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第五章
一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
第1课时 基本初等函数的导数
学习 目标 1. 能根据导数的定义求出一些常用函数的导数．
2. 能利用导数公式计算基本初等函数的导数．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝_________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝__________
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝__________(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝_____
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝_________(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝________
0
αxα-1
cos x
－sin x
ax ln a
ex
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
×
√
√
×
典例精讲 能力初成
(教材P75例1补充)求下列函数的导数：
1
利用公式求导数
【解答】
探究
1
【解答】
【解答】
求函数的导数的常见类型及解题技巧：
(1) 对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．
(2) 对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．
(3) 对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．
(4) 对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
求下列函数的导数：
(1) y＝x-5；
【解答】
y′＝－5x-6.
变式
(2) y＝4x；
【解答】
y′＝4x ln 4.
【解答】
(3) y＝log3x；
【解答】
求下列函数的导数：
变式
2
求曲线的切线方程
【解答】
探究
2
(2) 求过点Q(1，0)的曲线的切线方程．
【解答】
2
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2) 如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，求实数k的值．
【解答】
变式
3
导数的实际应用
【解析】
探究
3
位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度．
随堂内化 及时评价
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
由f(x)＝cos x，得f′(x)＝－sin x，所以f′(0)＝0.
C
【解析】
【解析】
5. (多选)下列各式正确的是 ( )
CD
配套新练案
【解析】
C
2. 函数y＝3x在x＝2处的导数为 ( )
A. 9 B. 6 C. 9ln 3 D. 6ln 3
C
【解析】
因为y′＝(3x)′＝3x ln 3，所以所求导数为9ln 3.
【解析】
B
4. 已知曲线y＝x2在点P处的切线方程为y＝2x－1，则点P的坐标是 ( )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (1，1) D. (0，0)
C
【解析】
设切点坐标为(a，a2)，易得2a＝2，所以a＝1，故点P的坐标为(1，1).
【解析】
BCD
【解析】
ACD
三、 填空题
7. 某质点的运动方程是s＝t3(s的单位：m，t的单位：s)，则质点在t＝3时的瞬时速度是_____ m/s，质点在t＝3时的瞬时加速度是_____ m/s2.
【解析】
因为v＝s′＝3t2，则t＝3时的瞬时速度为v3＝3×32＝27(m/s).v′＝6t，则t＝3时的瞬时加速度为6×3＝18(m/s2).
27
18
【解析】
－2
【解析】
3x＋y－28＝0
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
【解答】
【解答】
【解答】
(4) y＝log3x；
【解答】
【解答】
10. 求下列函数的导数：
【解答】
【解答】
【解析】
C
【解答】
假设y＝ex具有性质P(m), 即 ex＋m＝－(ex)′对一切x恒成立，化简得ex＋m＝－ex，则em＝－1，显然不存在实数m使得em＝－1成立，所以假设错误，因此函数y＝ex不具有性质P(m).
【解答】
谢谢观赏第1课时 基本初等函数的导数
学习 目标 1. 能根据导数的定义求出一些常用函数的导数． 2. 能利用导数公式计算基本初等函数的导数．
新知初探基础落实
一、 概念表述
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__0_
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝__αxα-1_
f(x)＝sin x f′(x)＝__cos x_
f(x)＝cos x f′(x)＝__－sin x_
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝__ax ln a_ (a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝__ex_
f(x)＝logax(a＞0， 且a≠1) f′(x)＝___ (a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝___
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) ′＝cos . ( × )
(2) 若f(x)＝，则f′(3)＝－. ( √ )
(3) ′＝. ( √ )
(4) 若f(x)＝sin x，则f＝f′. ( × )
典例精讲能力初成
探究1 利用公式求导数
例1 (教材P75例1补充)求下列函数的导数：
(1) f(x)＝；
【解答】f(x)＝＝x，所以f′(x)＝x－.
(2) y＝；
【解答】y＝＝x－，所以y′＝－x－.
