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第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
第4课时 函数的最大(小)值
学习 目标 1. 能通过研究函数单调性求函数的最值，体会导数在求最值中的应用．
2. 通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，对变量数学的思想方法有新的感悟．
新知初探 基础落实
一、 概念表述
1. 对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得______________，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得______________，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
2. 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条_________________，那么它必有最大值和最小值．
f(x0)≤f(x)
f(x0)≥f(x)
连续不断的曲线
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数的最大值和最小值都唯一． ( )
(2) 函数的最大值就是极值和端点值中的最大者． ( )
(3) 在有限的区间长度内，函数一定存在最值． ( )
(4) 如果一个函数有唯一的极值点，那么这个极值点就是最值点． ( )
√
√
×
√
典例精讲 能力初成
1
不含参数的函数的最大(小)值
【解答】
探究
1
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
【解答】
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
变式
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
(2) 求函数f(x)在[0，3]上的最值．
【解答】
变式
已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
2
含参数函数的最大(小)值
【解答】
探究
2
含参函数最值问题的两类情况：
(1) 能根据条件求出参数，从而化为不含参函数的最值问题．
(2) 对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，函数最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定函数最值．
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；
【解答】
变式
(2) 当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
【解答】
设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
变式
3
根据最值求参数
【解析】
探究
3
【答案】C
【解析】
A
由函数的最值求参数的基本思路：
(1) 求导数f′(x)，并求极值；
(2) 利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
(3) 利用函数的最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
随堂内化 及时评价
【解析】
A
【解析】
f′(x)＝－12＋3x2＝3(x＋2)(x－2)，当－3≤x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－2
2. 函数f(x)＝x3－12x在区间[－3，1]上的最小值是 ( )
A. －10 B. －11 C. －15 D. －18
B
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
5. (多选)已知函数f(x)＝ln x－x＋a－1，若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，则实数a的值可能是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
CD
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为 ( )
A. 1－e B. －1 C. －e D. 0
B
【解析】
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
【答案】B
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x3－2x2，x∈[－1，3]，则下列判断正确的是 ( )
A. 最大值为9 B. 最小值为－3
C. 函数f(x)在区间[1，3]上单调递增 D. x＝0是它的极大值点
ABD
【解析】
【解析】
【答案】AB
三、 填空题
7. 函数y＝3x3－9x＋5在[－2，2]上的最大值与最小值之差为_____．
12
【解析】
因为y＝3x3－9x＋5，所以令y′＝9x2－9＝0，解得x1＝1，x2＝－1.令y′>0，解得x>1或x<－1；令y′<0，解得－18. 若函数f(x)＝x3－6x＋a在[－2，1]上的最大值是4，则a＝_________．
【解析】
【解析】
2
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝(x2－4)(2x－a)，a∈R，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(－1)＝0.
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
【解答】
(2) 求函数f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
【解答】
10. 已知函数f(x)＝(x2－4)(2x－a)，a∈R，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(－1)＝0.
【解答】
【解答】
【答案】D
【解析】
【解析】
【答案】B
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学习 目标 1. 能通过研究函数单调性求函数的最值，体会导数在求最值中的应用． 2. 通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，对变量数学的思想方法有新的感悟．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得__f(x0)≤f(x)_，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得__f(x0)≥f(x)_，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
2. 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__连续不断的曲线_，那么它必有最大值和最小值．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数的最大值和最小值都唯一．( √ )
(2) 函数的最大值就是极值和端点值中的最大者．( √ )
(3) 在有限的区间长度内，函数一定存在最值．( × )
(4) 如果一个函数有唯一的极值点，那么这个极值点就是最值点．( √ )
典例精讲能力初成
探究1 不含参数的函数的最大(小)值
例1 (教材P93例6补充)已知函数f(x)＝x3＋x2－2x，求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．
【解答】令f′(x)＝3x2＋x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －2 (－2， －1) －1 (－1， ) (， 1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －2 ↗ ↘ － ↗ －
所以－1与是函数f(x)在(－2，1)上的两个极值点，而f(－2)＝－2，f(－1)＝，f＝－，f(1)＝－，所以函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值是f(－1)＝，最小值是f(－2)＝－2.
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
变式 已知函数f(x)＝x3－4x＋4.
(1) 求函数f(x)的极值；
【解答】因为f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故当x＝－2时，f(x)取得极大值，f(－2)＝；当x＝2时，f(x)取得极小值，f(2)＝－.
