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第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
第2课时 函数单调性的应用
学习 目标 1. 能利用函数单调性比较大小及解不等式．
2. 能对含参数的函数讨论单调性，利用单调性求参数范围．
典例精讲 能力初成
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性.
1
含参函数的单调性
【解答】
①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
探究
1
研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4) 在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间．
(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性．
【解答】
变式
若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
2
利用单调性求参数范围
【解答】
探究
2
已知单调性求参数范围的常用方法：
(1) 子区间法，即先求出y＝f(x)的单调区间A，然后分析已知区间和A的关系．注意区间端点值能否取到.
(2) 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取等号时是否满足题意.
(1) 若函数f(x)＝ax－ln x在(0，2)上不单调，则a的取值范围是_________．
【解析】
变式
(2) 若函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x(a∈R)存在单调递减区间，则实数a的取值范围为____________.
【解析】
(0，＋∞)
已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f′(x)<－1，则f(x)>1－x的解集为 ( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
3
利用单调性解不等式
【解析】
令g(x)＝f(x)＋x, 因为对任意x∈R，f′(x)<－1, 所以g′(x)＝f′(x)＋1<0，即g(x)在R上单调递减．又因为f(2)＝－1，所以g(2)＝f(2)＋2＝1.由f(x)>1－x，可得f(x)＋x>1，即g(x)>g(2), 所以x<2，即不等式f(x)>1－x的解集为(－∞，2).
A
探究
3
与导函数f′(x)相关的不等关系，往往需要根据求导法则的结构特点构造新函数g(x)，将条件中的不等式转化为g′(x)的正负情况，进而借助g(x)单调性解决相关问题．
【解析】
变式
(－∞，－1)∪(0，1)
随堂内化 及时评价
【解析】
因为f(x)＝x3＋ax＋b，所以f′(x)＝3x2＋a.因为f(x)在(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以f′(1)＝3＋a＝0，所以a＝－3，b∈R.
1. 若函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，则
( )
A. a＝1，b＝1 B. a＝1，b∈R
C. a＝－3，b＝3 D. a＝－3，b∈R
D
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
ABC
【解析】
设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数y＝g(x)在R上单调递增．又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，所以要使f(x)>2x＋4，只需g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，解得x＞－1.
5. 已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，若对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为 ( )
A. (－1，1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，－1) D. (－∞，＋∞)
B
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为 ( )
A
【解析】
【解析】
C
3. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是 ( )
A. [－1，＋∞) B. (－∞，－1]
C. (－∞，－2] D. [－2，＋∞)
C
【解析】
4. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－1)＝2 024，且对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)
A. (－∞，－1) B. (－1，1)
C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
A
【解析】
设g(x)＝f(x)－x3，则g′(x)＝f′(x)－3x2>0，所以g(x)在R上为增函数．因为f(－1)＝2 024，所以g(－1)＝f(－1)－(－1)3＝2 025，所以不等式f(x)二、 多项选择题
5. 若函数f(x)＝2x＋a cos x在(0，π)上单调递增，则实数a的值可能是 ( )
A. 4 B. 3
C. 1 D. －1
CD
【解析】
【解析】
【答案】BC
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝ax3－12x＋a的单调递减区间为(－2，2)，则a＝____，函数f(x)的单调递增区间为_________________________．
【解析】
由f(x)＝ax3－12x＋a，得f′(x)＝3ax2－12.因为f(x)＝ax3－12x＋a的单调递减区间为(－2，2)，所以－2和2为方程f′(x)＝0的两个实根，所以12a－12＝0，所以a＝1.f(x)＝x3－12x＋1，令f′(x)＝3x2－12>0，解得x>2或x<－2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞).
1
(－∞，－2)和(2，＋∞)
【解析】
(1，＋∞)
【解析】
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a ln x(a>0).
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程；
【解答】
(2) 求函数f(x)的单调区间．
【解答】
10. 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a ln x(a>0).