(3) y＝.
【解答】y＝＝，所以y′＝ ln .
求函数的导数的常见类型及解题技巧：
(1) 对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．
(2) 对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．
(3) 对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．
(4) 对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
变式 求下列函数的导数：
(1) y＝x-5；
【解答】y′＝－5x-6.
(2) y＝4x；
【解答】y′＝4x ln 4.
(3) y＝log3x；
【解答】y′＝.
(4) y＝sin .
【解答】因为y＝sin ＝cos x，所以y′＝－sin x.
探究2 求曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝.
(1) 求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
【解答】因为y＝，所以y′＝－.
(1) 显然P(1，1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在点P(1，1)处的导数，即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2) 求过点Q(1，0)的曲线的切线方程．
【解答】显然点Q(1，0)不在曲线y＝上，则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－，故切线方程为y－＝－(x－a)①.将点Q(1，0)代入方程得0－＝－(1－a)，解得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2) 如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
变式 已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，求实数k的值．
【解答】曲线y＝ln x的导数为y′＝，设切点为P(x0，ln x0)，则过点P的切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，将点(0，0)代入，得x0＝e，所以点P坐标为(e，1)，所以k＝.
探究3 导数的实际应用
例3 某质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为___，质点运动的加速度为__－_．
【解析】v(t)＝S′(t)＝cos t，所以v＝cos ＝，即质点在t＝时的速度为.因为v(t)＝cos t，所以加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t＝－.
位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度．
随堂内化及时评价
1. 若f(x)＝sin x，则f′等于( D )
A. － B. －
C. D.
【解析】因为f′(x)＝cos x，所以f′＝cos ＝.
2. 若f(x)＝，则f′(4) 等于( B )
A. － B.
C. 1 D. 3
【解析】因为f′(x)＝，所以f′(4)＝.
3. 若f(x)＝cos x，则f′(0)等于( C )
A. 1 B.
C. 0 D. －1
【解析】由f(x)＝cos x，得f′(x)＝－sin x，所以f′(0)＝0.
4. 曲线f(x)＝在点A(1，1)处的切线方程为__y＝x＋_.
【解析】f(x)＝x，由f′(x)＝x－，得f′(1)＝，故所求切线方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
5. (多选)下列各式正确的是( CD )
A. ′＝cos B. (cos x)′＝sin x
C. (sin x)′＝cos x D. (x-5)′＝－5x-6
【解析】对于A，′＝0，故A错误；对于B，(cos x)′＝－sin x，故B错误；对于C，(sin x)′＝cos x，故C正确；对于D，(x-5)′＝－5x-6，故D正确．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)＝ln x，则f′等于( C )
A. B. －
C. 8 D. －8
【解析】因为f(x)＝ln x，则f′(x)＝，故f′＝8.
2. 函数y＝3x在x＝2处的导数为( C )
A. 9 B. 6
C. 9ln 3 D. 6ln 3
【解析】因为y′＝(3x)′＝3x ln 3，所以所求导数为9ln 3.
3. 若质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( B )
A. B.
C. D.
【解析】因为s′＝t－，所以当t＝4时，s′＝·＝.
4. 已知曲线y＝x2在点P处的切线方程为y＝2x－1，则点P的坐标是( C )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (1，1) D. (0，0)
【解析】设切点坐标为(a，a2)，易得2a＝2，所以a＝1，故点P的坐标为(1，1).
