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第五章
一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
第2课时 导数的四则运算法则
学习 目标 1. 掌握导数的四则运算法则．
2. 能利用运算法则解决一些简单的导数问题．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 和、差的导数：[f(x)±g(x)]′＝_____________．
2. 积的导数
①[f(x)g(x)]′＝_____________________；
②[cf(x)]′＝________(c为常数)．
3. 商的导数
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两个函数和、差的导函数，就是两个函数分别求导后求和或差． ( )
(2) 两个函数积、商的导函数，就是两个函数分别求导后求积或商． ( )
(3) 不能改变函数原表达式的结构，再去求导. ( )
√
×
×
√
典例精讲 能力初成
(教材P76例3补充)求下列函数的导数：
(1) y＝x-2＋x2；
1
【解答】
y′＝2x－2x-3.
【解答】
在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化，也可以先化简再求导．
(1) 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，则f′(1)＝______，f′(2)＝____．
【解析】
变式
－2
0
【解析】
(1，＋∞)
(教材P77例4补充)求下列函数的导数：
(1) y＝(2x2＋3)(3x－1)；
2
两个函数积、商的导数
【解答】
方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)·(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
方法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
探究
2
(2) y＝3xex－2x＋e；
【解答】
y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
【解答】
(教材P77例4补充)求下列函数的导数：
2
应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
【解析】
变式
1
(2) 函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为 ( )
A. y＝4x＋2 B. y＝2x－4
C. y＝4x－2 D. y＝2x＋4
【解析】
C
3
实际应用
【解答】
探究
3
(2) 当t＝3 s时，求运动员的滑雪速度；
【解答】
(3) 当运动员的滑雪路程为38 m时，求此时的滑雪速度．
【解答】
3
随堂内化 及时评价
D
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
5. 若f(x)＝ln x－2x2，f′(x0)＝3，则x0＝_____．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)＝(x－1)ln x，则f′(1) 等于 ( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. e
B
【解析】
2. 已知f(x)＝x(2 025＋ln x)，若f′(x0)＝2 026，则x0等于 ( )
A. e2 B. 1
C. ln 2 D. e
B
【解析】
f′(x)＝2 025＋ln x＋1＝ln x＋2 026，因为f′(x0)＝2 026，所以ln x0＝0，所以x0＝1.
【解析】
因为f′(x)＝2＋3f′(0)·ex，所以f′(0)＝2＋3f′(0)，解得f′(0)＝－1，所以f′(x)＝2－3ex，f′(1)＝2－3e.
C
【解析】
D
二、 多项选择题
5. 下列判断正确的有 ( )
A. 若f(x)＝x sin x＋cos 2x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋2sin 2x
B. 设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C. 已知函数f(x)＝3x2e2x，则f′(1) ＝12e
【解析】
【答案】BD
【解析】
ABD
【解析】
2
【解析】
【解析】
四、解答题
10. 求下列函数的导数：
【解答】
【解答】
(3) y＝3x2＋cos x；
【解答】
y′＝3(x2)′＋(cos x)′＝6x－sin x.
(4) y＝(x＋1)ln x.
【解答】
10. 求下列函数的导数：
【解答】
(2) 记g(x)＝f′(x)，求g′(1) .
【解答】
12. 已知函数f(x)＝(x－a)(x－2 024)(x－2 023)·(x－2 022)，且f′(2 024)＝－4，则实数a的值为 ( )
A. 2 026 B. 2 025
C. －2 025 D. －2 026
【解析】
令g(x)＝(x－a)(x－2 023)(x－2 022)，则f(x)＝g(x)(x－2 024)，所以f′(x)＝g′(x)(x－2 024)＋g(x)，由f′(2 024)＝g′(2 024)(2 024－2 024)＋g(2 024)＝(2 024－a)×1×2＝－4，解得a＝2 026.
A
【解析】
【解析】
2 024
14. 已知f(x)＝xex，则f′(1) ＝_____；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是___________．
【解析】
2e
(－4，0)
谢谢观赏第2课时 导数的四则运算法则
学习 目标 1. 掌握导数的四则运算法则． 2. 能利用运算法则解决一些简单的导数问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 和、差的导数：[f(x)±g(x)]′＝_____________．
2. 积的导数
①[f(x)g(x)]′＝_______________；
②[cf(x)]′＝_______________(c为常数)．
3. 商的导数
′＝________________(g(x)≠0).
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两个函数和、差的导函数，就是两个函数分别求导后求和或差．( )
(2) 两个函数积、商的导函数，就是两个函数分别求导后求积或商．( )
(3) 不能改变函数原表达式的结构，再去求导.( )
(4) 已知函数f(x)＝，则f′(1)＝.( )
典例精讲能力初成
例1 (教材P76例3补充)求下列函数的导数：
(1) y＝x-2＋x2；
(2) y＝x2－4sin cos .