【解答】
【解答】
【解答】
【解析】
D
【解答】
(2) 若函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，求实数a的取值范围．
【解答】
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学习 目标 1. 能利用函数单调性比较大小及解不等式． 2. 能对含参数的函数讨论单调性，利用单调性求参数范围．
典例精讲能力初成
探究1 含参函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性.
【解答】 f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
①当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
②当a>0时，若x∈∪(0，＋∞)，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
③当a<0时，若x∈(－∞，0)∪，则f′(x)>0；若x∈，则f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.
综上，当a＝0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.
研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4) 在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间．
变式 (2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性．
【解答】由函数的解析式可得f′(x)＝3x2－2x＋a，导函数的判别式Δ＝4－12a，当Δ＝4－12a≤0，即a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增．当Δ＝4－12a＞0，即a＜时，f′(x)＝0的解为x1＝，x2＝，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；当a＜时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
探究2 利用单调性求参数范围
例2 若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
【解答】 因为f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤4x＋在(0，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝4x＋，由于g(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立，所以g(x)min＝4，所以a≤4.又当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝≥0满足条件，所以a的取值范围是(－∞，4].
已知单调性求参数范围的常用方法：
(1) 子区间法，即先求出y＝f(x)的单调区间A，然后分析已知区间和A的关系．注意区间端点值能否取到.
(2) 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取等号时是否满足题意.
变式 (1) 若函数f(x)＝ax－ln x在(0，2)上不单调，则a的取值范围是____．
【解析】 f′(x)＝a－＝.①当a≤0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，2)上单调递减，不合题意. ②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝，因为f(x)在(0，2)上不单调，所以0＜＜2，解得a＞.故a的取值范围是.
(2) 若函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x(a∈R)存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__(0，＋∞)_.
【解析】依题意，f′(x)＝2x－4＋＜0在区间(0，＋∞)内有解，即g(x)＝2x2－4x＋2－a＜0在区间(0，＋∞)内有解，而g(x)图象的对称轴为x＝1且开口向上，所以必有Δ＝16－8(2－a)＞0，即a＞0.
探究3 利用单调性解不等式
例3 已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f′(x)<－1，则f(x)>1－x的解集为( A )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
【解析】令g(x)＝f(x)＋x, 因为对任意x∈R，f′(x)<－1, 所以g′(x)＝f′(x)＋1<0，即g(x)在R上单调递减．又因为f(2)＝－1，所以g(2)＝f(2)＋2＝1.由f(x)>1－x，可得f(x)＋x>1，即g(x)>g(2), 所以x<2，即不等式f(x)>1－x的解集为(－∞，2).
与导函数f′(x)相关的不等关系，往往需要根据求导法则的结构特点构造新函数g(x)，将条件中的不等式转化为g′(x)的正负情况，进而借助g(x)单调性解决相关问题．
变式 设函数f′(x)是奇函数f(x)的导函数，f(－1)＝0，g(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是__(－∞，－1)∪(0，1)_．
【解析】因为g(x)＝，则g′(x)＝.因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以当x>0时，g′(x)<0，此时函数g(x)为减函数．因为f(x)是奇函数，所以g(x)＝是偶函数，即当x<0时，g(x)为增函数．因为f(－1)＝0，所以g(－1)＝g(1)＝0.当x>0时，f(x)>0等价于g(x)＝>0，即g(x)>g(1)，此时00等价于g(x)＝<0，即g(x)随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，则( D )
A. a＝1，b＝1 B. a＝1，b∈R
C. a＝－3，b＝3 D. a＝－3，b∈R
【解析】因为f(x)＝x3＋ax＋b，所以f′(x)＝3x2＋a.因为f(x)在(－1，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，所以f′(1)＝3＋a＝0，所以a＝－3，b∈R.
