微专题8 恒成立与能成立问题
典例剖析素养初现
探究1 单变量恒成立与有解问题
视角1 参变量分离法
例1 1 已知函数f(x)＝ln x－ax(a是正常数)．
(1) 当a＝2时，求f(x)的单调区间与极值；
(2) 若 x>0，f(x)<0，求a的取值范围．
不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
(1) a＞f(x) 恒成立 a＞f(x)max，a＜f(x) 恒成立 a＜f(x)min ；
(2) f(x)＞g(x)＋k 恒成立 k＜[f(x)－g(x)]min ；
(3) f(x)＞g(x) 恒成立 [f(x)－g(x)]min＞0 ；
(4) a＞f(x) 能成立 a＞f(x)min，a＜f(x)能成立 a＜f(x)max.
变式1 1 已知函数 f(x)＝x ln x(x＞0).
(1) 求函数f(x)的极值；
(2) 若存在x∈(0，＋∞)，使得 f(x)≤ 成立，求实数 m 的最小值．
视角2 同构
例1 2 若 x∈(0，＋∞)，memx≥ln x恒成立，则实数m的最小值是_________________.
指对同构的常见方法：
(1) 积型：aea≤b ln b aea≤ln b·eln b f(x)＝xex (同左)；aea≤b ln b ea·ln ea≤b·ln b f(x)＝x ln x (同右)；aea≤b ln b a＋ln a≤ln b＋ln (ln b) f(x)＝x＋ln x (取对数).
说明： 取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知．
(2) 商型：＜ ＜ f(x)＝ (同左)；＜ ＜ f(x)＝(同右)；＜ a－ln a＜ln b－ln (ln b) f(x)＝x－ln x (取对数).
(3) 和差型：ea±a＞b±ln b ea±a＞eln b±ln b f(x)＝ex±x (同左)；ea±a＞b±ln b ea±ln ea＞b±ln b f(x)＝x±ln x(同右).
变式1-2 若不等式 ex＋a≥ln x－a 恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [0，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. D. [－e，＋∞)
探究2 双变量恒成立与有解问题
例2 已知函数 f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，g(x)＝ex－ax.
(1) 求f(x) 的最大值；
(2) 若对 x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[1，2]，使得 f(x1)≤g(x2) 成立，求a的取值范围．
常见的双变量恒成立能成立问题的类型：
(1) 对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)max.
(2) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2) min.
(3) 对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(4) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(5) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(6) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2) f (x)的值域与g(x)的值域的交集非空．
变式 已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1 ，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是_______________．
随堂内化及时评价
1. 已知f(x)＝a－2ln x(a＞0)在[2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
2. 已知函数f(x)＝－mx＋3，g(x)＝ln x，若 x∈(0，e]，f(x)－g(x)≥1恒成立，则实数m的取值范围是________________．
3. (2024·杭州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3－3x2＋a，g(x)＝x ln x .
(1) 求f(x)的极值；
(2) 对 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax对x∈[1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0) B. (－∞，1]
C. (0，＋∞) D. [1，＋∞)
2. 若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为减函数，则m的取值范围是( )
A. [24，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. (－∞，－3] D. (－∞，0]
3. 若f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A. (－∞，－2] B.
C. D. (－2，＋∞)
4. 已知函数f(x)＝－mx，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则m的取值范围是( )
A. (e，＋∞) B. (－∞，e)
C. D.
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，若对任意x∈[0，2]，f(x)≤c2－恒成立，则实数c的可能取值是( )
A. －1 B.
C. 2 D. －
6. 已知函数f(x)＝xex＋ax，则下列说法正确的是( )
A. 当a＝0时，f(x)min＝0
B. 当a＝1时，直线y＝2x与函数f(x)的图象相切
C. 若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则a≥0
D. 若在区间[0，1]上，f(x)≤x2恒成立，则a≤1－e
三、 填空题
7. 若关于x的不等式x3－ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立，则a的取值范围是_______________．
8. 已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a＜1)，g(x)＝x2＋ex－xex.若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为________________．
9. 若 ex－ln x≥ln a＋(a－1)x，则实数 a 的最大值为_______________．
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝ln x－mx，g(x)＝x－(a＞0).
