以a＝2，b＝－1.
11. (1) 已知曲线y＝上一点P(1，1)，用导数的定义求在点P处的切线的斜率．
【解答】 ＝
＝ ＝
＝ ＝－2.
(2) 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)上的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
【解答】因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，所以 ＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2＝3x＋2ax0－9，即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，所以f′(x0)＝3－9－.当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.因为斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，所以该切线斜率为－12，所以－9－＝－12，解得a＝±3.又因为a<0，所以a＝－3.
12. 被誉为“数学之神”的阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝x2交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为___．
(第12题)
【解析】由题意知点A(4，4)，B(－4，4)，因为y＝x2，所以f′(x0)＝ ＝x0，所以在点A处的切线斜率为2，切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4.同理可得，在点B处的切线方程为y＝－2x－4.所以弦AB与两条切线所围成的三角形面积为×8×8＝32，所以弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为×32＝.
13. 已知函数f＝ax2＋1，g＝x3＋bx，若曲线y＝f与曲线y＝g在它们的交点(1，c)处具有公共切线，则a＝__3_，b＝__3_．
【解析】因为f′(x)＝ ＝ ＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.因为g′(x)＝ ＝ ＝3x2＋b，所以g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.因为在交点(1，c)处有公共切线，所以2a＝3＋b，又a＋1＝1＋b，即a＝b，所以a＝b＝3.
14. 已知直线y＝4x＋a和曲线f(x)＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为__(2，3)_，实数a＝__－5_.
【解析】设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，则f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x，故k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2.当x0＝－时，y0＝f＝；当x0＝2时，y0＝f(2)＝3.切点坐标为或(2，3).当切点为时，有＝4×＋a，解得a＝(舍去).当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5，因此a＝－5.第3课时 导数的几何意义
学习 目标 1. 能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力． 2. 根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 3. 了解导函数的概念.
新知初探基础落实
一、 概念表述
在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))，即当Δx→0(Δx＝x－x0)时，割线P0P的斜率k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝_____________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴夹角的正切值. ( )
(2) 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)一定存在．( )
(3) 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处一定没有切线．( )
(4) 曲线y＝f(x)的切线与曲线y＝f(x)的公共点可能不止一个. ( )
(5) 若函数f(x)在区间(a，b)内某处切线的斜率为0，则f(x)在(a，b)内是常函数. ( )
典例精讲能力初成
探究1 与导数的几何意义有关的图象问题
例1 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A. aB. f′(2)C. f′(4)D. f′(2)(例1)
(1) 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．
(2) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
变式 (2025·温州期末)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是( )
A. ＜f′(1)＜f′(3)
B. f′(3)＜＜f′(1)
C. f′(3)＜f′(1)＜
D. f′(1)＜＜f(3)
(变式)
探究2 求曲线在某点处的切线方程
例2 已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.
(1) 求它们的交点；
(2) 求抛物线在交点处的切线方程．
曲线f(x)在x＝x0处的导数就是曲线f(x)在x＝x0处的切线斜率. 若曲线f(x)在x＝x0处的切线方程为y＝kx＋b，则满足f(x0)＝kx0＋b，k＝f′(x0).
变式 求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程.
探究3 求切点坐标
例3 已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1.
(1) 抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？
(2) 抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0
(3) 抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0
利用导数求切点坐标的解题步骤：
(1) 设切点坐标为(x0，y0)；
(2) 求导函数f′(x)；
(3) 求切线的斜率；
(4) 由切点处的导函数与斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5) 点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
变式 若直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为_____________.
探究4 导函数的概念
例4 (教材P69例5补充)某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，正方形铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形铁板的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数. 设此时正方形铁板的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃，10 ℃，100 ℃时正方形铁板面积的瞬时变化率.
随堂内化及时评价
1. 设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A. 不存在
B. 与x轴平行或重合
C. 与x轴垂直
D. 与x轴斜交
2. 已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于( )
A. 4 B. －4
C. －2 D. 2
3. 如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2＜x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是( )
(第3题)
A. f′(x1)＞f′(x2) B. f′(x1)＜f′(x2)
C. f′(x1)＝f′(x2) D. 不能确定
4. 若函数f(x)在点A(－1，2)处的导数是－3，则在点A处的切线方程是_____________．
5. 若曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则该切点坐标为____________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A. f′(x0)>0 B. f′(x0)＝0
C. f′(x0)<0 D. f′(x0)不存在
2. 若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)等于( )
A. 0 B. －3x
C. 3 D. －3
3. 已知曲线y＝x2－2上一点P，则此曲线在点P处的切线的倾斜角为( )
A. 30° B. 45°
C. 135° D. 165°
4. 若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1
C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1
二、 多项选择题
5. 已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标可能是( )
A. (1，1) B. (－1，1)
C. (－1，－1) D. (2，8)
6. 若函数y＝f(x)的导函数在区间(a，b)(0＜a＜b)上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不可能是( )
A B
C D
三、 填空题
7. 设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为____________.
8. 已知函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的方程为______________．
9. 已知直线x＋y＝b是函数f(x)＝ax＋的图象在点(1，m)处的切线，则a＋b＝_____________，m＝____________．
四、 解答题
10. 设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程为y＝x，求a，b的值.
11. (1) 已知曲线y＝上一点P(1，1)，用导数的定义求在点P处的切线的斜率．
(2) 设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)上的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
12. 被誉为“数学之神”的阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝4与抛物线C：y＝x2交于A，B两点，则弦与拋物线C所围成的封闭图形的面积为_______________．
(第12题)
13. 已知函数f＝ax2＋1，g＝x3＋bx，若曲线y＝f与曲线y＝g在它们的交点(1，c)处具有公共切线，则a＝_____________，b＝______________．
14. 已知直线y＝4x＋a和曲线f(x)＝x3－2x2＋3相切，则切点坐标为_______________，实数a＝_______________.