二、 多项选择题
5. 下列结论中正确的有( BCD )
A. 若y＝ln 2，则y′＝
B. 若y＝，则y′＝
C. 若y＝ex，则y′＝ex
D. 若y＝log2x，则y′＝
【解析】若y＝ln 2，则y′＝0，故A错误．若y＝，则y′＝x－＝，故B正确．若y＝ex，则y′＝ex，故C正确．若y＝log2x，则y′＝，故D正确．
6. 可能把直线y＝x＋b作为切线的曲线是( ACD )
A. y＝－ B. y＝sin x
C. y＝ln x D. y＝ex
【解析】对于A，因为y＝－，所以其导数y′＝，令y′＝，则其方程有解，为x＝±，故A可能；对于B，因为y＝sin x，所以其导数y′＝cos x，因为对任意x∈R，－1≤cos x≤1，所以令y′＝，方程无解，故B不可能；对于C，因为y＝ln x，所以其导数y′＝，令y′＝，方程有解，为x＝，故C可能；对于D，因为y＝ex，所以其导数y′＝ex，令y′＝，方程有解，为x＝ln ，故D可能．
三、 填空题
7. 某质点的运动方程是s＝t3(s的单位：m，t的单位：s)，则质点在t＝3时的瞬时速度是__27_ m/s，质点在t＝3时的瞬时加速度是__18_ m/s2.
【解析】因为v＝s′＝3t2，则t＝3时的瞬时速度为v3＝3×32＝27(m/s).v′＝6t，则t＝3时的瞬时加速度为6×3＝18(m/s2).
8. 已知函数f(x)＝sin x，则 ＝__－2_．
【解析】根据题意， ＝2× ＝2f′(π)，又由f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x，则有f′(π)＝cos π＝－1，故 ＝－2.
9. 与曲线y＝在点P(8，4)处的切线垂直且过点P的直线方程为__3x＋y－28＝0_．
【解析】因为y＝，所以y′＝()′＝(x)′＝x－，所以在点P(8，4)处曲线的切线斜率k＝×8－＝，所以所求直线的斜率为－3，直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0.
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) y＝x；
【解答】y′＝(x)′＝(x)′＝x-1＝.
(2) y＝；
【解答】y′＝()′＝(x)′＝x-1＝x－＝.
(3) y＝；
【解答】y＝＝x－，所以y′＝－x－.
(4) y＝log3x；
【解答】y′＝.
(5) y＝2cos 2－1.
【解答】y＝2cos 2－1＝cos x，所以y′＝－sin x.
11. 已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1) 过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
【解答】设切点为(m，log2m)(m＞0)，因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝.由题意可得＝，解得m＝e，所以所求切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x.
(2) 在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】过点A，B(2，1)的直线的斜率为kAB＝.假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝，得n＝.又＝ln ＜ln 2＜ln e＝1，所以＜＜.所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为.
12. 曲线y＝ex上的点到直线x－y－3＝0的距离的最小值为( C )
A. B. 2
C. 2 D. 4
【解析】设与已知直线平行且与曲线相切的直线为x－y＋c＝0，则k＝ex＝1，解得x＝0，所以切点为(0，1).代入切线方程，可得c＝1，即切线为x－y＋1＝0.由两平行线间的距离d＝＝＝2，知所求距离的最小值为2.
13. 设函数y＝f的定义域是R，它的导数是f′.若存在常数m(m∈R)，使得f＝－f′对一切x恒成立，那么称函数y＝f具有性质P.
(1) 求证：函数y＝ex不具有性质P.
【解答】假设y＝ex具有性质P(m), 即 ex＋m＝－(ex)′对一切x恒成立，化简得ex＋m＝－ex，则em＝－1，显然不存在实数m使得em＝－1成立，所以假设错误，因此函数y＝ex不具有性质P(m).
