微专题6 曲线的切线
典例剖析素养初现
探究1 在某点处的切线
例1 (1) (2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则a＋b＝_____________．
(2) (2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.
C. D.
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤：
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
探究2 过某点的切线
例2 已知曲线C：y＝x3＋2和点P(1，3)，求过点P且与曲线C相切的直线方程．
求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
变式 若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线C：y＝(x－1)ex相切，则a的取值范围是________________.
探究3 公切线问题
例3 (1) 已知曲线f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_______________.
(2) 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝_______________.
解决此类问题通常有两种方法：
(1) 利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2) 设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．直线与抛物线相切可用判别式法．
变式 (2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________________．
随堂内化及时评价
1. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A. ∪ B.
C. ∪ D.
2. 曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A. x－y－π－1＝0
B. 2x－y－2π－1＝0
C. 2x＋y－2π＋1＝0
D. x＋y－π＋1＝0
3. (多选)设直线l是曲线y＝9x2－2＋ln x的切线，以下判断正确的有( )
A. 曲线在x＝处的切线斜率为10
B. 有且只有一条直线l的斜率为6
C. 存在一条直线l的斜率为5
D. 曲线有且仅有一个零点
4. 已知函数g(x)＝的图象与函数f(x)＝a ln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为_______________.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设f(x) 为R 上的可导函数，且 ＝－2，则曲线y＝f(x) 在点(1，f(1) )处的切线斜率为( )
A. 2 B. －1
C. 1 D. －
2. (2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( )
A. y＝x B. y＝x
C. y＝x＋ D. y＝x＋
3. 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1 相切的直线方程为( )
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
4. 若曲线y＝－ 在点(0，－1) 处的切线与曲线y＝ln x 在点P处的切线垂直，则点P的坐标为( )
A. (e，1) B. (1，0)
C. (2，ln 2) D.
二、 填空题
5. (教材P103第4(2) 题)曲线y＝在x＝处的切线方程为________________．
6. (2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，若曲线y＝f(x)在点处的切线也是曲线y＝g(x)的切线，则a＝______________．
7. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
8. 过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：_______________．
9. 与曲线y＝ex 和y＝－ 都相切的直线方程为_______________．
10. (2016·全国卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝_____________．微专题6 曲线的切线
典例剖析素养初现
探究1 在某点处的切线
例1 (1) (2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则a＋b＝__0_．
【解析】因为f(x)＝x－x3eax＋b，x∈R，所以f′(x)＝1－eax＋b.因为f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，所以f(1)＝－1＋1＝0，f′(1)＝－1，则解得所以a＋b＝0.
(2) (2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( A )
A. B.
C. D.
【解析】由题知f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝.
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤：
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
探究2 过某点的切线
例2 已知曲线C：y＝x3＋2和点P(1，3)，求过点P且与曲线C相切的直线方程．
【解答】设所求直线与曲线相切于点(x0，y0)，则y0＝x＋2.因为k＝y′|x＝x0＝3x，所以切线方程为y－(x＋2)＝3x(x－x0).因为切线过点P(1，3)，所以3－(x＋2)＝3x(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－，所以k＝3x＝3或，故直线l的方程为3x－y＝0或3x－4y＋9＝0.
求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
变式 若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线C：y＝(x－1)ex相切，则a的取值范围是__(－3，1)_.
【解析】设点B(x0，(x0－1)ex0)为曲线C上任意一点，因为y′＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以y′|x＝x0＝x0ex0，则曲线C在点B处的切线l的方程为y－(x0－1)·ex0＝x0ex0(x－x0).根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程－(x0－1)ex0＝x0ex0·(a－x0)，即x－(a＋1)x0＋1＝0无实根，所以Δ＝(a＋1)2－4<0，解得－3
探究3 公切线问题
例3 (1) 已知曲线f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为__y＝ex或y＝x＋1_.
【解析】设l与曲线f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，f′(x)＝ex，所以f′(x1)＝ex1，所以切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1·x－x1ex1＋ex1①.同理设l与曲线g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，所以y2＝ln x2＋2，g′(x)＝，所以g′(x2)＝，所以切线方程为y－(ln x2＋2)＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2＋1②.由题意知①与②相同，所以把③代入④有－x1ex1＋ex1＝－x1＋1，即(1－x1)(ex1－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0.当x1＝1时，切线方程为y＝ex；当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.
(2) 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝__8_.
【解析】方法一：因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2，所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.因为y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1，与已知直线平行).由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
方法二：同方法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).因为y′＝2ax＋(a＋2)，所以y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)，则切线方程为y－[ax＋(a＋2)x0＋1]＝(2ax0＋a＋2)(x－x0).由解得
解决此类问题通常有两种方法：
(1) 利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
(2) 设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.
注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．直线与抛物线相切可用判别式法．
变式 (2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝__ln 2_．
【解析】由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a).由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2.因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
随堂内化及时评价
1. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( C )
A. ∪ B.
C. ∪ D.
【解析】y′＝3x2－，所以y′≥－，所以tan α≥－.又因为α∈[0，π)，故α∈∪.
2. 曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( C )
A. x－y－π－1＝0
B. 2x－y－2π－1＝0
C. 2x＋y－2π＋1＝0
D. x＋y－π＋1＝0
【解析】设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，所以f′(π)＝－2，所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
3. (多选)设直线l是曲线y＝9x2－2＋ln x的切线，以下判断正确的有( ABD )
A. 曲线在x＝处的切线斜率为10
B. 有且只有一条直线l的斜率为6
C. 存在一条直线l的斜率为5
D. 曲线有且仅有一个零点
【解析】函数y＝9x2－2＋ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝18x＋，所以曲线在x＝处的切线斜率为10，故A正确；再设切点为M(a，b)(a>0)，则y′|x＝a＝18a＋≥2＝6，当且仅当18a＝，即a＝时，直线l的斜率取得最小值6，故B正确，C错误；令y＝9x2－2＋ln x＝0，即ln x＝2－9x2，由数形结合可得D正确．
4. 已知函数g(x)＝的图象与函数f(x)＝a ln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为__(e2，e)_.