(2) 求函数f(x)在[0，3]上的最值．
【解答】由(1)可知f(x)的极大值为，极小值为－，f(0)＝4，f(3)＝1.因为－<1<4，所以f(x)在[0，3]上的最大值为4，最小值为－.
探究2 含参数函数的最大(小)值
例2 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
【解答】f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝a.①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.③当a<0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝a3.综上所述，当a>0时，f(x)的最小值为－a3；当a＝0时，f(x)的最小值为0；当a<0时，f(x)的最小值为a3.
含参函数最值问题的两类情况：
(1) 能根据条件求出参数，从而化为不含参函数的最值问题．
(2) 对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，函数最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定函数最值．
变式 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；
【解答】f(x)的定义域为R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1＜x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＜0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
(2) 当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
【解答】因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0.①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1.由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0＜a＜1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1＜a＜4时，f(x)在x＝0处取得最小值．
探究3 根据最值求参数
例3 (1) 若函数f(x)＝x3＋x2－2在区间(a－4，a)上存在最小值，则a的取值范围是( C )
A. (0，4) B. [0，4)
C. [1，4) D. (1，4)
【解析】因为f(x)＝x3＋x2－2，所以f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，令f′(x)>0，解得x<－2或x>0；令f′(x)<0，解得－2(2) 已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( A )
A. －1 B.
C. D. ＋1
【解析】由f(x)＝，得f′(x)＝，当a>1时，若x>，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若10，f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，解得a＝<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不符合题意．当0由函数的最值求参数的基本思路：
(1) 求导数f′(x)，并求极值；
(2) 利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
(3) 利用函数的最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是( A )
A. － B. 2
C. ＋ D. ＋1
【解析】由f(x)＝x＋2cos x，x∈，得f′(x)＝1－2sin x>0，所以f(x)在上单调递增，故f(x)的最小值为f＝－.
2. 函数f(x)＝x3－12x在区间[－3，1]上的最小值是( B )
A. －10 B. －11
C. －15 D. －18
【解析】f′(x)＝－12＋3x2＝3(x＋2)(x－2)，当－3≤x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－23. (2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于( B )
A. －1 B. －
C. D. 1
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题可知，f(1)＝－2，f′(1)＝0，而f′(x)＝－，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′(x)＝－＋，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，在x＝1时取最大值，满足题意，故f′(2)＝－1＋＝－.
4. 已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( D )
A. 当x＝时，f(x)取最大值
B. 当x＝时，f(x)取最小值
C. 当x＝－时，f(x)取最大值
D. 当x＝－时，f(x)取最小值
【解析】因为函数f(x)＝x·2x，所以f′(x)＝2x＋x·2x·ln 2.令f′(x)＝0，得x＝－.当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
5. (多选)已知函数f(x)＝ln x－x＋a－1，若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，则实数a的值可能是( CD )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】由f(x)＝ln x－x＋a－1，得f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，则x＝1.所以当00，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝a－2.因为存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，所以只需f(x)max＝a－2≥0，所以a≥2，所以a的取值范围为[2，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( B )
A. 1－e B. －1
C. －e D. 0
【解析】f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，故当x＝1时f(x)取得极大值，也为最大值，f(1)＝－1.
2. 函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是( C )
A. ＋1 B. ＋
C. ＋ D.
【解析】令y′＝1－2sin x＝0，得x＝，易知y＝x＋2cos x在区间上是增函数，在区间上是减函数．当x＝时，y取得最大值，此时y＝＋.
3. 已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1，4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b等于( C )
A. B.
C. D.
【解析】f′(x)＝4ax3－12ax2＝4ax2(x－3).令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去).当1≤x<3时，f′(x)<0；当30，故x＝3为极小值点，也是最小值点．因为f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，所以f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b，所以解得所以a＋b＝.
