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第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负关系．
2. 能利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调 _______；在某个区间(a，b)上，若f′(x) ＜0，则y＝f(x)在(a，b)上单调_______．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的导函数的图象上升，则原函数在对应区间上递增． ( )
(2) 一个函数的导函数的图象在x轴下方对应的区间，就是原函数的减区间． ( )
(3) 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x) ＜0的过程． ( )
(4) 求函数的单调区间，还要结合函数的定义域. ( )
递增
递减
×
√
√
√
典例精讲 能力初成
(教材P86例1补充)求证：函数f(x)＝－2ln x＋x2在(1，＋∞)上是增函数．
1
利用导数证明函数单调性
【解答】
探究
1
利用导数判断或证明函数单调性的思路：
求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
【解答】
因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
变式
(1) (教材P86例2补充)若f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是 ( )
2
识图问题
【解析】
由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，可排除B，C，D, 故选A.
A
探究
2
(2) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )
【解析】
由导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，排除选项A，B；当x>0时，f′(x)先正后负，所以f(x)在(0，＋∞)上先增后减，因为选项C中的图象是先减后增再减，故排除选项C.
D
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，一般要从以下两点入手：
(1) 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2) 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值就越大，不是f′(x)的值越大．
(教材P87例3补充)求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x2－ln x；
3
利用导数求单调区间
【解答】
探究
3
【解答】
(教材P87例3补充)求下列函数的单调区间：
3
(1) 求函数单调区间，首先确定函数的定义域，再令f′(x)>0解得增区间，令f′(x)<0解得减区间．
(2) 若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接．
【解答】
函数的定义域为R，y′＝2x2－4x＝2x(x－2).令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞).令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2).
变式
(2) y＝ln (2x＋3)＋x2.
【解答】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
C
【解析】
设f′(x)＝0的两个根分别为a，b，0
0，函数f(x)为增函数，当x>b时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，因为02. 若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为 ( )
D
【解析】
因为函数f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1).令f′(x)>0，解得－13. 函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是 ( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
C
【解析】
函数f(x)＝x2ex－1，则f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝(x2＋2x)ex<0，解得－24. 函数f(x)＝x2ex－1的单调递减区间为 ( )
A. (－2，＋∞) B. (－2，0)
C. (0，＋∞) D. (0，2)
B
【解析】
由题图知当x∈(－1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在(－1，2)，(4，5)上，f(x)单调递增，故A错误，B，C正确；当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减，故D错误．
5. (多选)如图，这是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是 ( )
A. f(x)在(－2，1)上单调递增
B. f(x)在(1，2)上单调递增
C. f(x)在(4，5)上单调递增
D. f(x)在(－3，－2)上单调递增
BC
配套新练案
【解析】
C
【解析】
C
3. 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 ( )
A
【解析】
由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
4. 若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )
C
【解析】
由y＝f′(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，排除选项A和D.因为f′(0)＝0，所以y＝f(x)在x＝0处的切线斜率为0，排除选项B.
【解析】
能使f′(x)<0的区间是y＝f(x)的减区间的子集，故选BCD.
BCD
6. 在(0，＋∞)内为增函数的是 ( )
A. y＝sin x B. y＝xex
C. y＝x3＋x D. y＝ln x－x
BC
【解析】
对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于C，y′＝3x2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝x3＋x在(0，＋∞)上为增函数．对于A，D都存在x>0，使y′<0的情况．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(x－4)ex＋1，则f(x)的单调递增区间是____________．
【解析】
f′(x)＝(x－3)ex，由f′(x)＝0，得x＝3.当x<3时，f′(x)<0；当x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
(3，＋∞)
8. 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为__________．
【解析】
若f′(x)的图象为虚线，则f(x)的图象为实线，由f′(x)≤0，得0≤x≤3，则f(x)在[0，3]上单调递减，与f(x)的实线图象不符，故不成立．若f′(x)的图象为实线，则f(x)的图象为虚线，由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)在(2，4]上单调递增；由f′(x)<0，得0≤x≤2，所以f(x)在[0，2]上单调递减，与f(x)的虚线图象相符，故成立．综上，f(x)在(2，4]上单调递增．
(2，4]
9. 函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x的单调递增区间是__________________，单调递减区
间是________．
【解析】
四、 解答题
10. 求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x3－3x＋1；
【解答】
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)>0，得x>1或x<－1.令f′(x)<0，得 －1【解答】
10. 求下列函数的单调区间：
(3) f(x)＝(x2＋2x)e－x.
