章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
导数及其应用 概念与几何意义 概念 f(x)在点x0处的导数f′(x0)＝
几何意义 (1) “在”点(x1，y1)处的切线： ①斜率k＝f′(x1)；②切线方程为__y－y1＝f′(x1)(x－x1)_． (2) “过”点(x1，y1)的切线： ①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：点(x1，y1)在切线上，y1＝f(x1)，即在__y1－y0＝f′(x0)(x1－x0)_上；④解方程组，得x0，求切线．
物理意义 __v＝s′(t)_表示瞬时速度，__a＝v′(t)_表示加速度．
运算 基本 公式 ①C′＝0；②(xn)′＝nxn-1；③(sin x)′＝cos x；④(cos x)′＝－sin x；⑤(ax)′＝ax ln a；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝；⑧(ln x)′＝.
运算 法则 (u±v)′＝__u′±v′_；(uv)′＝__u′v＋uv′_；′＝__(v≠0)_； 复合函数求导法则：__[f(g(x))]′＝f′(g(x))g′(x)_．
研究函数性质 函数的 单调性 ①若f′(x)>0，则f(x)为增函数；若__f′(x)<0_，则f(x)为减函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则__f′(x)≥0_，反之等号不成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，反之等号不成立．
极值 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有__f(x)
f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0).极大值和极小值统称为极值．
最值 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的__最小者_．
考法聚焦素养养成
考法1 导数的几何意义
例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__(ln 2)x＋y－ln 2＝0_．
【解析】f′(x)＝－×ln (x＋1)＋×，据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0.
【题组训练】
1. 已知曲线y＝ln x－x2上的一点P(1，f(1))，在点P处的切线的倾斜角为θ，则角θ＝___．
【解析】因为y＝ln x－x2，所以y′＝－2x，则y′|x＝1＝－1，即tan θ＝－1.又θ∈[0，π)，所以θ＝.
2. 已知函数f(x)＝2sin x＋3xf′(0)，则y＝f(x)在点处的切线方程是__3x＋y－2＝0_．
【解析】由f(x)＝2sin x＋3xf′(0)，得f′(x)＝2cos x＋3f′(0)，所以f′(0)＝2cos 0＋3f′(0)，得f′(0)＝－1，所以f(x)＝2sin x－3x，f′(x)＝2cos x－3，则f′＝2cos －3＝－3.又f＝2sin －3×＝2－，所以曲线y＝f(x)在点处的切线方程为y－2＋＝－3，即3x＋y－2＝0.
3. 若过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为__27x－y－54＝0或y＝0_．
【解析】因为点(2，0)不在函数f(x)的图象上，所以它不是切点．设切点为P(a，a3)，f′(x)＝3x2，则k＝3a2＝，解得a＝3或a＝0，切线的斜率为27或0.当k＝27时，切线方程为27x－y－54＝0；当k＝0时，切线方程为y＝0.
考法2 含参函数的单调性讨论
例2 已知函数f(x)＝ax＋＋(1－a2)ln x，a∈R，求函数f(x)的单调区间．
【解答】因为f(x)＝ax＋＋(1－a2)ln x，x>0，所以f′(x)＝a－＋＝＝，当a＝0时，f′(x)＝>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－，当a>0时，令f′(x)>0，即x>a时，函数单调递增；令f′(x)<0，即00，即0－时，函数单调递减．综上所述，当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
变式 (2024·南通期末)已知函数f(x)＝ln x－x，g(x)＝ax2－2ax，a＞0.
(1) 设曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线为l，若l与曲线y＝g(x)相切，求a的值；
【解答】f′(x)＝－1，f′(1)＝1－1＝0，且f(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1.联立得ax2－2ax＋1＝0.因为y＝－1与g(x)＝ax2－2ax相切，所以Δ＝4a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝1.
(2) 设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的单调性．
【解答】h(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x－x＋ax2－2ax＝ln x＋ax2－(2a＋1)x的定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝＋2ax－(2a＋1)＝＝.因为a＞0，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝.当0＜a＜时，＞1，所以当x∈(0，1)和时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．当a＞时，＜1，所以当x∈和(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．当a＝时，h′(x)≥0，当x＝1时取等号，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上所述，当0＜a＜时，h(x)的单调递增区间为(0，1)，，单调递减区间为；当a＝时，h(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间；当a＞时，h(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
考法3 极值与最值
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1) 讨论f(x)的单调性；
【解答】f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－ln a；令f′(x)＜0，得x＜－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2) 证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋.