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若m＝，对 x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围．
11. 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R).
(1) 若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．微专题8 恒成立与能成立问题
典例剖析素养初现
探究1 单变量恒成立与有解问题
视角1 参变量分离法
例1 1 已知函数f(x)＝ln x－ax(a是正常数)．
(1) 当a＝2时，求f(x)的单调区间与极值；
【解答】当a＝2时，f(x)＝ln x－2x，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2＝.令f′(x)>0，解得0
，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极大值是f＝－ln 2－1，无极小值．
(2) 若 x>0，f(x)<0，求a的取值范围．
【解答】因为 x>0，f(x)<0，即ln x－ax<0恒成立，即0，当x>e时g′(x)<0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝，所以a>，即a的取值范围为.
不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
(1) a＞f(x) 恒成立 a＞f(x)max，a＜f(x) 恒成立 a＜f(x)min ；
(2) f(x)＞g(x)＋k 恒成立 k＜[f(x)－g(x)]min ；
(3) f(x)＞g(x) 恒成立 [f(x)－g(x)]min＞0 ；
(4) a＞f(x) 能成立 a＞f(x)min，a＜f(x)能成立 a＜f(x)max.
变式1 1 已知函数 f(x)＝x ln x(x＞0).
(1) 求函数f(x)的极值；
【解答】由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＞0，得x＞； 令f′(x)＜0，得0＜x＜，所以f(x) 在 上单调递减，在 上单调递增，所以f(x) 在 x＝ 处取得极小值，且为 f＝－，无极大值．
(2) 若存在x∈(0，＋∞)，使得 f(x)≤ 成立，求实数 m 的最小值．
【解答】由f(x)≤，得m≥(x＞0)能成立，问题转化为m≥.令g(x)＝2ln x＋x＋，g′(x)＝＋1－＝.当x＞1时，g′(x)＞0；当0＜x＜1时，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝4，则m≥4，故m的最小值为4.
视角2 同构
例1 2 若 x∈(0，＋∞)，memx≥ln x恒成立，则实数m的最小值是____.
【解析】由memx≥ln x得mxemx≥x ln x＝eln x·ln x . 令 f(x)＝xex，则f′(x)＝(x＋1)ex＞0，故f(x) 在(0，＋∞)上单调递增，且 f(mx)≥f(ln x)，所以 mx≥ln x，即m≥对 x∈(0，＋∞) 恒成立．令 g(x)＝，则g′(x)＝，所以当 x∈(0，e) 时， g′(x)＞0；当 x∈(e，＋∞)时， g′(x)＜0，故g(x) 在(0，＋∞) 上的最大值是g(e)＝ ，所以 m≥，即实数 m 的最小值是 .
指对同构的常见方法：
(1) 积型：aea≤b ln b aea≤ln b·eln b f(x)＝xex (同左)；aea≤b ln b ea·ln ea≤b·ln b f(x)＝x ln x (同右)；aea≤b ln b a＋ln a≤ln b＋ln (ln b) f(x)＝x＋ln x (取对数).
说明： 取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知．
(2) 商型：＜ ＜ f(x)＝ (同左)；＜ ＜ f(x)＝(同右)；＜ a－ln a＜ln b－ln (ln b) f(x)＝x－ln x (取对数).
(3) 和差型：ea±a＞b±ln b ea±a＞eln b±ln b f(x)＝ex±x (同左)；ea±a＞b±ln b ea±ln ea＞b±ln b f(x)＝x±ln x(同右).
变式1-2 若不等式 ex＋a≥ln x－a 恒成立，则实数a的取值范围是( B )
A. [0，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. D. [－e，＋∞)
【解析】构造 f(x)＝ex＋x，则f(x)在R上显然单调递增．由ex＋a≥ln x－a得ex＋a＋a＋x≥ln x＋x，即ex＋a＋a＋x≥eln x＋ln x，所以x＋a≥ln x，所以a≥ln x－x.令g(x)＝ln x－x(x＞0)，则g′(x)＝－1＝.由g′(x)＞0，得0＜x＜1，g(x)单调递增；由g′(x)＜0，得x＞1，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1，所以a≥－1.
