太和中学高三上学期第一次教学质量检测
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及应用，三角函数（任意角和弧度制、三角函数的概念，同角三角函数的基本关系与诱导公式，三角恒等变换）80%+其他20%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若：，，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“角终边落在第一或第四象限”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. （ ）
A. B. C. 1 D.
6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A B. 4 C. 5 D.
8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知点位于角的终边上，则（ ）
A. 是锐角
B.
C.
D. 是奇函数
11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 ____________.
13. 若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______．
14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知幂函数为偶函数，且．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
16. 已知集合，.
（1）若，，且是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若函数的定义域为，且，求的取值范围.
17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成的二面角的正弦值.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值，并求出的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线与曲线的公切线；
（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.太和中学高三上学期第一次教学质量检测
数学试题
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数，一元函数的导数及应用，三角函数（任意角和弧度制、三角函数的概念，同角三角函数的基本关系与诱导公式，三角恒等变换）80%+其他20%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若：，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变化．
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定．
故.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集的定义即可求解.
【详解】因为，，所以，
故选:A.
3. “”是“角的终边落在第一或第四象限”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论.
【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立；
当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立；
“”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件.
故选：D.
4. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得.
【详解】由得，
又，
所以，，得，
所以．
故选：A．
5. （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
故.
故选：A.
6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设等比数列公比为，利用等比数列通项公式与求和公式，解出基本量代入求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由，
解得，所以，解得，
所以.
故选：B.
7. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 4 C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解.
【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，
当时，开口向下，不满足题意，
所以，
令，得，
当时，不等式对任意的恒成立，
所以，即，且，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
故选：B.
8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象并换元，结合图象将问题转化为方程根的分布列不等式求解.
【详解】由函数恰有5个零点，
得方程有5个根，
在平面直角坐标系中作出函数的图象，
令，观察图象知，当时，直线与的图象有3个交点，
当时，直线与的图象有2个交点，
令，
由函数有5个零点，得有两个不等实根，且，，
因此或，解得或，
所以实数m的取值范围是.
故选：B
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 影响植物产量的因素很多，其中株高对产量有一定的影响.经调查某种植物的株高（单位：）近似地服从正态分布，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设，则，根据正态分布的对称性得，结合选项即可判断.
【详解】设，则，
由服从正态分布得，
所以，故AD正确，BC错误.
故选：AD.
10. 已知点位于角的终边上，则（ ）
A. 是锐角
B.
C.
D. 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD.
【详解】对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由于，，故，C正确；
对于D，
，故是奇函数，D正确，
故选：BCD
11. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可.
【详解】因为对任意的，，时，恒成立，
设，
则
，
所以函数在上单调递减，
又
，
所以不等式成立等价于，
又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称，
当时，，解得；
当时，因为关于直线对称，即，
所以，解得，
综上不等式成立的条件为，
所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.
故答案为：
13. 若扇形AOB的面积为S，则当扇形AOB的周长取得最小值时，该扇形的圆心角的弧度数为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，进而根据扇形的面积公式可得，再结合基本不等式求解扇形AOB的周长最小时圆心角的弧度数.
【详解】设扇形AOB的半径、弧长分别为r，l，
则，即，
所以周长，
当且仅当时取等号，
所以当扇形AOB的周长最小时，圆心角的弧度数为.
故答案为：2.
14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解.
【详解】令，得，
即，令，，
所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点.
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且时，时，
所以的图象如图所示，
设是经过点的的图象的切线，切点为，
则切线斜率为，
所以方程为，
又经过点，所以，
即，解得或，
或，
所以由图可知，当或，
即或时，函数的图象与的图象有两个交点，
即函数恰有2个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知幂函数为偶函数，且．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到在区间上为减函数，求得，结合以及函数为偶函数，进而确定实数的值；
（2）由（1）得，结合幂函数的性质，把不等式转化为，即可求得实数的取值范围．
【小问1详解】
因为，所以幂函数在区间上为单调递减函数，
所以，解得，
又因为，则m的值为，
函数为偶函数，所以为偶数，所以．
【小问2详解】
由（1）知函数，其图象关于轴对称，且在区间上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
解得或，即的取值范围是．
16. 已知集合，.
（1）若，，且是必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若函数的定义域为，且，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；
（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为，最后结合二次函数的值域即可求参.
【小问1详解】
由题意知，
解不等式，解得，所以，
因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围是.
【小问2详解】
因为，所以在上有解，
所以，
令，则，
所以，即的取值范围是.
17. 如图，直三棱柱中，，，，是的中点，，分别是棱，上的点，.
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，根据平行的传递性得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可.
【小问1详解】
取中点，连接，，
由是中点得，，
三棱柱中，由，，
由题意，分别是棱，上的点，，得，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
在直三棱柱中，平面，，
所以，，两两垂直，
以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由，，，
知，，，，，
设平面的一个法向量为，则即
取，则，，即；
易知平面的一个法向量为，
设平面和平面所成二面角为，
则，所以，
即平面和平面所成的二面角的正弦值为.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
（1）求的值，并求出的解析式；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求恒成立问题，由基本不等式计算可得的取值范围.
【小问1详解】
因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线与曲线的公切线；
（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案；
（2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可；
（3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可.
【小问1详解】
，
当时，在时恒成立，此时在单调递增；
当时，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
【小问2详解】
，，，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，，
此时切线方程为，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，
此时切线方程为，
所以，，时两边都是单调的，
且时，等号成立，故，
公切线方程为；
小问3详解】
，
，即，
因为的两个极值点为，，
所以有两个不同的正数解，所以
又，代入解得，
，，
令，，
，所以在单调递减，
，
故答案为.