【解析】函数f(x)＝a ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.由g(x)＝，得g′(x)＝.设曲线f(x)＝a ln x与曲线g(x)＝的公共点为(x0，y0)，由于在公共点处有相同的切线，所以＝，所以x0＝4a2(a＞0).由f(x0)＝g(x0)，可得a ln x0＝，联立解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为(e2，e).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 设f(x) 为R 上的可导函数，且 ＝－2，则曲线y＝f(x) 在点(1，f(1) )处的切线斜率为( C )
A. 2 B. －1
C. 1 D. －
【解析】f′(1)＝ ＝－ ＝1.故曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线斜率为1.
2. (2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( C )
A. y＝x B. y＝x
C. y＝x＋ D. y＝x＋
【解析】设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝，所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.
3. 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1 相切的直线方程为( B )
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
【解析】由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.设切点坐标为(x0，x－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3x－2，切线方程为y－(x－2x0＋1)＝(3x－2)(x－x0)，将点(0，3)代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0.
4. 若曲线y＝－ 在点(0，－1) 处的切线与曲线y＝ln x 在点P处的切线垂直，则点P的坐标为( D )
A. (e，1) B. (1，0)
C. (2，ln 2) D.
【解析】y＝－ 的导数为y′＝－，所以曲线y＝－ 在点(0，－1)处的切线的斜率为k1＝－.因为曲线y＝－ 在点(0，－1)处的切线与曲线y＝ln x在点P处的切线垂直，所以曲线y＝ln x在点P处的切线的斜率k2＝2.而y＝ln x的导数y′＝，所以切点的横坐标为，所以切点P的坐标为(，－ln 2).
二、 填空题
5. (教材P103第4(2) 题)曲线y＝在x＝处的切线方程为__8x＋y－8＝0_．
【解析】y′＝＝，在x＝处的切线的斜率k＝y′＝－8.曲线y＝在x＝处的切线方程为y－4＝－8，即8x＋y－8＝0.
6. (2022·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，若曲线y＝f(x)在点处的切线也是曲线y＝g(x)的切线，则a＝__3_．
【解析】由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.
7. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__(－∞，－4)∪(0，＋∞)_．
【解析】因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋1＋a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0，切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0).因为切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)，整理得x＋ax0－a＝0.因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
8. 过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：__2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)_．
【解析】设切点P的坐标为(x0，x－x0).由y＝x3－x，得y′＝3x2－1，故过点P(x0，x－x0)的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)·(x－x0).又该切线过点(－1，0)，故－(x－x0)＝(3x－1)(－1－x0)，即2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)(2x＋x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝ .当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝ 时，切线方程为x＋4y＋1＝0.
9. 与曲线y＝ex 和y＝－ 都相切的直线方程为__y＝x＋1_．
【解析】设直线与曲线y＝ex 相切于点(x1，ex1)，因为y′＝ex，所以该直线的方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋ex1(1－x1).设直线与曲线y＝－ 相切于点，因为y′＝－，所以该直线的方程为y＋＝－(x－x2)，即y＝－x＋.所以解得x1＝0，x2＝－2，所以该直线的方程为y＝x＋1.
10. (2016·全国卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝__1－ln 2_．
【解析】对函数y＝ln x＋2求导得y′＝，对y＝ln (x＋1)求导得y′＝，设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2相切于点P1(x1，y1)，与曲线y＝ln (x＋1)相切于点P2(x2，y2)，则y1＝ln x1＋2，y2＝ln (x2＋1).由点P1(x1，y1)在切线上得y－(ln x1＋2)＝(x－x1)，由点P2(x2，y2)在切线上得y－ln (x2＋1)＝(x－x2)，这两条直线表示同一条直线，
所以解得x1＝，所以k＝＝2，b＝ln x1＋2－1＝1－ln 2.(共32张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
微专题6 曲线的切线
典例剖析 素养初现
(1) (2023·北京卷节选)设函数f(x)＝x－x3eax＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则a＋b＝____．
1
在某点处的切线
【解析】
探究
1
0
【解析】
A
求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤：
第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0).
已知曲线C：y＝x3＋2和点P(1，3)，求过点P且与曲线C相切的直线方程．
2
某点的切线
【解答】
探究
2
求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤：
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．
若过点A(a，0)的任意一条直线都不与曲线C：y＝(x－1)ex相切，则a的取值范围是___________.
【解析】
变式
(－3，1)
(1) 已知曲线f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_________________.
3
公切线问题
【解析】
探究
3
【答案】y＝ex或y＝x＋1
(2) 已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝____.
【解析】
【答案】8
解决此类问题通常有两种方法：
(1) 利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切．直线与抛物线相切可用判别式法．
(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝_______．
【解析】
变式
ln 2
随堂内化 及时评价
【解析】
C
【解析】
设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，所以f′(π)＝－2，所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
2. 曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为 ( )
A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0
C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0
C
【解析】
ABD
【解析】
(e2，e)
配套新练案
【解析】
C
【解析】
C
3. 过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1 相切的直线方程为 ( )
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
B
【解析】
【解析】
D
【解析】
8x＋y－8＝0
【解析】
由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3.
3
7. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．
【解析】
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
8. 过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：
_____________________________．
2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)
【解析】
【解析】
y＝x＋1
10. (2016·全国卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋1)的切线，则b＝__________．
【解析】
【答案】1－ln 2
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