【解答】由(1)得当a＞0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a．令g(a)＝1＋a2＋ln a－2ln a－＝a2－ln a－，a∈(0，＋∞)，所以g′(a)＝2a－.令g′(a)＞0，得a＞；令g′(a)＜0，得0＜a＜.所以函数g(a)在上单调递减，在上单调递增，所以函数g(a)的最小值为g＝2－ln －＝ln ＞0，所以当a＞0时，f(x)＞2ln a＋恒成立．
变式 已知函数f(x)＝a ln x＋(a>0).
(1) 求函数f(x)的极值；
【解答】函数f(x)＝a ln x＋的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，其中a>0，由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0(2) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】①当0<≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1，e]上为增函数，故函数f(x)的最小值为f(1)＝1，显然1≠，故不满足条件；②当1<0，可知g(a)在上单调递增．又g＝，f(x)min＝，所以a－a ln a＝，可得a＝，不符合题意．③当≥e，即0考法4 导数与函数性质的综合应用
例4 (多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex(x－1)，则下列判断正确的是( BD )
A. 当x<0时，f(x)＝－e－x(x＋1)
B. f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
C. 函数f(x)在R上单调递增
D. 函数f(x)有3个零点
【解析】对于A，当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝e－x·(－x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝e－x(x＋1)，故A错误．对于B，因为f(x)＝所以 x<－1； 00时，f(x)＝ex(x－1)，f′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，又e0(0－1)＝－1≠0，故不能说f(x)在R上单调递增，故C错误．对于D，因为f(x)＝所以 x＝－1； x＝1.因为f(0)＝0，所以函数f(x)有3个零点，故D正确．
【题组训练】
1. (2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( AC )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D. 直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
【解析】由题得f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＞0，得x＞或x＜－，令f′(x)＜0，得－＜x＜，所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，所以x＝±是极值点，故A正确；因为f＝1＋＞0，f＝1－＞0，f＝－5＜0，所以函数f(x)在上有一个零点，当x≥时，f(x)≥f＞0，即函数f(x)在上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)＝x3－x，该函数的定义域为R，h＝3－＝－x3＋x＝－h(x)，则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位长度得到f(x)的图象，所以点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心，故C正确；令f′(x)＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f(1)＝f＝1，当切点为(1，1)时，切线方程为y＝2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y＝2x＋3，故D错误．
2. 已知a∈R，函数f(x)＝ax－1－ln x在x＝1处取得极值．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】f′(x)＝a－＝，由f′(1)＝a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x－1－ln x，f′(x)＝.由f′(x)＞0，得x＞1；由f′(x)＜0，得0＜x＜1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2) 若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】因为对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，所以b≤1＋－.令g(x)＝1＋－，所以g′(x)＝，令g′(x)＝0，解得x＝e2，由g′(x)＞0，得x＞e2；由g′(x)＜0，得0＜x＜e2，所以g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e2)＝1－，所以b≤1－，故实数b的取值范围是.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是( B )
A. (－3，1) B. (0，1)
C. (－1，3) D. (0，3)
【解析】函数f(x) 的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，故函数f(x)的单调递减区间是(0，1).
2. (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间上的最小值、最大值分别为( D )
A. －， B. －，
C. －，＋2 D. －，＋2
【解析】f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以在区间和上f′(x)＞0，即f(x)单调递增；在区间上f′(x)＜0，即f(x)单调递减．又f(0)＝f(2π)＝2，f＝＋2，f＝－＋1＝－，所以f(x)在区间上的最小值为－，最大值为＋2.
3. 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( A )
A. b＜c＜a B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. c＜b＜a
【解析】设f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝.当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，a＝＝f(e)，b＝＝f(7)，c＝＝f(5)，因为7＞5＞e，所以f(7)＜f(5)＜f(e)，即b＜c＜a.
4. (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( C )
A. e2 B. e
C. e-1 D. e-2
【解析】依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e-1，即a的最小值为e-1.
