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第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
第3课时 函数的极值
学习 目标 1. 了解极值概念并理解极值是函数的局部概念．
2. 会求函数的极值，能通过极值求参数．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝____，而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_______叫做函数y＝f(x)的极小值．
2. 极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝____，而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧____________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，_______叫做函数y＝f(x)的极大值．
3. 极小值点、极大值点统称为_________；极小值和极大值统称为_______．
0
f′(x)＜0
f′(x)＞0
f(a)
0
f′(x)＞0
f′(x)＜0
f(b)
极值点
极值
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的极大值点与极小值点都可能不唯一． ( )
(2) 一个函数的极大值点一定大于极小值． ( )
(3) 函数的极值点一定是导数等于零的点． ( )
(4) 导数为零的点一定是函数的极值点． ( )
(5) 一个函数在某个闭区间的端点处可能取极值． ( )
√
×
√
×
×
典例精讲 能力初成
已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( )
A. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(1)
B. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(－2)
D. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
1
根据函数图象判断函数极值
【解析】
由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
D
探究
1
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1) 由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2) 由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
变式
从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故A正确．当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故B正确．当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1，0)上单调递减，故C错误；当x∈(0，1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；而在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确．
【答案】ABD
【解析】
(教材P91例5补充)求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－12x；
2
求函数的极值
【解答】
函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
探究
2
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
【解答】
(教材P91例5补充)求下列函数的极值：
2
求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1) 确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2) 求方程f′(x)＝0的根；
(3) 列表；
(4) 利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
【解答】
又ex>0，由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.当x∈(－∞，－1)和(2，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
变式
已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝_____．
3
已知极值求参数
【解析】
探究
3
11
由于可导函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的必要不充分条件，为此已知极值求参数时必须检验充分性．
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1) 求a和b的值；
【解答】
由f(x)＝x3＋ax2＋bx，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为1和－1是函数f(x)的两个极值点，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′(－1)＝3－2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.经检验，a＝0，b＝－3时，f′(x)＝3x2－3，显然符合题意．综上所述，a＝0，b＝－3.
变式
(2) 设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
【解答】
由(1)得f(x)＝x3－3x，所以令g′(x)＝f(x)＋2＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，解得x1＝x2＝1，x3＝－2.因为当x<－2时，g′(x)<0；当－20，所以－2是g(x)的极小值点．因为当－21时，g′(x)>0，所以1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点是－2，无极大值点．
若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
f′(x)＝3ax2＋2bx＋c为二次函数，其图象与x轴有两个交点，结合函数f(x)的极值可知函数f(x)在区间(－∞，x1)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增，则导函数f′(x)在区间(－∞，x1)上为正数，在区间(x1，x2)上为负数，在区间(x2，＋∞)上为正数．观察所给的函数图象可知，只有C符合题意．
1. 若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极大值点x1和极小值点x2(x1C
【解析】
C
【解析】
AB
【解析】
f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
4. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_________________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解析】
2ln 2
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示的是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点________处，函数y＝f(x)有极大值 ( )
A. x2 B. x3
C. x5 D. x4
【解析】
由导函数y＝f′(x)的图象，可得当x0，此时函数y＝f(x)为增函数；当x3x5时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)为增函数，故当x＝x3时，函数y＝f(x)有极大值．
B
2. 若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)的极大值点为a－2，则a等于 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
B
【解析】
【解析】
C
【解析】
C
二、 多项选择题
5. 如图所示的是函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是
( )
A. f(x)在x＝1处取得极大值
B. x＝－1是f(x)的极小值点
C. f(x)在x＝2处取得极大值
D. x＝2是f(x)的极小值点
【解析】
当x＝1时，f′(1)≠0，所以x＝1不是 f(x)的极值点，所以A错误；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－3，－1)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，所以x＝－1是 f(x)的极小值点，所以B正确；当x∈(2，4)时，f′(x)<0，所以f(x)在(2，4)上单调递减，所以x＝2是f(x)的极大值点，所以C正确，D错误．
BC
【解析】
【答案】BC
【解析】
ABC
三、 填空题
8. 函数f(x)＝x2－ln x的极值点是_____．
【解析】
9. 设函数f(x)＝ax3＋x2＋bx＋1在x＝1和x＝2处都有极值，则ab＝_____，极大值是_____．
【解析】
10. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，则实数m的取值范围为_________________________．
【解析】
因为函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，所以f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6有两个不相等的实根，所以Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.
