基本不等式核心知识点
核心公式：对任意正数，有，当且仅当时等号成立（算术平均数≥几何平均数）。
常用变形：
积定求和最小：若（定值，），则；
和定求积最大：若（定值，），则；
适用条件：一正（变量均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号成立条件）。
二、题型归类与典型例题
题型 1：直接配凑（基础）
例题：已知，求的最小值。
解答：
因，故，（满足一正）；（积为定值，满足二定）；
由基本不等式：；
当且仅当，即时取等号，故最小值为。
题型 2：多变量常数代换（进阶）
例题：已知，，且，求的最小值。
解答：
由，得；；
因，，故，，由基本不等式：；
故，当且仅当且（即，）时取等号，最小值为。
题型 3：复杂分式换元（提升）
例题：已知，求的最小值。
解答：
令（，因），则；
代入分子：；
故；
因，由基本不等式：；
当且仅当，即（）时取等号，最小值为。
三、习题
）
已知，求的最小值。
2已知，求的最小值。
3.已知，，且，求的最大值。
4.已知，，且，求的最小值。
5.已知，求的最大值。
6.已知，求的最大值。
7.已知，求的最大值。
8.已知，，且，求的最小值。基本不等式核心知识点
核心公式：对任意正数，有，当且仅当时等号成立（算术平均数≥几何平均数）。
常用变形：
积定求和最小：若（定值，），则；
和定求积最大：若（定值，），则；
适用条件：一正（变量均为正）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号成立条件）。
二、题型归类与典型例题
题型 1：直接配凑（基础）
例题：已知，求的最小值。
解答：
因，故，（满足一正）；（积为定值，满足二定）；
由基本不等式：；
当且仅当，即时取等号，故最小值为。
题型 2：多变量常数代换（进阶）
例题：已知，，且，求的最小值。
解答：
由，得；；
因，，故，，由基本不等式：；
故，当且仅当且（即，）时取等号，最小值为。
题型 3：复杂分式换元（提升）
例题：已知，求的最小值。
解答：
令（，因），则；
代入分子：；
故；
因，由基本不等式：；
当且仅当，即（）时取等号，最小值为。
三、习题
）
已知，求的最小值。
2已知，求的最小值。
3.已知，，且，求的最大值。
4.已知，，且，求的最小值。
5.已知，求的最大值。
6.已知，求的最大值。
7.已知，求的最大值。
8.已知，，且，求的最小值。
答案
1.因，，；（积定）；，当且仅当（）时取等，最小值为。
答案：
2.拆，则；，当且仅当（）时取等，最小值为。
答案：
3.变形，，，（和定）；
由和定求积：，故，当且仅当（，）时取等，最大值为。
答案：
4.；，故，当且仅当且（，）时取等，最小值为。
答案：9
。
令（），则；；，故，当且仅当（，）时取等，最大值为。
答案：
6.变形，，，（和定）；，故，当且仅当（）时取等，最大值为。
答案：
7.分子分母同除以（）：；，故，则，当且仅当（）时取等，最大值为。
答案：
8.变形：，即；，，由基本不等式：；
故，即，当且仅当（）时取等，最小值为。
答案：