二、 多项选择题
5. (2025·连云港期末)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则( ABC )
A. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12 ℃
B. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为－2.4℃/min
C. 当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－1.2 ℃/min
D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为－3 ℃/min时的时刻t＝min
【解析】对于A，当t＝0时，T(0)＝＋15＝39，当t＝5时，T(5)＝＋15＝27，所以从t＝0到t＝5，蜥蜴的体温下降了39－27＝12 ℃，故A正确；对于B，从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为＝＝－2.4 ℃/min，故B正确；对于C，T′(t)＝，当t＝5时，T′(5)＝＝－1.2 ℃/min，所以当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率为－1.2 ℃/min，故C正确；对于D，令T′(t)＝＝－3，解得t＝2－5，故D错误．
6. (2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( ACD )
A. x＝3是f(x)的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f(x)＜f
C. 当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D. 当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
【解析】对于A，函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)·(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)＜0；当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0.故函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确．对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x(1－x)＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)＞f(x2)，故B错误．对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确．对于D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确．
三、填空题
7. (2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝－2ln x的最小值为__1_．
【解析】由题设知f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)，所以当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，此时f(x)单调递减；当＜x≤1时，f(x)＝2x－1－2ln x，有f′(x)＝2－≤0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，f(x)＝2x－1－2ln x，有f′(x)＝2－＞0，此时f(x)单调递增．又f(x)在各分段的界点处连续，所以当0＜x≤1时，f(x)单调递减；当x＞1时，f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.
8. (2024·全国甲卷)若曲线y＝x3－3x与y＝－2＋a在上有两个不同的交点，则a的取值范围为__(－2，1)_．
【解析】令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x＞0)，则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1).令g′(x)＝0(x＞0)，得x＝1.当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，且g(0)＝1，g(1)＝－2，可作出g(x)的大致图象如图所示．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2，1).
(第8题答)
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，a∈R.
(1) 当a＝2时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
【解答】当a＝2时，f(x)＝2e2x－x，f′(x)＝4e2x－1，可得f(0)＝2，f′(0)＝3，即切点坐标为(0，2)，切线斜率k＝3，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y＝3x＋2.
(2) 讨论f(x)的单调性．
【解答】由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，注意到ex＞0，2ex＋1＞0.①若a≤0，则f′(x)＜0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，令f′(x)＝0，解得x＝－ln a．当x＞－ln a时，f′(x)＞0；当x＜－ln a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
10. (2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
【解答】当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.
(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围．
【解答】易知函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在R上单调递增，无极值．当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞ln a，由f′(x)＜0，得x＜ln a，所以函数f(x)在区间(－∞，ln a)上单调递减，在区间(ln a，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(ln a)＝a－a ln a－a3.由题意知a－a ln a－a3＜0(a＞0)，等价于1－ln a－a2＜0(a＞0).令g(a)＝1－ln a－a2(a＞0)，则g′(a)＝－－2a＜0，所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，故当0＜a＜1时，g(a)＞0；当a＞1时，g(a)＜0.故实数a的取值范围为(1，＋∞).
11. (2025·温州期末)已知函数f(x)＝ex＋a，g＝ln x.
(1) 若a＝0，求证：g＜x＜f(x)；
【解答】当a＝0时，f(x)＝ex，令h(x)＝ex－x，则h′(x)＝ex－1，所以当x＞0时，h′(x)＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以h(x)≥h(0)＝1＞0，即f(x)＞x.令F(x)＝ln x－x，x∈(0，＋∞)，则F′(x)＝－1＝，所以当0＜x＜1时，F′(x)＞0；当x＞1时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)≤F(1)＝－1＜0，所以g(x)＜x.综上，可得g(x)＜x＜f(x).
(2) 若方程f(x)＝g－a有2个不同的解，求实数a的取值范围．
【解答】由f(x)＝g(x)－a，可得ex＋a＝ln x－a，所以ex＋a＋x＋a＝ln x＋x＝ln x＋eln x．令m(x)＝ex＋x，显然m(x)＝ex＋x在R上单调递增，由m(x＋a)＝m(ln x)，所以x＋a＝ln x，则a＝ln x－x，依题意可得y＝a与y＝F(x)＝ln x－x有两个交点．由(1)可知F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(1)＝－1，由当x→0时F(x)→－∞，当x→＋∞时F(x)→－∞，所以a＜－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1).章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
导数及其应用 概念与几何意义 概念 f(x)在点x0处的导数f′(x0)＝
几何意义 (1) “在”点(x1，y1)处的切线： ①斜率k＝f′(x1)；②切线方程为_______________． (2) “过”点(x1，y1)的切线： ①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：点(x1，y1)在切线上，y1＝f(x1)，即在_______________上；④解方程组，得x0，求切线．
物理意义 _______________表示瞬时速度，_______________表示加速度．
运算 基本 公式 ①C′＝0；②(xn)′＝nxn-1；③(sin x)′＝cos x；④(cos x)′＝－sin x；⑤(ax)′＝ax ln a；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝；⑧(ln x)′＝.