【解答】
10. 求下列函数的单调区间：
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
因为f′(x)＝ex＋sin x＋x cos x－sin x＝ex＋x cos x，所以f′(0)＝1，f(0)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0.
【解答】
谢谢观赏第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负关系． 2. 能利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．
新知初探基础落实
一、 概念表述
在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调 __递增_；在某个区间(a，b)上，若f′(x) ＜0，则y＝f(x)在(a，b)上单调__递减_．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的导函数的图象上升，则原函数在对应区间上递增．( × )
(2) 一个函数的导函数的图象在x轴下方对应的区间，就是原函数的减区间．( √ )
(3) 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x) ＜0的过程．( √ )
(4) 求函数的单调区间，还要结合函数的定义域. ( √ )
典例精讲能力初成
探究1 利用导数证明函数单调性
例1 (教材P86例1补充)求证：函数f(x)＝－2ln x＋x2在(1，＋∞)上是增函数．
【解答】f′(x)＝＋2x＝，因为x>1，所以(x＋1)(x－1)>0，即在区间(1，＋∞)上，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)＝－2ln x＋x2在(1，＋∞)上是增函数．
利用导数判断或证明函数单调性的思路：
变式 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
【解答】因为f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex＞1，即f′(x)＝ex－1＞0，故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex＜1，即f′(x)＝ex－1＜0，故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
探究2 识图问题
例2 (1) (教材P86例2补充)若f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是( A )
(例2(1) )
A B
C D
【解析】由f′(x)的图象知，当x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递减，在(－2，0)上单调递增，可排除B，C，D, 故选A.
(2) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )
(例2(2) )
A B
C D
【解析】由导函数的图象可得，当x<0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，排除选项A，B；当x>0时，f′(x)先正后负，所以f(x)在(0，＋∞)上先增后减，因为选项C中的图象是先减后增再减，故排除选项C.
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，一般要从以下两点入手：
(1) 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2) 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值就越大，不是f′(x)的值越大．
探究3 利用导数求单调区间
例3 (教材P87例3补充)求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x2－ln x；
【解答】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝.令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0(2) f(x)＝.
【解答】函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f′(x)＝.令f′(x)>0，即x－3>0，得x>3；令f′(x)<0，得x＜2或2＜x＜3.所以f(x)在(－∞，2)和(2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3)，单调递增区间为(3，＋∞).
(1) 求函数单调区间，首先确定函数的定义域，再令f′(x)>0解得增区间，令f′(x)<0解得减区间．
(2) 若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接．
变式 求下列函数的单调区间：
(1) y＝x3－2x2＋3；
【解答】函数的定义域为R，y′＝2x2－4x＝2x(x－2).令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞).令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2，所以函数的单调递减区间为(0，2).
(2) y＝ln (2x＋3)＋x2.
【解答】函数y＝ln (2x＋3)＋x2的定义域为，y′＝＋2x＝＝.令y′＞0，解得－＜x＜－1或x＞－，所以函数的单调递增区间为，.令y′＜0，解得－1＜x＜－，所以函数的单调递减区间为.
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝3＋x ln x的单调递增区间是( C )
A. B. (e，＋∞)
C. D.
【解析】f′(x)＝ln x＋1(x>0)，令f′(x)>0，即ln x＋1>0，解得x>，故函数f(x)的单调递增区间为.