探究2 双变量恒成立与有解问题
例2 已知函数 f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，g(x)＝ex－ax.
(1) 求f(x) 的最大值；
【解答】由已知可得， f(x)＝ln x－x＋1 的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝.当 0＜x＜1 时， f′(x)＞0，所以 f(x) 在(0，1)上单调递增；当 x＞1 时， f′(x)＜0，所以 f(x)在 (1，＋∞)上单调递减．所以f(x)在 x＝1 处取得唯一极大值，也是最大值 f(1)＝ln 1－1＋1＝0.
(2) 若对 x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[1，2]，使得 f(x1)≤g(x2) 成立，求a的取值范围．
【解答】由(1)及已知可得g(x)max≥f(x)max＝0，由g(x)＝ex－ax得g′(x)＝ex－a，当a≤0时，有g′(x)＝ex－a≥0 在[1，2]上恒成立，此时有 g(x)max＝g(2)＝e2－2a≥0 恒成立，满足题意．当 a＞0 时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a .所以当 x＜ln a 时，g′(x)＜0；当 x＞ln a 时，g′(x)＞0，则 g(x)在 (－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．若ln a≤1，即0＜a≤e，此时 g(x)在[1，2]上单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝e2－2a≥e2－2e＞0，满足题意；若 1＜ln a＜2，即 e＜a＜e2，此时 g(x) 在上单调递减，在上单调递增，因为 g(1)＝e－a＜0 恒成立，故只需 g(2)≥0 即可，则 e2－2a≥0，解得a≤，所以 e＜a≤；若ln a≥2，即a≥e2，此时 g(x) 在[1，2]上单调递减，所以 g(x)max＝g(1)＝e－a＜e－e2＜0，不满足题意. 综上，实数a的取值范围是.
常见的双变量恒成立能成立问题的类型：
(1) 对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)max.
(2) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2) min.
(3) 对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(4) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(5) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(6) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2) f (x)的值域与g(x)的值域的交集非空．
变式 已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1 ，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是___．
【解析】f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值即最小值 f(－1)＝－.又易知函数g(x)的最大值为a，若 x1，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成立，则有g(x)max≥f(x)min，即 a≥－.
随堂内化及时评价
1. 已知f(x)＝a－2ln x(a＞0)在[2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围为( A )
A. B.
C. [1，＋∞) D. (1，＋∞)
【解析】由题意知f′(x)＝a－＝≥0对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，即ax2－2x＋a≥0对任意的x∈[2，＋∞)恒成立，所以a≥＝.令y＝x＋，则y′＝1－＞0，故y＝x＋在[2，＋∞)上单调递增，所以y＝x＋≥，则0＜≤，所以a≥，即实数a的取值范围为.
2. 已知函数f(x)＝－mx＋3，g(x)＝ln x，若 x∈(0，e]，f(x)－g(x)≥1恒成立，则实数m的取值范围是___．
【解析】由 x∈(0，e]，f(x)－g(x)≥1，可化为mx＋ln x－2≤0，取x＝e，有me＋1－2≤0，得m≤.令h(x)＝mx＋ln x－2(0＜x≤e).①当m≤0时，由0＜x≤e，得mx≤0，ln x≤1，此时h(x)≤0恒成立．②当0＜m≤时，此时函数h(x)单调递增，有h(x)≤me＋1－2＝me－1≤0.综上所述，实数m的取值范围是.
3. (2024·杭州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3－3x2＋a，g(x)＝x ln x .
(1) 求f(x)的极值；
【解答】函数 f(x)＝x3－3x2＋a的定义域为R，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令 f′(x)＝0，可得 x＝0 或x＝ 2，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数 f(x)的极大值为 f(0)＝a，极小值为 f(2)＝a－4.
(2) 对 x1∈[1，3]， x2∈，都有f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.