(－∞，－3)∪(6，＋∞)
四、 解答题
11. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1) ＝－1.
(1) 求常数a，b，c的值；
【解答】
(2) 判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
【解答】
11. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1) ＝－1.
12. 已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
【解答】
(2) 求函数f(x)的极值．
【解答】
12. 已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
【解析】
若a＝b，则f(x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.所以f(x)有a和b两个不同零点，且在x＝a左右附近不变号，在x＝b左右附近变号．依题意，a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，所以在x＝a左右附近都是小于零的．当a＜0时，由x＞b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图(1)所示，由图可知b＜a，a＜0，故ab＞a2.
图(1)
当a＞0时，由x＞b时，f(x)＞0，画出f(x)的图象如图(2)所示，由图可知b＞a，a＞0，故ab＞a2.综上所述，ab＞a2成立．
图(2)
【答案】D
【解析】
【答案】D
谢谢观赏第3课时 函数的极值
学习 目标 1. 了解极值概念并理解极值是函数的局部概念． 2. 会求函数的极值，能通过极值求参数．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝__0_，而且在点x＝a附近的左侧__f′(x)＜0_，右侧__f′(x)＞0_，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，__f(a)_叫做函数y＝f(x)的极小值．
2. 极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝__0_，而且在点x＝b附近的左侧__f′(x)＞0_，右侧__f′(x)＜0_，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，__f(b)_叫做函数y＝f(x)的极大值．
3. 极小值点、极大值点统称为__极值点_；极小值和极大值统称为__极值_．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的极大值点与极小值点都可能不唯一．( √ )
(2) 一个函数的极大值点一定大于极小值．( × )
(3) 函数的极值点一定是导数等于零的点．( √ )
(4) 导数为零的点一定是函数的极值点．( × )
(5) 一个函数在某个闭区间的端点处可能取极值．( × )
典例精讲能力初成
探究1 根据函数图象判断函数极值
例1 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( D )
(例1)
A. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(1)
B. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(－2)
D. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1) 由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2) 由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
变式 (多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的是( ABD )
(变式)
A. 函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
B. 函数f(x)在x＝－1处取得极大值
C. 函数f(x)在x＝－处取得极大值
D. 函数f(x)在x＝1处取得极小值
【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故A正确．当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)>0；当x∈(－1，0)时，xf′(x)>0，所以f′(x)<0，故函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故B正确．当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1，0)上单调递减，故C错误；当x∈(0，1)时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；而在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确．
探究2 求函数的极值
例2 (教材P91例5补充)求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－12x；
【解答】函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2) f(x)＝.
【解答】函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ↗ － ↘ ↗ 3 ↗
故当x＝－1时，函数f(x)有极大值，且极大值为f(－1)＝－，无极小值．
求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1) 确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2) 求方程f′(x)＝0的根；
(3) 列表；
(4) 利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
变式 已知函数f(x)＝，求函数y＝f(x)的极值．
【解答】函数f(x)＝的定义域为R，
且f′(x)＝
＝
＝＝，
又ex>0，由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.当x∈(－∞，－1)和(2，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．由f(x)的单调性知，f(x)极小值＝f(－1)＝－e，f(x)极大值＝f(2)＝5e-2＝.
探究3 已知极值求参数
例3 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝__11_．
【解析】因为f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2，所以f′(x)＝3x2＋6mx＋n，依题意可得 解得或当m＝1，n＝3时，f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，函数f(x)无极值，舍去．当m＝2，n＝9时，经检验，符合题意，故m＋n＝11.