2. 若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( D )
(第2题)
A B
C D
【解析】设f′(x)＝0的两个根分别为a，b，00，函数f(x)为增函数，当x>b时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，因为03. 函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是( C )
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
【解析】因为函数f(x)＝3x－x3，所以f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1).令f′(x)>0，解得－14. 函数f(x)＝x2ex－1的单调递减区间为( B )
A. (－2，＋∞) B. (－2，0)
C. (0，＋∞) D. (0，2)
【解析】函数f(x)＝x2ex－1，则f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝(x2＋2x)ex<0，解得－25. (多选)如图，这是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( BC )
(第5题)
A. f(x)在(－2，1)上单调递增
B. f(x)在(1，2)上单调递增
C. f(x)在(4，5)上单调递增
D. f(x)在(－3，－2)上单调递增
【解析】由题图知当x∈(－1，2)，x∈(4，5)时，f′(x)>0，所以在(－1，2)，(4，5)上，f(x)单调递增，故A错误，B，C正确；当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，所以在(－3，－2)上，f(x)单调递减，故D错误．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝4x2＋的单调递增区间是( C )
A. (0，＋∞) B. (－∞，1)
C. D. (1，＋∞)
【解析】令y′＝8x－＝>0，即(2x－1)·(4x2＋2x＋1)>0，解得x>.
2. 函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为( C )
A. B.
C. D.
【解析】因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝x－＝，当f′(x)<0时，解得03. 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( A )
(第3题)
A B
C D
【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
4. 若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( C )
(第4题)
A B
C D
【解析】由y＝f′(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，b)上单调递增，排除选项A和D.因为f′(0)＝0，所以y＝f(x)在x＝0处的切线斜率为0，排除选项B.
二、 多项选择题
5. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则能使不等式f′(x)<0成立的有( BCD )
(第5题)
A. B.
C. D.
【解析】能使f′(x)<0的区间是y＝f(x)的减区间的子集，故选BCD.
6. 在(0，＋∞)内为增函数的是( BC )
A. y＝sin x B. y＝xex
C. y＝x3＋x D. y＝ln x－x
【解析】对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于C，y′＝3x2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝x3＋x在(0，＋∞)上为增函数．对于A，D都存在x>0，使y′<0的情况．
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(x－4)ex＋1，则f(x)的单调递增区间是__(3，＋∞)_．
【解析】f′(x)＝(x－3)ex，由f′(x)＝0，得x＝3.当x<3时，f′(x)<0；当x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．
8. 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为__(2，4]_．
(第8题)
【解析】若f′(x)的图象为虚线，则f(x)的图象为实线，由f′(x)≤0，得0≤x≤3，则f(x)在[0，3]上单调递减，与f(x)的实线图象不符，故不成立．若f′(x)的图象为实线，则f(x)的图象为虚线，由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)在(2，4]上单调递增；由f′(x)<0，得0≤x≤2，所以f(x)在[0，2]上单调递减，与f(x)的虚线图象相符，故成立．综上，f(x)在(2，4]上单调递增．
9. 函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x的单调递增区间是__和(2，＋∞)_，单调递减区间是___．
【解析】f(x)＝x2－5x＋2ln 2x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2x－5＋2·＝.由f′(x)>0，即>0，解得x>2或0四、 解答题
10. 求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x3－3x＋1；
【解答】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)>0，得x>1或x<－1.令f′(x)<0，得－1(2) f(x)＝x＋；
【解答】f′(x)＝1－＝，由f′(x)>0，解得x<－或x>.由f′(x)<0，解得－(3) f(x)＝(x2＋2x)e－x.
【解答】由题得函数的定义域为R，f′(x)＝(2x＋2)·e－x－(x2＋2x)e－x＝－(x2－2)e－x.令f′(x)>0，即－(x2－2)e－x>0，解得－，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递增区间为(－，).
11. (1) 求函数f(x)＝1－x sin x的图象在点处的切线方程；
【解答】f′(x)＝－sin x－x cos x，则f′＝－sin －cos ＝－1，又f＝1－sin ＝1－，则函数f(x)的图象在点处的切线方程为x＋y－1＝0.
(2) 求证：函数g(x)＝ln x＋cos x在区间上单调递增．
【解答】g′(x)＝－sin x，当x∈时，>1，sin x∈，则g′(x)＝－sin x>0，故函数g(x)＝ln x＋cos x在区间上单调递增．
12. (2023·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝8x－，x∈，讨论函数f(x)的单调性．
【解答】f′(x)＝8－＝8－＝8－，令cos2x＝t，则t∈(0，1)，则f′(x)＝g(t)＝＝.当t∈，即x∈时，f′(x)＜0.当t∈，即x∈时，f′(x)＞0.所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
13.已知函数f＝ex＋x sin x＋cos x，x≥0.