4. 已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)在内的最大值为( B )
A. － B. 2ln 3－
C. －1 D. 2ln 2－4
【解析】因为f(x)＝2ln x＋ax2－3x，所以f′(x)＝＋2ax－3.由题意可得f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，则f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝.令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝2，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x 1 (1，2) 2 (2，3]
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(1)＝－，极小值为f(2)＝2ln 2－4.又因为f＝－2ln 2－，f(3)＝2ln 3－，f(3)－f(1)＝2ln 3－＋＝2ln 3－2＝2(ln 3－1)>0，即f(1)二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x3－2x2，x∈[－1，3]，则下列判断正确的是( ABD )
A. 最大值为9
B. 最小值为－3
C. 函数f(x)在区间[1，3]上单调递增
D. x＝0是它的极大值点
【解析】f′(x)＝3x2－4x，令f′(x)＝3x2－4x>0，解得x<0或x>.当x∈[－1，0)，时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，C错误.0是它的极大值点，D正确．因为f(0)＝0，f(3)＝27－2×9＝9，所以函数f(x)的最大值为9，A正确．因为f(－1)＝－1－2＝－3，f＝－2×＝－，所以函数f(x)的最小值为－3，B正确．
6. 若f(x)＝xa·cos x，x∈的最大值为M，则( AB )
A. 当a＝－1时，M<
B. 当a＝2时，M<
C. 当a＝1时，M>
D. 当a＝3时，M<
【解析】对于A，当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝<0在区间上恒成立， 所以f(x)在区间上单调递减，所以M＝＝<，故A正确．对于B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－x tan x)>0在区间上恒成立，所以f(x)在区间上单调递增，即M＝<，故B正确．对于C，当a＝1时，当x∈时，x0在区间上恒成立，所以f(x)在区间[，]上单调递增，所以M＝·>，故D错误．
三、 填空题
7. 函数y＝3x3－9x＋5在[－2，2]上的最大值与最小值之差为__12_．
【解析】因为y＝3x3－9x＋5，所以令y′＝9x2－9＝0，解得x1＝1，x2＝－1.令y′>0，解得x>1或x<－1；令y′<0，解得－18. 若函数f(x)＝x3－6x＋a在[－2，1]上的最大值是4，则a＝__4－4_．
【解析】函数f(x)＝x3－6x＋a，f′(x)＝3x2－6.当x∈[－2，－)时，f′(x)>0；当x∈(－，1]时，f′(x)<0.所以f(x)在[－2，1]上的最大值是f(－)＝4＋a＝4，解得a＝4－4.
9. 如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么a＝__2_， f(x)在[－1，1]上的最小值是__－_．
【解析】f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当－10，则f(x)为增函数；当0四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝(x2－4)(2x－a)，a∈R，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(－1)＝0.
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
【解答】由f(x)＝(x2－4)(2x－a)，得f′(x)＝6x2－2ax－8.因为f′(－1)＝0，所以6＋2a－8＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝6x2－2x－8＝(2x＋2)(3x－4).令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.所以当x<－1或x>时，f′(x)>0；当－1(2) 求函数f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
【解答】由(1)知f(x)在(－2，－1)和上单调递增，在上单调递减．又因为f(－2)＝f(2)＝0，f(－1)＝9，f＝－，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝9，f(x)min＝－.
11. 已知函数f(x)＝x3－bx2＋2x＋a，x＝2是f(x)的一个极值点．
(1) 求f(x)的单调递增区间；
【解答】f′(x)＝x2－2bx＋2，因为x＝2是f(x)的一个极值点，所以x＝2是方程x2－2bx＋2＝0的一个根，解得b＝.令f′(x)>0，则x2－3x＋2>0，解得x<1或x>2，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞).
(2) 若当x∈[1，3]时，f(x)－a2>恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】因为当x∈(1，2)时f′(x)<0，当x∈(2，3)时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增．所以f(2)是f(x)在区间[1，3]上的最小值，且 f(2)＝＋a.若当x∈[1，3]时，f(x)－a2>恒成立，只需f(2)>a2＋，即＋a>a2＋，解得 012. 若 a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)可以作为一个三角形的三条边长，则称函数g(x)是区间D上的“稳定函数”．已知函数f(x)＝＋m是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为( D )
A. B.
C. D.
【解析】因为f′(x)＝，所以当x∈时，f′(x)>0；当x∈(e，e2]时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在(e，e2]上单调递减，所以f(x)max＝f(e)＝＋m.又因为f＝－2e2＋m，f(e2)＝＋m，所以f(x)min＝－2e2＋m.由“稳定函数”定义可知2f(x)min>f(x)max，即2(－2e2＋m)>＋m，解得m>4e2＋，即实数m的取值范围为.