由于可导函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的必要不充分条件，为此已知极值求参数时必须检验充分性．
变式 若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1) 求a和b的值；
【解答】由f(x)＝x3＋ax2＋bx，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为1和－1是函数f(x)的两个极值点，所以f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′(－1)＝3－2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.经检验，a＝0，b＝－3时，f′(x)＝3x2－3，显然符合题意．综上所述，a＝0，b＝－3.
(2) 设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
【解答】由(1)得f(x)＝x3－3x，所以令g′(x)＝f(x)＋2＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，解得x1＝x2＝1，x3＝－2.因为当x<－2时，g′(x)<0；当－20，所以－2是g(x)的极小值点．因为当－21时，g′(x)>0，所以1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点是－2，无极大值点．
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极大值点x1和极小值点x2(x1A B
C D
【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c为二次函数，其图象与x轴有两个交点，结合函数f(x)的极值可知函数f(x)在区间(－∞，x1)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增，则导函数f′(x)在区间(－∞，x1)上为正数，在区间(x1，x2)上为负数，在区间(x2，＋∞)上为正数．观察所给的函数图象可知，只有C符合题意．
2. 已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)的极小值为( C )
A. B. e
C. － D. －e
【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x.令f′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝.当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以当x＝时，函数取得极小值，极小值为f＝－.
3. (多选)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的值可能为( AB )
A. B.
C. D.
【解析】由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c>0，解得c<.
4. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)_.
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
5. 已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为__2ln 2_．
【解析】f′(x)＝－，故f′(e)＝－，解得f′(e)＝，所以f(x)＝2ln x－，f′(x)＝－.由f′(x)＞0，得0＜x＜2e；由f′(x)＜0，得x＞2e，所以函数f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示的是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点________处，函数y＝f(x)有极大值( B )
(第1题)
A. x2 B. x3
C. x5 D. x4
【解析】由导函数y＝f′(x)的图象，可得当x0，此时函数y＝f(x)为增函数；当x3x5时，f′(x)>0，此时函数y＝f(x)为增函数，故当x＝x3时，函数y＝f(x)有极大值．
2. 若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)的极大值点为a－2，则a等于( B )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
【解析】f′(x)＝3x2－2ax.当x<0或x>时，f′(x)>0；当03. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，若1和－1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1x2等于( C )
A. －1 B. 1
C. － D.
【解析】f(x)＝x(ax2＋bx＋c)，若1和－1是函数f(x)的两个零点，即1和－1是方程ax2＋bx＋c＝0，a≠0的两根，所以解得b＝0，c＝－a，所以f(x)＝ax3－ax，f′(x)＝3ax2－a.由已知得x1和x2是f′(x)＝0的两根，所以x1·x2＝＝－.
4. 函数y＝x＋2cos x在上的极大值点为( C )
A. 0 B.
C. D.
【解析】函数y＝x＋2cos x的导数为y′＝1－2sin x，因为x∈，由y′＝1－2sin x＝0，可得sin x＝，解得x＝.当x∈时，y′>0，当x∈时，y′<0，所以函数y＝x＋2cos x在x∈上单调递增，在x∈上单调递减，所以使得函数y＝x＋2cos x取得极大值时x的值为.