(1) 求曲线y＝f在点处的切线方程；
【解答】因为f′(x)＝ex＋sin x＋x cos x－sin x＝ex＋x cos x，所以f′(0)＝1，f(0)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－2＝x，即x－y＋2＝0.
(2) 求证：函数f在上单调递增．
【解答】由(1)知，f′ (x)＝ex＋x cos x，因为cos x≥－1，x≥0，所以x cos x≥－x，所以f′(x)≥ex－x.设h(x)＝ex－x，则h′(x)＝ex－1≥0，所以函数h(x)在[ 0，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(0)＝1，所以f′(x)≥h(x)＞0，所以函数f(x)在上单调递增．第1课时 函数的单调性
学习 目标 1. 理解函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负关系． 2. 能利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．
新知初探基础落实
一、 概念表述
在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调 ________________；在某个区间(a，b)上，若f′(x) ＜0，则y＝f(x)在(a，b)上单调_______________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的导函数的图象上升，则原函数在对应区间上递增．( )
(2) 一个函数的导函数的图象在x轴下方对应的区间，就是原函数的减区间．( )
(3) 求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)＞0或f′(x) ＜0的过程．( )
(4) 求函数的单调区间，还要结合函数的定义域. ( )
典例精讲能力初成
探究1 利用导数证明函数单调性
例1 (教材P86例1补充)求证：函数f(x)＝－2ln x＋x2在(1，＋∞)上是增函数．
利用导数判断或证明函数单调性的思路：
变式 求证：函数f(x)＝ex－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．
探究2 识图问题
例2 (1) (教材P86例2补充)若f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是( )
(例2(1) )
A B
C D
(2) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(例2(2) )
A B
C D
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，一般要从以下两点入手：
(1) 函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2) 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值就越大，不是f′(x)的值越大．
探究3 利用导数求单调区间
例3 (教材P87例3补充)求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x2－ln x；
(2) f(x)＝.
(1) 求函数单调区间，首先确定函数的定义域，再令f′(x)>0解得增区间，令f′(x)<0解得减区间．
(2) 若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接．
变式 求下列函数的单调区间：
(1) y＝x3－2x2＋3；
(2) y＝ln (2x＋3)＋x2.
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝3＋x ln x的单调递增区间是( )
A. B. (e，＋∞)
C. D.
2. 若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )
(第2题)
A B
C D
3. 函数f(x)＝3x－x3的单调递增区间是( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，－1)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
4. 函数f(x)＝x2ex－1的单调递减区间为( )
A. (－2，＋∞) B. (－2，0)
C. (0，＋∞) D. (0，2)
5. (多选)如图，这是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
(第5题)
A. f(x)在(－2，1)上单调递增
B. f(x)在(1，2)上单调递增
C. f(x)在(4，5)上单调递增
D. f(x)在(－3，－2)上单调递增
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数y＝4x2＋的单调递增区间是( )
A. (0，＋∞) B. (－∞，1)
C. D. (1，＋∞)
2. 函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
3. 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
(第3题)
A B
C D
4. 若函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(第4题)
A B
C D
二、 多项选择题
5. 已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则能使不等式f′(x)<0成立的有( )
(第5题)
A. B.
C. D.
6. 在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A. y＝sin x B. y＝xex
C. y＝x3＋x D. y＝ln x－x
三、 填空题
7. 已知函数f(x)＝(x－4)ex＋1，则f(x)的单调递增区间是________________．
8. 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为_______________．
(第8题)
9. 函数f(x)＝x2－5x＋2ln 2x的单调递增区间是_______________，单调递减区间是_______________．
四、 解答题
10. 求下列函数的单调区间：
(1) f(x)＝x3－3x＋1；
(2) f(x)＝x＋；
(3) f(x)＝(x2＋2x)e－x.
11. (1) 求函数f(x)＝1－x sin x的图象在点处的切线方程；
(2) 求证：函数g(x)＝ln x＋cos x在区间上单调递增．
12. (2023·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝8x－，x∈，讨论函数f(x)的单调性．
13.已知函数f＝ex＋x sin x＋cos x，x≥0.
(1) 求曲线y＝f在点处的切线方程；
(2) 求证：函数f在上单调递增．