【解答】对 x1∈， x2∈，都有 f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)max.由(1)可知，函数f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，故当x∈时，f(x)min＝f(2)＝a－4.因为g(x)＝x ln x，且x∈时，g′(x)＝1＋ln x≤0；当x∈时，g′(x)＝1＋ln x≥0，故函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g＝－，g(e)＝e，故g(x)max＝g(e)＝e.由题意可得a－4≥e，故a≥e＋4，即a的取值范围为[e＋4，＋∞).
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax对x∈[1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( B )
A. (－∞，0) B. (－∞，1]
C. (0，＋∞) D. [1，＋∞)
【解析】由2x ln x≥－x2＋ax，x∈[1，＋∞)，可知a≤2ln x＋x.设h(x)＝2ln x＋x，x∈[1，＋∞)，则h′(x)＝＋1>0，所以函数h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1，所以a≤h(x)min＝1.故a的取值范围是(－∞，1].
2. 若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为减函数，则m的取值范围是( A )
A. [24，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. (－∞，－3] D. (－∞，0]
【解析】因为函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为减函数，所以f′(x)＝3x2＋6x－m≤0在[－2，2]上恒成立，所以即解得m≥24，即m的取值范围是[24，＋∞).
3. 若f(x)＝ln x＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则a的取值范围是( D )
A. (－∞，－2] B.
C. D. (－2，＋∞)
【解析】根据题意得f′(x)＝＋2ax，因为f(x)在区间内存在增区间，所以f′(x)>0在内有解，即＋2ax>0 a>－在内有解，故存在x∈，使得a>－.令g(x)＝－，则g(x)在上单调递增，所以g(x)∈，故a>－2.
4. 已知函数f(x)＝－mx，若f(x)<0在(0，＋∞)上有解，则m的取值范围是( C )
A. (e，＋∞) B. (－∞，e)
C. D.
【解析】由f(x)＝－mx<0在(0，＋∞)上有解，可得m>在(0，＋∞)上有解．令g(x)＝，x>0，则m>g(x)min.由g′(x)＝，则当02时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，故当x＝2时，函数g(x)取得最小值g(2)＝，故m>.
二、 多项选择题
5. 已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，若对任意x∈[0，2]，f(x)≤c2－恒成立，则实数c的可能取值是( ABC )
A. －1 B.
C. 2 D. －
【解析】f(x)＝x3－2x2＋3x＋c，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3).令f′(x)>0，解得x<1或x>3；令f′(x)<0，解得16. 已知函数f(x)＝xex＋ax，则下列说法正确的是( BD )
A. 当a＝0时，f(x)min＝0
B. 当a＝1时，直线y＝2x与函数f(x)的图象相切
C. 若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则a≥0
D. 若在区间[0，1]上，f(x)≤x2恒成立，则a≤1－e
【解析】对于A，当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，易知函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝－，故A不正确．对于B，当a＝1时，f(x)＝xex＋x，f′(x)＝(x＋1)ex＋1，f′(0)＝2，所以函数f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝2x，故B正确．对于C，f′(x)＝(x＋1)ex＋a，若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以a≥－(x＋1)ex.令g(x)＝－(x＋1)ex，x≥0，则g′(x)＝－(x＋2)ex<0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以a≥g(x)max＝g(0)＝－1，故C错误．对于D，当x＝0时，f(x)≤x2恒成立，a∈R.当x∈(0，1]时，f(x)≤x2恒成立等价于xex＋ax≤x2恒成立，即ex＋a≤x，即a≤x－ex恒成立．设h(x)＝x－ex，0三、 填空题
7. 若关于x的不等式x3－ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立，则a的取值范围是__(－∞，0]_．
【解析】当x＝0时，原不等式显然成立，a∈R.当x≠0时，由原不等式可得a≤x＋，令h(x)＝x＋，－1≤x≤1且x≠0，则h′(x)＝1－＝，易得函数h(x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝0，所以a≤0.
8. 已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a＜1)，g(x)＝x2＋ex－xex.若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，则实数a的取值范围为___．
【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.因为a＜1，可知f(x)在[e，e2]上单调递增，f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.又g′(x)＝(1－ex)x，当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，则g(x)min＝g(0)＝1，所以e－(a＋1)－＜1，解得a＞，所以实数a的取值范围为.