运算 法则 (u±v)′＝_____________；(uv)′＝______________；′＝______________； 复合函数求导法则：______________．
研究函数性质 函数的 单调性 ①若f′(x)>0，则f(x)为增函数；若_______________，则f(x)为减函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数． ②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则______________，反之等号不成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，反之等号不成立．
极值 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有______________，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0).如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0).极大值和极小值统称为极值．
最值 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的_______________．
考法聚焦素养养成
考法1 导数的几何意义
例1 (2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为_______________．
【题组训练】
1. 已知曲线y＝ln x－x2上的一点P(1，f(1))，在点P处的切线的倾斜角为θ，则角θ＝______________．
2. 已知函数f(x)＝2sin x＋3xf′(0)，则y＝f(x)在点处的切线方程是________________．
3. 若过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为________________．
考法2 含参函数的单调性讨论
例2 已知函数f(x)＝ax＋＋(1－a2)ln x，a∈R，求函数f(x)的单调区间．
变式 (2024·南通期末)已知函数f(x)＝ln x－x，g(x)＝ax2－2ax，a＞0.
(1) 设曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线为l，若l与曲线y＝g(x)相切，求a的值；
(2) 设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的单调性．
考法3 极值与最值
例3 (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1) 讨论f(x)的单调性；
(2) 证明：当a＞0时，f(x)＞2ln a＋.
变式 已知函数f(x)＝a ln x＋(a>0).
(1) 求函数f(x)的极值；
(2) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
考法4 导数与函数性质的综合应用
例4 (多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex(x－1)，则下列判断正确的是( )
A. 当x<0时，f(x)＝－e－x(x＋1)
B. f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
C. 函数f(x)在R上单调递增
D. 函数f(x)有3个零点
【题组训练】
1. (2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D. 直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
2. 已知a∈R，函数f(x)＝ax－1－ln x在x＝1处取得极值．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是( )
A. (－3，1) B. (0，1)
C. (－1，3) D. (0，3)
2. (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间上的最小值、最大值分别为( )
A. －， B. －，
C. －，＋2 D. －，＋2
3. 已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( )
A. b＜c＜a B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. c＜b＜a
4. (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( )
A. e2 B. e
C. e-1 D. e-2
二、 多项选择题
5. (2025·连云港期末)蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为T(t)＝＋15，其中T(t)为蜥蜴的体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，则( )
A. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温下降了12 ℃
B. 从t＝0到t＝5，蜥蜴体温的平均变化率为－2.4℃/min
C. 当t＝5时，蜥蜴体温的瞬时变化率是－1.2 ℃/min
D. 蜥蜴体温的瞬时变化率为－3 ℃/min时的时刻t＝min
6. (2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A. x＝3是f(x)的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f(x)＜f
C. 当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D. 当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
三、填空题
7. (2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝－2ln x的最小值为______________．
8. (2024·全国甲卷)若曲线y＝x3－3x与y＝－2＋a在上有两个不同的交点，则a的取值范围为______________．
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，a∈R.
(1) 当a＝2时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2) 讨论f(x)的单调性．
10. (2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围．
11. (2025·温州期末)已知函数f(x)＝ex＋a，g＝ln x.