二、 多项选择题
5. 如图所示的是函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( BC )
(第5题)
A. f(x)在x＝1处取得极大值
B. x＝－1是f(x)的极小值点
C. f(x)在x＝2处取得极大值
D. x＝2是f(x)的极小值点
【解析】当x＝1时，f′(1)≠0，所以x＝1不是 f(x)的极值点，所以A错误；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1，2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－3，－1)上单调递减，在(－1，2)上单调递增，所以x＝－1是 f(x)的极小值点，所以B正确；当x∈(2，4)时，f′(x)<0，所以f(x)在(2，4)上单调递减，所以x＝2是f(x)的极大值点，所以C正确，D错误．
6. 下列函数中存在极值的是( BC )
A. f(x)＝ B. f(x)＝x－ex
C. f(x)＝＋3ln x D. f(x)＝x3
【解析】对于A，f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝－<0，所以f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，不存在极值，故A不正确．对于B，由f(x)＝x－ex的定义域为R，f′(x)＝1－ex，由f′(x)>0，得x<0；由f′(x)<0，得x>0，所以f(x)＝x－ex在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在x＝0处取得极大值，故B正确．对于C，函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得07. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( ABC )
A. f(x)>0的解集是{x|0B. f(－)是极小值
C. f()是极大值
D. f(－)是极大值
【解析】由f(x)>0 2x－x2>0，解得0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－0，f(x)单调递增，所以当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确，C正确，D错误．
三、 填空题
8. 函数f(x)＝x2－ln x的极值点是___．
【解析】函数f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＝0，得x＝或－(舍去).当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的极值点是.
9. 设函数f(x)＝ax3＋x2＋bx＋1在x＝1和x＝2处都有极值，则ab＝___，极大值是___．
【解析】f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因为函数f(x)＝ax3＋x2＋bx＋1在x＝1和x＝2处都有极值．所以解得经检验符合题意，所以ab＝.所以f′(x)＝－x2＋2x－，当x∈(－∞，1)，(2，＋∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)的减区间为(－∞，1)，(2，＋∞).当x∈(1，2)时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，2).所以函数f(x)有极大值f(2)＝8a＋4＋2b＋1＝.
10. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，则实数m的取值范围为__(－∞，－3)∪(6，＋∞)_．
【解析】因为函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，所以f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6有两个不相等的实根，所以Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3或m>6.
四、 解答题
11. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1) ＝－1.
(1) 求常数a，b，c的值；
【解答】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得又因为f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1③.由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2) 判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
【解答】由(1)知f(x)＝x3－x，所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1).当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－112. 已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
【解答】当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x, f′(x)＝－2x＋1＝－，x>0.当f′(x)<0时，x>1；当f′(x)>0时，0(2) 求函数f(x)的极值．
【解答】f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－2x＋(2a－1)＝－，若a≤0，则f′(x)＜0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值．若a＞0，则由f′(x)＝0，解得x＝a.当0＜x＜a时，f′(x)>0；当x＞a时，f′(x)<0，此时f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以当x＝a时，函数f(x)取得极大值为f(a)＝a(ln a＋a－1)，无极小值．
13. (2021·全国乙卷)设a≠0，若a为函数f＝a2的极大值点，则( D )
A. a＜b B. a＞b
C. ab＜a2 D. ab＞a2
【解析】若a＝b，则f(x)＝a(x－a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.所以f(x)有a和b两个不同零点，且在x＝a左右附近不变号，在x＝b左右附近变号．依题意，a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，所以在x＝a左右附近都是小于零的．当a＜0时，由x＞b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如图(1)所示，由图可知b＜a，a＜0，故ab＞a2.当a＞0时，由x＞b时，f(x)＞0，画出f(x)的图象如图(2)所示，由图可知b＞a，a＞0，故ab＞a2.综上所述，ab＞a2成立．
图(1) 图(2)
(第13题答)
14. 已知函数f(x)＝x ln x＋x2，x0是函数f(x) 的极值点，则以下结论中正确的是( D )
A. 0
C. f(x0)＋2x0<0 D. f(x0)＋2x0>0
【解析】因为f′(x)＝ln x＋1＋2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝ln x＋1＋2x至多有一个零点，又f′＝>0，f′＝－1<0，根据零点存在性定理可知f′(x)＝ln x＋1＋2x在上存在零点．因为x0是函数f(x)的极值点，所以ln x0＋1＋2x0＝0，且g>0，所以f(x0)＋2x0>0.第3课时 函数的极值