在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化，也可以先化简再求导．
变式 (1) 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，则f′(1)＝________________，f′(2)＝______________．
(2) (教材P81第8题)已知函数f(x)＝＋2x－3ln x，则不等式f′(x)＞0的解集为_______________．
探究2 两个函数积、商的导数
例2 (教材P77例4补充)求下列函数的导数：
(1) y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2) y＝3xex－2x＋e；
(3) y＝.
应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
变式 (1) (2020·全国高考)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝_____________．
(2) 函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为( )
A. y＝4x＋2 B. y＝2x－4
C. y＝4x－2 D. y＝2x＋4
探究3 实际应用
例3 (教材P82第10题)设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式l(t)＝2t2＋t.
(1) 求关于t的导数，并解释它的实际意义；
(2) 当t＝3 s时，求运动员的滑雪速度；
(3) 当运动员的滑雪路程为38 m时，求此时的滑雪速度．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x＋ex的导函数为f′(x)等于( )
A. ex B. 1＋
C. 1＋xex-1 D. 1＋ex
2. 若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)＝( )
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
3. 已知f′(x)是f(x)＝的导函数，则f′(1) ＝( )
A. B.
C. － D. －
4. 下列求导运算错误的是( )
A. (x2 025＋e)′＝2 025x2 024
B. (3x＋x2)′＝3x ln 3＋2x
C. (sin x＋cos x)′＝cos x－sin x
D. (tan x)′＝
5. 若f(x)＝ln x－2x2，f′(x0)＝3，则x0＝______________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)＝(x－1)ln x，则f′(1) 等于( )
A. －1 B. 0
C. 1 D. e
2. 已知f(x)＝x(2 025＋ln x)，若f′(x0)＝2 026，则x0等于( )
A. e2 B. 1
C. ln 2 D. e
3. 已知函数f(x)＝2x＋3f′(0)·ex，则f′(1) 等于( )
A. e B. 3－2e
C. 2－3e D. 2＋3e
4. 若f(x)＝x sin x，则f′等于( )
A. B. 0
C. －1 D. 1
二、 多项选择题
5. 下列判断正确的有( )
A. 若f(x)＝x sin x＋cos 2x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋2sin 2x
B. 设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C. 已知函数f(x)＝3x2e2x，则f′(1) ＝12e
D. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
6. 下列函数在x＝0处有切线的是( )
A. f(x)＝3x2＋cos x B. g(x)＝x·sin x
C. h(x)＝＋2x D. w(x)＝
三、填空题
7. 已知函数f(x)＝＋，则f(x)在x＝2处的导数f′(2)＝_______________．
8. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f＝______________，f′＝_______________．
9. 设f(x)＝＋，则f′＝________________．
四、解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) y＝ln x＋；
(2) y＝；
(3) y＝3x2＋cos x；
(4) y＝(x＋1)ln x.
11. 已知曲线f(x)＝＋a ln x＋ln a在x＝1处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直．
(1) 求实数a的值；
(2) 记g(x)＝f′(x)，求g′(1) .
12. 已知函数f(x)＝(x－a)(x－2 024)(x－2 023)·(x－2 022)，且f′(2 024)＝－4，则实数a的值为( )
A. 2 026 B. 2 025
C. －2 025 D. －2 026
13. 对于三次函数f＝ax3＋bx2＋cx＋d，给出定义：设f′是函数y＝f的导数，f″是f′的导数，若方程f″＝0有实数解x0，则称点为函数y＝f的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知f＝x3－x2＋3x－.
(1) 函数f＝x3－x2＋3x－的对称中心为______________；
(2) 计算：f＋f＋f＋f＋…＋f＝______________．
14. 已知f(x)＝xex，则f′(1) ＝2e；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是_________________．第2课时 导数的四则运算法则
学习 目标 1. 掌握导数的四则运算法则． 2. 能利用运算法则解决一些简单的导数问题．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 和、差的导数：[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)_．
2. 积的导数
①[f(x)g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)_；
②[cf(x)]′＝__cf′(x)_(c为常数)．
3. 商的导数
′＝___(g(x)≠0).
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 两个函数和、差的导函数，就是两个函数分别求导后求和或差．( √ )
(2) 两个函数积、商的导函数，就是两个函数分别求导后求积或商．( × )
(3) 不能改变函数原表达式的结构，再去求导.( × )
(4) 已知函数f(x)＝，则f′(1)＝.( √ )
典例精讲能力初成
例1 (教材P76例3补充)求下列函数的导数：
(1) y＝x-2＋x2；
【解答】y′＝2x－2x-3.