(1) 若a＝0，求证：g＜x＜f(x)；
(2) 若方程f(x)＝g－a有2个不同的解，求实数a的取值范围．(共45张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
y－y1＝f′(x1)(x－x1)
y1－y0＝f′(x0)(x1－x0)
v＝s′(t)
a＝v′(t)
u′±v′
u′v＋uv′
[f(g(x))]′＝f′(g(x))g′(x)
f′(x)<0
f′(x)≥0
导数及其应用 研究函数性质 极值 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有______________，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0).如果对x0附近所有的点，都有f(x)>f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0).极大值和极小值统称为极值．
最值 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的_________．
f(x)最小者
考法聚焦 素养养成
1
导数的几何意义
【解析】
考法
1
(ln 2)x＋y－ln 2＝0
【题组训练】
1. 已知曲线y＝ln x－x2上的一点P(1，f(1))，在点P处的切线的倾斜角为θ，则角θ＝_____．
【解析】
【解析】
3x＋y－2＝0
3. 若过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为____________________．
【解析】
27x－y－54＝0或y＝0
2
含参函数的单调性讨论
【解答】
考法
2
(2024·南通期末)已知函数f(x)＝ln x－x，g(x)＝ax2－2ax，a＞0.
(1) 设曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线为l，若l与曲线y＝g(x)相切，求a的值；
【解答】
变式
(2) 设函数h(x)＝f(x)＋g(x)，讨论h(x)的单调性．
【解答】
(2024·南通期末)已知函数f(x)＝ln x－x，g(x)＝ax2－2ax，a＞0.
变式
(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1) 讨论f(x)的单调性；
3
极值与最值
【解答】
f′(x)＝aex－1，当a≤0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－ln a；令f′(x)＜0，得x＜－ln a，所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．综上，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
考法
3
【解答】
(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
3
变式
【解答】
【解答】
变式
(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex(x－1)，则下列判断正确的是 ( )
A. 当x<0时，f(x)＝－e－x(x＋1)
B. f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)
C. 函数f(x)在R上单调递增
D. 函数f(x)有3个零点
4
导数与函数性质的综合应用
考法
4
【解析】
【答案】BD
【题组训练】
1. (2022·新高考Ⅰ卷)(多选)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则 ( )
A. f(x)有两个极值点
B. f(x)有三个零点
C. 点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心
D. 直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
【解析】
【答案】AC
2. 已知a∈R，函数f(x)＝ax－1－ln x在x＝1处取得极值．
(1) 求函数f(x)的单调区间；
【解答】
(2) 若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】
2. 已知a∈R，函数f(x)＝ax－1－ln x在x＝1处取得极值．
配套新练案
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
A
4. (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为 ( )
A. e2 B. e
C. e-1 D. e-2
C
【解析】
【解析】
【答案】ABC
6. (2024·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则 ( )
A. x＝3是f(x)的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)
C. 当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D. 当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
【解析】
对于A，函数f(x)的定义域为R，且f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)·(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)＜0；当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0.故函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确．
对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x(1－x)＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)＞f(x2)，故B错误．对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确．对于D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝(x－1)2(2－2x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确．
【答案】ACD
【解析】
1
【解析】
令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x＞0)，则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1).令g′(x)＝0(x＞0)，得x＝1.当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，且g(0)＝1，g(1)＝－2，可作出g(x)的大致图象如图所示．因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2，1).
(－2，1)
四、 解答题
9. 已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，a∈R.
(1) 当a＝2时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
【解答】
当a＝2时，f(x)＝2e2x－x，f′(x)＝4e2x－1，可得f(0)＝2，f′(0)＝3，即切点坐标为(0，2)，切线斜率k＝3，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y＝3x＋2.
(2) 讨论f(x)的单调性．
【解答】
由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，注意到ex＞0，2ex＋1＞0.①若a≤0，则f′(x)＜0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减．②若a＞0，令f′(x)＝0，解得x＝－ln a．当x＞－ln a时，f′(x)＞0；当x＜－ln a时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln a)上单调递减．
9. 已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，a∈R.
10. (2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
【解答】
当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，f′(1)＝e－1，f(1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.
(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求实数a的取值范围．
【解答】
10. (2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
【解答】
【解答】
由f(x)＝g(x)－a，可得ex＋a＝ln x－a，所以ex＋a＋x＋a＝ln x＋x＝ln x＋
eln x．令m(x)＝ex＋x，显然m(x)＝ex＋x在R上单调递增，由m(x＋a)＝m(ln x)，所以x＋a＝ln x，则a＝ln x－x，依题意可得y＝a与y＝F(x)＝ln x－x有两个交点．由(1)可知F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(1)＝－1，由当x→0时F(x)→－∞，当x→＋∞时F(x)→－∞，所以a＜－1，即实数a的取值范围为(－∞，－1).
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