学习 目标 1. 了解极值概念并理解极值是函数的局部概念． 2. 会求函数的极值，能通过极值求参数．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝______________，而且在点x＝a附近的左侧________________，右侧________________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_______________叫做函数y＝f(x)的极小值．
2. 极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝________________，而且在点x＝b附近的左侧_______________，右侧_______________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______________叫做函数y＝f(x)的极大值．
3. 极小值点、极大值点统称为________________；极小值和极大值统称为_______________．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 一个函数的极大值点与极小值点都可能不唯一．( )
(2) 一个函数的极大值点一定大于极小值．( )
(3) 函数的极值点一定是导数等于零的点．( )
(4) 导数为零的点一定是函数的极值点．( )
(5) 一个函数在某个闭区间的端点处可能取极值．( )
典例精讲能力初成
探究1 根据函数图象判断函数极值
例1 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
(例1)
A. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(1)
B. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C. f(x)有极大值f(2) 和极小值f(－2)
D. f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1) 由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2) 由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．
变式 (多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列说法正确的是( )
(变式)
A. 函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
B. 函数f(x)在x＝－1处取得极大值
C. 函数f(x)在x＝－处取得极大值
D. 函数f(x)在x＝1处取得极小值
探究2 求函数的极值
例2 (教材P91例5补充)求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－12x；
(2) f(x)＝.
求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1) 确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2) 求方程f′(x)＝0的根；
(3) 列表；
(4) 利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
变式 已知函数f(x)＝，求函数y＝f(x)的极值．
探究3 已知极值求参数
例3 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝______________．
由于可导函数y＝f(x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的必要不充分条件，为此已知极值求参数时必须检验充分性．
变式 若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1) 求a和b的值；
(2) 设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
随堂内化及时评价
1. 若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极大值点x1和极小值点x2(x1A B
C D
2. 已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)的极小值为( )
A. B. e
C. － D. －e
3. (多选)已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的值可能为( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_______________.
5. 已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则函数f(x)的极大值为________________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 如图所示的是导函数y＝f′(x)的图象，在标记的点________处，函数y＝f(x)有极大值( )
(第1题)
A. x2 B. x3
C. x5 D. x4
2. 若函数f(x)＝x3－ax2(a>0)的极大值点为a－2，则a等于( )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
3. 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，若1和－1是函数f(x)的两个零点，x1和x2是f(x)的两个极值点，则x1x2等于( )
A. －1 B. 1
C. － D.
4. 函数y＝x＋2cos x在上的极大值点为( )
A. 0 B.
C. D.
二、 多项选择题
5. 如图所示的是函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是( )
(第5题)
A. f(x)在x＝1处取得极大值
B. x＝－1是f(x)的极小值点
C. f(x)在x＝2处取得极大值
D. x＝2是f(x)的极小值点
6. 下列函数中存在极值的是( )
A. f(x)＝ B. f(x)＝x－ex
C. f(x)＝＋3ln x D. f(x)＝x3
7. 下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是( )
A. f(x)>0的解集是{x|0B. f(－)是极小值
C. f()是极大值
D. f(－)是极大值
三、 填空题
8. 函数f(x)＝x2－ln x的极值点是_______________．
9. 设函数f(x)＝ax3＋x2＋bx＋1在x＝1和x＝2处都有极值，则ab＝______________，极大值是_______________．
10. 已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1存在极值，则实数m的取值范围为_______________．
四、 解答题
11. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1) ＝－1.
(1) 求常数a，b，c的值；
(2) 判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
12. 已知函数f(x)＝a ln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R.
(1) 当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2) 求函数f(x)的极值．
13. (2021·全国乙卷)设a≠0，若a为函数f＝a2的极大值点，则( )
A. a＜b B. a＞b
C. ab＜a2 D. ab＞a2
14. 已知函数f(x)＝x ln x＋x2，x0是函数f(x) 的极值点，则以下结论中正确的是( )
A. 0
C. f(x0)＋2x0<0 D. f(x0)＋2x0>0