(2) y＝x2－4sin cos .
【解答】因为y＝x2－4sin cos ＝x2－2sin x，所以y′＝2x－2cos x．
在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化，也可以先化简再求导．
变式 (1) 若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，则f′(1)＝__－2_，f′(2)＝__0_．
【解析】因为f(x)＝2f′(1)ln x＋2x，所以f′(x)＝2f′(1)·＋2，故f′(1)＝2f′(1)＋2，解得 f′(1)＝－2，f′(x)＝－＋2，所以f′(2)＝0.
(2) (教材P81第8题)已知函数f(x)＝＋2x－3ln x，则不等式f′(x)＞0的解集为__(1，＋∞)_．
【解析】f(x)＝＋2x－3ln x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝′＋(2x)′－(3ln x)′＝x＋2－＝(x2＋2x－3).令f′(x)＞0，解得x＞1，所以f′(x)＞0的解集为(1，＋∞).
探究2 两个函数积、商的导数
例2 (教材P77例4补充)求下列函数的导数：
(1) y＝(2x2＋3)(3x－1)；
【解答】方法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)·(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
方法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2) y＝3xex－2x＋e；
【解答】y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
(3) y＝.
【解答】y′＝.
应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
变式 (1) (2020·全国高考)设函数f(x)＝，若f′(1)＝，则a＝__1_．
【解析】f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，所以＝，整理得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
(2) 函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为( C )
A. y＝4x＋2 B. y＝2x－4
C. y＝4x－2 D. y＝2x＋4
【解析】由已知得y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2ln x＋4，则y′|x＝1＝4.又当x＝1时，y＝2，则切线方程为y＝4x－2.
探究3 实际应用
例3 (教材P82第10题)设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式l(t)＝2t2＋t.
(1) 求关于t的导数，并解释它的实际意义；
【解答】由已知得l′(t)＝4t＋，它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度．
(2) 当t＝3 s时，求运动员的滑雪速度；
【解答】因为l′(t)＝4t＋，所以l′(3)＝4×3＋＝，所以运动员的滑雪速度为 m/s.
(3) 当运动员的滑雪路程为38 m时，求此时的滑雪速度．
【解答】由题意得2t2＋t＝38，解得t＝4或t＝－(舍去)，因为l′(t)＝4t＋，所以l′(4)＝4×4＋＝，故当运动员的滑雪路程为38 m时，此时的滑雪速度为 m/s.
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x＋ex的导函数为f′(x)等于( D )
A. ex B. 1＋
C. 1＋xex-1 D. 1＋ex
2. 若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)＝( C )
A. 1 B. 2
C. 0 D. －1
【解析】由f(x)＝x3－f′(1)x2－x，得f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，则f′(1)＝1－2f′(1)－1，故f′(1)＝0.
3. 已知f′(x)是f(x)＝的导函数，则f′(1) ＝( B )
A. B.
C. － D. －
【解析】因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，所以f′(1)＝.
4. 下列求导运算错误的是( D )
A. (x2 025＋e)′＝2 025x2 024
B. (3x＋x2)′＝3x ln 3＋2x
C. (sin x＋cos x)′＝cos x－sin x
D. (tan x)′＝
【解析】对于A，(x2 025＋e)′＝2 025x2 024，故A正确；对于B，(3x＋x2)′＝3x ln 3＋2x，故B正确；对于C，(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x，故C正确；对于D，(tan x)′＝′＝＝，故D错误．
5. 若f(x)＝ln x－2x2，f′(x0)＝3，则x0＝___．
【解析】因为f(x)＝ln x－2x2(x>0)，所以f′(x)＝－4x.又因为f′(x0)＝3，所以f′(x0)＝－4x0＝3，解得x0＝.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若函数f(x)＝(x－1)ln x，则f′(1) 等于( B )
A. －1 B. 0
C. 1 D. e
【解析】因为f′(x)＝ln x＋，所以f′(1)＝0.
2. 已知f(x)＝x(2 025＋ln x)，若f′(x0)＝2 026，则x0等于( B )
A. e2 B. 1
C. ln 2 D. e
【解析】f′(x)＝2 025＋ln x＋1＝ln x＋2 026，因为f′(x0)＝2 026，所以ln x0＝0，所以x0＝1.
3. 已知函数f(x)＝2x＋3f′(0)·ex，则f′(1) 等于( C )
A. e B. 3－2e
C. 2－3e D. 2＋3e
【解析】因为f′(x)＝2＋3f′(0)·ex，所以f′(0)＝2＋3f′(0)，解得f′(0)＝－1，所以f′(x)＝2－3ex，f′(1)＝2－3e.