9. 若 ex－ln x≥ln a＋(a－1)x，则实数 a 的最大值为__e_．
【解析】ex－ln x≥ln a＋(a－1)x ex＋x≥ln a＋ln x＋ax＝eln (ax)＋ln (ax) .因为函数 y＝ex，y＝x 均在 (0，＋∞)上单调递增，则 y＝ex＋x 在 (0，＋∞)上单调递增．又ex＋x≥eln (ax)＋ln (ax)，则 x≥ln (ax) x－ln x≥ln a ln a≤(x－ln x)min .构造函数 f(x)＝x－ln x，则 f′(x)＝1－＝，由f′(x)＞0 x＞1；由f′(x)＜0 0＜x＜1，则 f(x) 在(0，1)上单调递减，在 (1，＋∞) 上单调递增，则 (x－ln x)min＝f(1)＝1，故ln a≤1 a≤e.
四、 解答题
10. 已知函数f(x)＝ln x－mx，g(x)＝x－(a＞0).
(1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】因为f(x)＝ln x－mx，x＞0，所以f ′(x)＝－m.当m≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当m＞0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜；令f′(x)＜0，得x＞，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当m≤0时，f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当m＞0时，f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2) 若m＝，对 x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围．
【解答】若m＝，则f(x)＝ln x－x.对 x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，等价于对 x∈[2，2e2]都有g(x)min≥f(x)max.由(1)知在[2，2e2]上f (x)的最大值为f(e2)＝.又g′(x)＝1＋＞0(a＞0)，x∈[2，2e2]，所以函数g(x)在[2，2e2]上是增函数，所以g(x)min＝g(2) ＝2－.由2－≥，得a≤3，又a＞0，所以a∈(0，3]，所以实数a的取值范围为(0，3].
11. 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R).
(1) 若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
【解答】f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝(x>0)，由f′(3)＝4－＝0，得a＝6，经检验符合条件．f′(x)＝，令f′(x)>0，得03，令f′(x)<0，得1(2) 若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【解答】由f(x)≥1 f(x)min≥1.当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00时，f(1)＝－a－1≥1不成立．综上，a的取值范围为{a|a≤－2}.(共37张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
微专题8 恒成立与能成立问题
典例剖析 素养初现
视角1 参变量分离法
已知函数f(x)＝ln x－ax(a是正常数)．
(1) 当a＝2时，求f(x)的单调区间与极值；
单变量恒成立与有解问题
【解答】
探究
1
1－1
(2) 若 x>0，f(x)<0，求a的取值范围．
【解答】
已知函数f(x)＝ln x－ax(a是正常数)．
1－1
不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
(1) a＞f(x) 恒成立 a＞f(x)max，a＜f(x) 恒成立 a＜f(x)min ；
(2) f(x)＞g(x)＋k 恒成立 k＜[f(x)－g(x)]min ；
(3) f(x)＞g(x) 恒成立 [f(x)－g(x)]min＞0 ；
(4) a＞f(x) 能成立 a＞f(x)min，a＜f(x)能成立 a＜f(x)max.
已知函数 f(x)＝x ln x(x＞0).
(1) 求函数f(x)的极值；
【解答】
变式1-1
【解答】
已知函数 f(x)＝x ln x(x＞0).
变式1-1
视角2 同构
若 x∈(0，＋∞)，memx≥ln x恒成立，则实数m的最小值是_____.
【解析】
1－2
指对同构的常见方法：
(1) 积型：aea≤b ln b aea≤ln b·eln b f(x)＝xex (同左)；aea≤b ln b ea·ln ea≤b·ln b f(x)＝x ln x (同右)；aea≤b ln b a＋ln a≤ln b＋ln (ln b) f(x)＝x＋ln x (取对数).
说明： 取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知．
【解析】
变式1-2
B
已知函数 f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，g(x)＝ex－ax.