13. 若函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－m，m)上存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为( B )
A. B.
C. D. (1，＋∞)
【解析】令f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝1.因为区间(－m，m)的端点是开区间，所以函数f(x)在区间(－m，m)上存在最大值和最小值，只能是极值点处取得最大值和最小值．当x变化时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －m (－m， －1) －1 (－1， 1) 1 (1， m) m
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) m3－ 3m ↘ －2 ↗ 2 ? －2m3 ＋ 3m
可作出f(x)的大致图象如图所示，由－x3＋3x＝2，得x＝1或－2；由－x3＋3x＝－2，得x＝－1或x＝2，则，解得1＜m≤.
(第13题答)第4课时 函数的最大(小)值
学习 目标 1. 能通过研究函数单调性求函数的最值，体会导数在求最值中的应用． 2. 通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，对变量数学的思想方法有新的感悟．
新知初探基础落实
一、 概念表述
1. 对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得________________，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得_______________，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
2. 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________，那么它必有最大值和最小值．
二、 概念辨析：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1) 函数的最大值和最小值都唯一．( )
(2) 函数的最大值就是极值和端点值中的最大者．( )
(3) 在有限的区间长度内，函数一定存在最值．( )
(4) 如果一个函数有唯一的极值点，那么这个极值点就是最值点．( )
典例精讲能力初成
探究1 不含参数的函数的最大(小)值
例1 (教材P93例6补充)已知函数f(x)＝x3＋x2－2x，求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．
设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
变式 已知函数f(x)＝x3－4x＋4.
(1) 求函数f(x)的极值；
(2) 求函数f(x)在[0，3]上的最值．
探究2 含参数函数的最大(小)值
例2 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
含参函数最值问题的两类情况：
(1) 能根据条件求出参数，从而化为不含参函数的最值问题．
(2) 对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，函数最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点函数值比较后确定函数最值．
变式 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.
(1) 讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2) 当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
探究3 根据最值求参数
例3 (1) 若函数f(x)＝x3＋x2－2在区间(a－4，a)上存在最小值，则a的取值范围是( )
A. (0，4) B. [0，4)
C. [1，4) D. (1，4)
(2) 已知函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为( )
A. －1 B.
C. D. ＋1
由函数的最值求参数的基本思路：
(1) 求导数f′(x)，并求极值；
(2) 利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值，若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论；
(3) 利用函数的最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
随堂内化及时评价
1. 函数f(x)＝x＋2cos x在区间上的最小值是( )
A. － B. 2
C. ＋ D. ＋1
2. 函数f(x)＝x3－12x在区间[－3，1]上的最小值是( )
A. －10 B. －11
C. －15 D. －18
3. (2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于( )
A. －1 B. －
C. D. 1
4. 已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A. 当x＝时，f(x)取最大值
B. 当x＝时，f(x)取最小值
C. 当x＝－时，f(x)取最大值
D. 当x＝－时，f(x)取最小值
5. (多选)已知函数f(x)＝ln x－x＋a－1，若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，则实数a的值可能是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为( )
A. 1－e B. －1
C. －e D. 0
2. 函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是( )
A. ＋1 B. ＋
C. ＋ D.
3. 已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1，4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b等于( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)在内的最大值为( )
A. － B. 2ln 3－
C. －1 D. 2ln 2－4
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x3－2x2，x∈[－1，3]，则下列判断正确的是( )
A. 最大值为9
B. 最小值为－3
C. 函数f(x)在区间[1，3]上单调递增
D. x＝0是它的极大值点
6. 若f(x)＝xa·cos x，x∈的最大值为M，则( )
A. 当a＝－1时，M<
B. 当a＝2时，M<
C. 当a＝1时，M>
D. 当a＝3时，M<
三、 填空题
7. 函数y＝3x3－9x＋5在[－2，2]上的最大值与最小值之差为_________．
8. 若函数f(x)＝x3－6x＋a在[－2，1]上的最大值是4，则a＝_________．
9. 如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么a＝_________， f(x)在[－1，1]上的最小值是_________．
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝(x2－4)(2x－a)，a∈R，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(－1)＝0.
(1) 讨论函数f(x)的单调性；
(2) 求函数f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．
11. 已知函数f(x)＝x3－bx2＋2x＋a，x＝2是f(x)的一个极值点．
(1) 求f(x)的单调递增区间；
(2) 若当x∈[1，3]时，f(x)－a2>恒成立，求实数a的取值范围．
12. 若 a，b，c∈D，g(a)，g(b)，g(c)可以作为一个三角形的三条边长，则称函数g(x)是区间D上的“稳定函数”．已知函数f(x)＝＋m是区间上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
13. 若函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－m，m)上存在最大值与最小值，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D. (1，＋∞)