4. 若f(x)＝x sin x，则f′等于( D )
A. B. 0
C. －1 D. 1
【解析】已知f(x)＝x sin x，f′(x)＝sin x＋x cos x，则f′＝sin ＋cos ＝1.
二、 多项选择题
5. 下列判断正确的有( BD )
A. 若f(x)＝x sin x＋cos 2x，则f′(x)＝sin x－x cos x＋2sin 2x
B. 设函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C. 已知函数f(x)＝3x2e2x，则f′(1) ＝12e
D. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
【解析】对于A，f′(x)＝sin x＋x cos x－2sin 2x，故A错误；对于B，f′(x)＝ln x＋1 f′(x0)＝ln x0＋1＝2 x0＝e，故B正确；对于C，f(x)＝3x2e2x f′(x)＝6xe2x＋6x2e2x f′(1)＝12e2，故C错误；对于D，f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ f′(2)＝－，故D正确．
6. 下列函数在x＝0处有切线的是( ABD )
A. f(x)＝3x2＋cos x B. g(x)＝x·sin x
C. h(x)＝＋2x D. w(x)＝
【解析】f′(x)＝6x－sin x，f′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在x＝0处有切线．g′(x)＝sin x＋x cos x，g′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在x＝0处有切线．h′(x)＝－＋2，在x＝0处不可导，则在x＝0处没有切线．w′(x)＝，w′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在x＝0处有切线．
三、填空题
7. 已知函数f(x)＝＋，则f(x)在x＝2处的导数f′(2)＝__2_．
【解析】因为f(x)＝＋＝，所以f′(x)＝，所以f′(2)＝2.
8. 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f＝__＋_，f′＝___．
【解析】因为f′(x)＝2x＋f′cos x，所以f′＝＋f′，所以f′＝，所以f＝＋.
9. 设f(x)＝＋，则f′＝__－＋2_．
【解析】因为f′(x)＝′＝－＋，所以f′＝＋＝－＋2.
四、解答题
10. 求下列函数的导数：
(1) y＝ln x＋；
【解答】y′＝(ln x)′＋′＝＋＝－.
(2) y＝；
【解答】y′＝＝＝－.
(3) y＝3x2＋cos x；
【解答】y′＝3(x2)′＋(cos x)′＝6x－sin x.
(4) y＝(x＋1)ln x.
【解答】y′＝(x＋1)′ln x＋(x＋1)(ln x)′＝ln x＋(x＋1)·＝ln x＋＋1.
11. 已知曲线f(x)＝＋a ln x＋ln a在x＝1处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直．
(1) 求实数a的值；
【解答】根据题意，f(x)＝＋a ln x＋ln a，f′(x)＝－＋，则有f′(1)＝a－1，即曲线f(x)在x＝1处的切线的斜率k＝a－1.若曲线f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则k＝a－1＝3，解得a＝4.
(2) 记g(x)＝f′(x)，求g′(1) .
【解答】由(1)知g(x)＝－＋，所以g′(x)＝2x-3－4x-2，故g′(1)＝－2.
12. 已知函数f(x)＝(x－a)(x－2 024)(x－2 023)·(x－2 022)，且f′(2 024)＝－4，则实数a的值为( A )
A. 2 026 B. 2 025
C. －2 025 D. －2 026
【解析】令g(x)＝(x－a)(x－2 023)(x－2 022)，则f(x)＝g(x)(x－2 024)，所以f′(x)＝g′(x)(x－2 024)＋g(x)，由f′(2 024)＝g′(2 024)(2 024－2 024)＋g(2 024)＝(2 024－a)×1×2＝－4，解得a＝2 026.
13. 对于三次函数f＝ax3＋bx2＋cx＋d，给出定义：设f′是函数y＝f的导数，f″是f′的导数，若方程f″＝0有实数解x0，则称点为函数y＝f的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知f＝x3－x2＋3x－.
(1) 函数f＝x3－x2＋3x－的对称中心为___；
【解析】因为f(x)＝x3－x2＋3x－，则f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1.由f″(x)＝0，可得x＝，且f＝×－×＋3×－＝1，所以函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
(2) 计算：f＋f＋f＋f＋…＋f＝__2 024_．
【解析】由(1)可知对任意的x∈R，f(x)＋f(1－x)＝2，所以2＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝2 024×2，因此f＋f＋f＋f＋…＋f＝2 024.
14. 已知f(x)＝xex，则f′(1) ＝2e；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是___(－4，0)_．
【解析】因为f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex，所以f′(1)＝2e.设点B(x0，x0ex0)为曲线C上任意一点， 因为f′(x)＝(x＋1)ex，所以曲线C在点B处的切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0).根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0ex0＝(x0＋1)ex0·(a－x0)，即x－ax0－a＝0无实根，所以Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.所以a的取值范围是(－4，0).