2. 已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项正确的是( D )
A. f(e)B. f(π)C. f(e)D. f(2.7)【解析】f(x)的定义域是(0，＋∞)，因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为2.73. 如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是( C )
A. [－， B.
C. D.
【解析】由题意得函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，令f′(x)＝0，解得在定义域内x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又函数在区间内不单调，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为k－1≥0，得k≥1，综上k∈.
4. (多选)已知函数f(x)＝3x2－ax＋ln x在其定义域内为增函数，则a的值可能为( ABC )
A. －2 B. 2
C. 2 D. 3
【解析】函数f(x)＝3x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－a＋，因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，即a≤6x＋对x∈(0，＋∞)恒成立．因为6x＋≥2，当且仅当x＝时等号成立，所以a≤2.
5. 已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，若对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( B )
A. (－1，1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，－1) D. (－∞，＋∞)
【解析】 设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数y＝g(x)在R上单调递增．又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，所以要使f(x)>2x＋4，只需g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，解得x＞－1.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为( A )
A B
C D
【解析】当x＜0时，f(x)＝2x－ln (－x)，f′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以B，D错误；当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f′(x)＝2－＝，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以A正确.
2. 已知函数f(x)＝－＋ln 2，则( C )
A. f＝f B. fC. f>f D. f，f的大小关系无法确定
【解析】由f(x)＝－＋ln 2，得f′(x)＝－＝.当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减．因为<<1，所以f>f.
3. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( C )
A. [－1，＋∞) B. (－∞，－1]
C. (－∞，－2] D. [－2，＋∞)
【解析】因为f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上是减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋≤0，即b≤2x2－4x.因为2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，所以b≤－2.
4. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－1)＝2 024，且对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)A. (－∞，－1) B. (－1，1)
C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
【解析】设g(x)＝f(x)－x3，则g′(x)＝f′(x)－3x2>0，所以g(x)在R上为增函数．因为f(－1)＝2 024，所以g(－1)＝f(－1)－(－1)3＝2 025，所以不等式f(x)二、 多项选择题
5. 若函数f(x)＝2x＋a cos x在(0，π)上单调递增，则实数a的值可能是( CD )
A. 4 B. 3
C. 1 D. －1
【解析】由f(x)＝2x＋a cos x得f′(x)＝2－a sin x，因为函数f(x)＝2x＋a cos x在(0，π)上单调递增，所以f′(x)＝2－a sin x≥0在(0，π)上恒成立，即a≤在(0，π)上恒成立．因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0，1]，因此≥2，所以a≤2.
6. 已知函数f(x)对于任意的x∈都有f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，则下列式子成立的有( BC )
A. f＞f B. f＜f
C. f(0)＜f D. 2f(0)＞f
【解析】令g(x)＝f(x)cos x，对于任意的x∈，g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，所以g(x)＝f(x)cos x在上单调递增，所以g＜g fcos ＜fcos f＜f，故A错误；g＜g fcos ＜fcos f＜f，故B正确；g(0)＜g f(0)cos 0＜fcos f(0)＜f，故C正确；g(0)＜g f(0)cos 0＜fcos 2f(0)＜f，故D错误．
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝ax3－12x＋a的单调递减区间为(－2，2)，则a＝__1_，函数f(x)的单调递增区间为__(－∞，－2)和(2，＋∞)_．
【解析】由f(x)＝ax3－12x＋a，得f′(x)＝3ax2－12.因为f(x)＝ax3－12x＋a的单调递减区间为(－2，2)，所以－2和2为方程f′(x)＝0的两个实根，所以12a－12＝0，所以a＝1.f(x)＝x3－12x＋1，令f′(x)＝3x2－12>0，解得x>2或x<－2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞).
8. 若函数f＝－ln x在上不单调，则实数k的取值范围是__(1，＋∞)_．
【解析】因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝.令f′(x)＞0，解得x＞1；令f′(x)＜0，解得0＜x＜1.可知f(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．若函数f(x)在(0，k)上不单调，即1∈(0，k)，可得k＞1，所以实数k的取值范围是(1，＋∞).