(2) 判断函数y＝sin x是否具有性质P，若具有，求出m的取值集合；若不具有，请说明理由．
【解答】假设y＝sin x具有性质P(m)，即 sin (x＋m)＝－(sin x)′对一切x恒成立，即sin (x＋m)＝－cos x对一切x恒成立，则sin xcos m＋(sin m＋1)cos x＝0对一切x恒成立．由得当m＝2kπ－，k∈Z时，y＝sin x具有性质P(m)，所以y＝sin x具有性质P(m)，m的取值集合为{ m |m＝2kπ－，k∈Z)}.第1课时 基本初等函数的导数
学习 目标 1. 能根据导数的定义求出一些常用函数的导数． 2. 能利用导数公式计算基本初等函数的导数．
新知初探基础落实
一、 概念表述
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______________
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝_______________
f(x)＝sin x f′(x)＝________________
f(x)＝cos x f′(x)＝________________
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝_______________ (a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f′(x)＝______________
f(x)＝logax(a＞0， 且a≠1) f′(x)＝______________ (a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x f′(x)＝______________
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) ′＝cos . ( )
(2) 若f(x)＝，则f′(3)＝－. ( )
(3) ′＝. ( )
(4) 若f(x)＝sin x，则f＝f′. ( )
典例精讲能力初成
探究1 利用公式求导数
例1 (教材P75例1补充)求下列函数的导数：
(1) f(x)＝；
(2) y＝；
(3) y＝.
求函数的导数的常见类型及解题技巧：
(1) 对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．
(2) 对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．
(3) 对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．
(4) 对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
变式 求下列函数的导数：
(1) y＝x-5；
(2) y＝4x；
(3) y＝log3x；
(4) y＝sin .
探究2 求曲线的切线方程
例2 已知曲线y＝.
(1) 求曲线在点P(1，1)处的切线方程；
(2) 求过点Q(1，0)的曲线的切线方程．
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
(1) 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2) 如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
变式 已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，求实数k的值．
探究3 导数的实际应用
例3 某质点的运动方程是S(t)＝sin t，则质点在t＝时的速度为______________，质点运动的加速度为_______________．
位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度．
随堂内化及时评价
1. 若f(x)＝sin x，则f′等于( )
A. － B. －
C. D.
2. 若f(x)＝，则f′(4) 等于( )
A. － B.
C. 1 D. 3
3. 若f(x)＝cos x，则f′(0)等于( )
A. 1 B.
C. 0 D. －1
4. 曲线f(x)＝在点A(1，1)处的切线方程为_______________.
5. (多选)下列各式正确的是( )
A. ′＝cos B. (cos x)′＝sin x
C. (sin x)′＝cos x D. (x-5)′＝－5x-6
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知f(x)＝ln x，则f′等于( )
A. B. －
C. 8 D. －8
2. 函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A. 9 B. 6
C. 9ln 3 D. 6ln 3
3. 若质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A. B.
C. D.
4. 已知曲线y＝x2在点P处的切线方程为y＝2x－1，则点P的坐标是( )
A. (1，0) B. (0，1)
C. (1，1) D. (0，0)
二、 多项选择题
5. 下列结论中正确的有( )
A. 若y＝ln 2，则y′＝
B. 若y＝，则y′＝
C. 若y＝ex，则y′＝ex
D. 若y＝log2x，则y′＝
6. 可能把直线y＝x＋b作为切线的曲线是( )
A. y＝－ B. y＝sin x
C. y＝ln x D. y＝ex
三、 填空题
7. 某质点的运动方程是s＝t3(s的单位：m，t的单位：s)，则质点在t＝3时的瞬时速度是_______________ m/s，质点在t＝3时的瞬时加速度是________________ m/s2.
8. 已知函数f(x)＝sin x，则 ＝________________．
9. 与曲线y＝在点P(8，4)处的切线垂直且过点P的直线方程为________________．
四、 解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) y＝x；
(2) y＝；
(3) y＝；
(4) y＝log3x；
(5) y＝2cos 2－1.
11. 已知点A，B(2，1)，函数f(x)＝log2x.
(1) 过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．
(2) 在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
12. 曲线y＝ex上的点到直线x－y－3＝0的距离的最小值为( )
A. B. 2
C. 2 D. 4
13. 设函数y＝f的定义域是R，它的导数是f′.若存在常数m(m∈R)，使得f＝－f′对一切x恒成立，那么称函数y＝f具有性质P.
(1) 求证：函数y＝ex不具有性质P.
(2) 判断函数y＝sin x是否具有性质P，若具有，求出m的取值集合；若不具有，请说明理由．