(1) 求f(x) 的最大值；
2
双变量恒成立与有解问题
【解答】
探究
2
(2) 若对 x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[1，2]，使得 f(x1)≤g(x2) 成立，求a的取值范围．
【解答】
由(1)及已知可得g(x)max≥f(x)max＝0，由g(x)＝ex－ax得g′(x)＝ex－a，当a≤0时，有g′(x)＝ex－a≥0 在[1，2]上恒成立，此时有 g(x)max＝g(2)＝e2－2a≥0 恒成立，满足题意．当 a＞0 时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a .所以当 x＜ln a 时，g′(x)＜0；当 x＞ln a 时，g′(x)＞0，则 g(x)在 (－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．若ln a≤1，即0＜a≤e，此时 g(x)在[1，2]上单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝e2－2a≥e2－2e＞0，满足题意；
已知函数 f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，g(x)＝ex－ax.
2
常见的双变量恒成立能成立问题的类型：
(1) 对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)max.
(2) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2) min.
(3) 对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)min≥g(x2)min.
(4) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(5) 若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2) f(x1)max≥g(x2)max.
(6) 若存在x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)＝g(x2) f (x)的值域与g(x)的值域的交集非空．
已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1 ，x2∈R，使得f(x2)≤g(x1)成
立，则实数a的取值范围是_____________．
【解析】
变式
随堂内化 及时评价
【解析】
【答案】A
【解析】
2. 已知函数f(x)＝－mx＋3，g(x)＝ln x，若 x∈(0，e]，f(x)－g(x)≥1恒成立，则实
数m的取值范围是_________．
【解答】
函数 f(x)＝x3－3x2＋a的定义域为R，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令 f′(x)＝0，可得 x＝0 或x＝ 2，当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
3. (2024·杭州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3－3x2＋a，g(x)＝x ln x .
(1) 求f(x)的极值；
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
故函数 f(x)的极大值为 f(0)＝a，极小值为 f(2)＝a－4.
【解答】
3. (2024·杭州期末)设a为实数，函数f(x)＝x3－3x2＋a，g(x)＝x ln x .
配套新练案
一、 单项选择题
1. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax对x∈[1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是
( )
A. (－∞，0) B. (－∞，1]
C. (0，＋∞) D. [1，＋∞)
B
【解析】
2. 若函数f(x)＝x3＋3x2－mx＋1在[－2，2]上为减函数，则m的取值范围是 ( )
A. [24，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. (－∞，－3] D. (－∞，0]
A
【解析】
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
ABC
6. 已知函数f(x)＝xex＋ax，则下列说法正确的是 ( )
A. 当a＝0时，f(x)min＝0
B. 当a＝1时，直线y＝2x与函数f(x)的图象相切
C. 若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则a≥0
D. 若在区间[0，1]上，f(x)≤x2恒成立，则a≤1－e
【解析】
所以函数f(x)在(0，0)处的切线方程为y＝2x，故B正确．对于C，f′(x)＝(x＋1)ex＋a，若函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以a≥－(x＋1)ex.令g(x)＝－(x＋1)ex，x≥0，则g′(x)＝－(x＋2)ex<0，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以a≥g(x)max＝g(0)＝－1，故C错误．对于D，当x＝0时，f(x)≤x2恒成立，a∈R.当x∈(0，1]时，f(x)≤x2恒成立等价于xex＋ax≤x2恒成立，即ex＋a≤x，即a≤x－ex恒成立．设h(x)＝x－ex，0【答案】BD
三、 填空题
7. 若关于x的不等式x3－ax2＋1≥0在[－1，1]上恒成立，则a的取值范围是_____________．
【解析】
(－∞，0]
【解析】
9. 若 ex－ln x≥ln a＋(a－1)x，则实数 a 的最大值为____．
【解析】
e
【解答】
【解答】
11. 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R).
(1) 若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
【解答】
(2) 若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．
【解答】
由f(x)≥1 f(x)min≥1.当a≤0时，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得00时，f(1)＝－a－1≥1不成立．综上，a的取值范围为{a|a≤－2}.
11. 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋a ln x(a∈R).
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