9. 已知函数f＝ax2－ln x＋2x是减函数，则a的取值范围为___ .
【解析】由f(x)＝ax2－ln x＋2x，可得f′(x)＝2ax－＋2.因为函数f(x)＝ax2－ln x＋2x是减函数，所以f′(x)≤0对x∈(0，＋∞)恒成立，即2ax－＋2≤0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以2a≤－对x∈(0，＋∞)恒成立，所以2a≤min.又－＝2－1≥－1，当且仅当x＝1时等号成立，所以2a≤－1，所以a≤－，所以a的取值范围为.
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a ln x(a>0).
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程；
【解答】因为a＝1，所以f(x)＝x2－3x＋ln x，x>0，所以f′(x)＝(x>0).又因为f(1)＝－2，f′(1)＝0，所以所求切线方程为y＝－2.
(2) 求函数f(x)的单调区间．
【解答】f′(x)＝＝(x>0)，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝.当00，得x∈(0，a)或；由f′(x)<0，得x∈.所以f(x)的单调递增区间为(0，a)和，单调递减区间为.当a＝时，f′(x)＝≥0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．当a>时，由f′(x)>0，得x∈或(a，＋∞)；由f′(x)<0，得x∈，所以f(x)的单调递增区间为和(a，＋∞)，单调递减区间为.综上，当0时，f(x)的单调递增区间为和(a，＋∞)，单调递减区间为.
11. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1) 讨论函数f的单调区间；
【解答】由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＝3x.当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＜－或x＞0；令f′(x)＜0，得－＜x＜0，所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为.当a＜0时，令f′(x)＞0，得x＜0或x＞－；令f′(x)＜0，得0＜x＜－，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为.
(2) 若函数f在区间内单调递减，求实数a的取值范围；
【解答】由(1)知，若f(x)在内单调递减，则－≤－，解得a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞).
(3) 若函数f的单调递减区间是，求实数a的值．
【解答】由(1)知，若f(x)的单调递减区间是，则－＝－，解得a＝1.
12. 已知f＝a ln x＋x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是( D )
A. B.
C. D.
【解析】根据＞2，可知＞0.令g(x)＝f(x)－2x＝a ln x＋x2－2x(a＞0)，由＞0知g(x)为增函数，所以g′(x)＝＋x－2≥0(x＞0，a＞0)恒成立，则a≥x(2－x).而当x＞0时，x(2－x)在x＝1时有最大值为1，故a≥1.
13. 若函数f(x)是定义域D内某个区间I上的增函数，且F(x)＝在I上是减函数，则称函数f(x)是I上的“单反减函数”．已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋＋a ln x(a∈R).
(1) 判断函数f(x)在(0，1)上是不是“单反减函数”；
【解答】函数f(x)＝ln x在(0，1)上是增函数．因为F(x)＝＝，所以F′(x)＝，所以当x∈(0，1)时，F′(x)>0，所以F(x)在(0，1)上为增函数，所以函数f(x)在(0，1)上不是“单反减函数”．
(2) 若函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，求实数a的取值范围．
【解答】因为g(x)＝2x＋＋a ln x，所以g′(x)＝.因为函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，所以g(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝2x2＋ax－2，则h(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以h(1)≥0，解得a≥0.令G(x)＝，则G(x)＝2＋＋在[1，＋∞)上是减函数．又因为G′(x)＝－＋，所以G′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即－＋≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即ax－ax ln x－4≤0在x∈[1，＋∞)上恒成立．令P(x)＝ax－ax ln x－4，则P′(x)＝－a ln x<0，所以 解得0≤a≤4.综上所述，实数a的取值范围为[0，4].第2课时 函数单调性的应用
学习 目标 1. 能利用函数单调性比较大小及解不等式． 2. 能对含参数的函数讨论单调性，利用单调性求参数范围．
典例精讲能力初成
探究1 含参函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性.
研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求导数f′(x)；
(3) 分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4) 在不同的参数范围内，解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0，确定函数f(x)的单调区间．
变式 (2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1，讨论f(x)的单调性．
探究2 利用单调性求参数范围
例2 若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围.
已知单调性求参数范围的常用方法：
(1) 子区间法，即先求出y＝f(x)的单调区间A，然后分析已知区间和A的关系．注意区间端点值能否取到.
(2) 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取等号时是否满足题意.
变式 (1) 若函数f(x)＝ax－ln x在(0，2)上不单调，则a的取值范围是_________________．
(2) 若函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x(a∈R)存在单调递减区间，则实数a的取值范围为_______________.
探究3 利用单调性解不等式
例3 已知函数f(x)的定义域为R，f(2)＝－1，对任意x∈R，f′(x)<－1，则f(x)>1－x的解集为( )
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－1，1) D. (1，＋∞)
与导函数f′(x)相关的不等关系，往往需要根据求导法则的结构特点构造新函数g(x)，将条件中的不等式转化为g′(x)的正负情况，进而借助g(x)单调性解决相关问题．
变式 设函数f′(x)是奇函数f(x)的导函数，f(－1)＝0，g(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是_______________．
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，则( )
A. a＝1，b＝1 B. a＝1，b∈R
C. a＝－3，b＝3 D. a＝－3，b∈R
2. 已知函数f(x)＝＋ln x，则下列选项正确的是( )
A. f(e)B. f(π)C. f(e)D. f(2.7)3. 如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，那么实数k的取值范围是( )
A. [－， B.
C. D.
4. (多选)已知函数f(x)＝3x2－ax＋ln x在其定义域内为增函数，则a的值可能为( )
A. －2 B. 2
C. 2 D. 3
5. 已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，若对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A. (－1，1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，－1) D. (－∞，＋∞)
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知函数f(x)＝2x－ln |x|，则f(x)的大致图象为( )
A B
C D
2. 已知函数f(x)＝－＋ln 2，则( )
A. f＝f B. fC. f>f D. f，f的大小关系无法确定
3. 若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A. [－1，＋∞) B. (－∞，－1]
C. (－∞，－2] D. [－2，＋∞)
4. 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－1)＝2 024，且对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)A. (－∞，－1) B. (－1，1)
C. (1，＋∞) D. (－∞，1)
二、 多项选择题
5. 若函数f(x)＝2x＋a cos x在(0，π)上单调递增，则实数a的值可能是( )
A. 4 B. 3
C. 1 D. －1
6. 已知函数f(x)对于任意的x∈都有f′(x)cos x－f(x)sin x＞0，则下列式子成立的有( )
A. f＞f B. f＜f
C. f(0)＜f D. 2f(0)＞f
三、 填空题
7. 若函数f(x)＝ax3－12x＋a的单调递减区间为(－2，2)，则a＝__1_，函数f(x)的单调递增区间为________________．
8. 若函数f＝－ln x在上不单调，则实数k的取值范围是________________．
9. 已知函数f＝ax2－ln x＋2x是减函数，则a的取值范围为_______________ .
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a ln x(a>0).
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1) )处的切线方程；
(2) 求函数f(x)的单调区间．
11. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1) 讨论函数f的单调区间；
(2) 若函数f在区间内单调递减，求实数a的取值范围；
(3) 若函数f的单调递减区间是，求实数a的值．
12. 已知f＝a ln x＋x2(a＞0)，若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13. 若函数f(x)是定义域D内某个区间I上的增函数，且F(x)＝在I上是减函数，则称函数f(x)是I上的“单反减函数”．已知f(x)＝ln x，g(x)＝2x＋＋a ln x(a∈R).
(1) 判断函数f(x)在(0，1)上是不是“单反减函数”；
(2) 若函数g(x)是[1，＋∞)上的“单反减函数”，求实数a的取值范围．