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13.2.2 空间两条直线的位置关系
第2课时 异面直线
探究点一 异面直线的判断
探究点二 异面直线所成的角
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握异面直线所成的角.
知识点一 异面直线的判断
1.定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线
是异面直线.
2.判断异面直线的方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不
经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就
是异面直线
知识点二 异面直线所成的角
1.定义：如图，与是异面直线,经过空间任意一点，作直线 ,
,我们把直线与所成的________________叫作异面直线，
所成的角或夹角.
锐角（或直角）
2.求异面直线所成角的一般步骤
（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法（常用三角形的中位线
定理、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角或其补角.
（2）证明：证明作出的角或其补角就是要求的角.
（3）计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解.
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成
的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
探究点一 异面直线的判断
例1（1） 在四棱锥 中，各棱所在的直线为异面直线的有
___对.
8
[解析] 与直线异面的有直线和 ，同理，底面的各条边所在
直线均与两条侧棱所在直线异面，故异面直线共有 （对）.
（2）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原
成正方体，那么，，， 这四条线段所
在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解：还原的正方体如图所示.由图可知， ，
， 这四条线段所在直线中，是异面直线的
有三对，分别为与，与，与 .
变式 如图所示，在三棱锥中，， 是
棱上异于，的不同两点，，是棱 上
异于， 的不同两点，给出下列说法：
①与 为异面直线；
②与， 均为异面直线；
③与 为异面直线；
④与 为异面直线.
其中正确的说法是__________.（填序号）
①②③④
[解析] 因为直线平面,直线平面,点 平面,
点直线,所以由异面直线的判定定理可知, 与 为异面直线,
故①正确；同理,②③④正确.
［素养小结］
判定异面直线的方法
（1）定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相
交，即不可能同在同一个平面内.
（2）利用异面直线的判定定理.
（3）反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置
关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可.
探究点二 异面直线所成的角
例2 [2024·江阴四校高一期中]在正方体中， 为
的中点，则异面直线与 所成的角为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图,连接,,设与 交于点,连接,
在正方体 中,易知,,
又, 分别为,的中点,所以 ,,
则四边形 为平行四边形,所以,
所以异面直线与 所成的角就是或其补角.
设正方体的棱长为2,可得 ,,,在 中,
由余弦定理得 ,
由,得 ,所以异面直线与所成的角是 .
故选C.
变式1（1） [2024·菏泽一中高一月考]如图，在三
棱锥中，为等边三角形，, 分别
为,的中点，则异面直线与 所成的角为
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,分别为, 的中点，
所以，则或其补角是异面直线与所成的角.
因为为等边三角形，所以，
故异面直线 与所成的角为 .故选A.
√
（2）在三棱柱中,,,,, 分别是
和的中点,则异面直线与 所成的角为____.
[解析] 如图,取的中点,连接,,
, 分别为,的中点,,
则 （或其补角）为异面直线与 所成的角.
取的中点,连接,,则 且,
又且, 四边形为平行四边形,.
在 中,由,, ,
得,则 ,
,, ,
,,则,
可得,即异面直线与所成的角为.
变式2 如图所示,在空间四边形中,, ,
的中点分别是,,,且, ,
,证明: .
证明：,,分别为,,的中点,
,, 或其补角是异面直线与所成的角.
,, , ,,
异面直线与所成的角为 , .
［素养小结］
求异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为
两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习
立体几何的一条重要的思维途径.
1.求解异面直线所成的角问题的解题思路:把空间两条异面直线所成
的角通过平移转化为平面内相交直线所成的角,再求出该角.
2.两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直.
3.要证两条异面直线垂直,只需证这两条异面直线所成的角是直角.
1.判定或证明异面直线的方法有两种
（1）定义法:由定义法判定两直线不可能在同一平面内,常用反证法.
（2）判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不
经过该点的直线是异面直线.
例1 如图所示,在四面体中,,分别是棱, 上的
点,且.求证:直线与 是异面直线.
证明：设为上靠近的三等分点,连接 ,如图,
则,故 ,所以,,, 四点共面.
因为平面,平面,所以 平面,
又平面, ,所以直线与 是异面直线.
2.求异面直线所成的角的基本步骤:作（找）、证、求、答.
例2（1） 如图，在正方体
中，，分别为和 的中点，则异面直
线与 所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取的中点,的中点,
连接,, ,如图.
因为,分别为,的中点,
所以, ,
则四边形为平行四边形,所以.
同理可得 ,
则或其补角为异面直线与所成的角.
设正方体的棱长为 ,
则,
,
,,
所以 ,
可得,故异面直线与所成角的正弦值为 .故选B.
（2）如图，在边长为4的正三角形中， ，
，分别为,,的中点，，分别为 ，
的中点，将沿，， 折成四面体
，,,重合于 ，则在此四面体中，异
面直线与 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 连接,设的中点为,连接 ,,如图.
因为,分别为, 的中点,所以,
则 或其补角即为异面直线与 所成的角.
由题意知,四面体 的各棱长均为2,
因为为的中点,所以, ,
则,.
在 中,, ,
，
故 ，
故异面直线与所成的角的余弦值为 .故选B.第2课时 异面直线
【课前预习】
知识点二
1.锐角(或直角)
【课中探究】
探究点一
例1 (1)8 [解析] 与直线AB异面的有直线PD和PC,同理,底面的各条边所在直线均与两条侧棱所在直线异面,故异面直线共有4×2=8(对).
(2)解:还原的正方体如图所示.由图可知AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线中,是异面直线的有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
变式 ①②③④ [解析] 因为直线DC 平面BCD,直线AB 平面BCD,点B∈平面BCD,点B 直线DC,所以由异面直线的判定定理可知,AB与CD为异面直线,故①正确;同理,②③④正确.
探究点二
例2 C [解析] 如图,连接AC,BD,设AC与BD交于点Q,连接B1Q,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BD∥B1D1,BD=B1D1,又P,Q分别为B1D1,BD的中点,所以PB1∥DQ,PB1=DQ,则四边形DQB1P为平行四边形,所以DP∥QB1,所以异面直线DP与B1C所成的角就是∠QB1C或其补角.设正方体的棱长为2,可得B1C=2,QC=,QB1=,在△B1QC中,由余弦定理得cos∠QB1C
====,由∠QB1C∈(0,π),得∠QB1C=,所以异面直线DP与B1C所成的角是.故选C.
变式1 (1)A (2)30° [解析] (1)因为M,N分别为PA,PB的中点,所以MN∥AB,则∠BAC或其补角是异面直线MN与AC所成的角.因为△ABC为等边三角形,所以∠BAC=,故异面直线MN与AC所成的角为.故选A.
(2)如图,取AB1的中点F,连接EF,DF,∵D,F分别为AC1,AB1 的中点,∴DF∥B1C1,则∠FDE(或其补角)为异面直线B1C1与DE所成的角.取AC的中点O,连接BO,DO,则DO∥CC1且DO=CC1,又BE∥CC1且BE=CC1,∴四边形DOBE为平行四边形,∴DE=BO.在△ABC中,由AB=1,AC=2,BC=,得AB2+BC2=AC2,则AB⊥BC,∴OB=AC=1.∵DF=B1C1=BC=,EF=AB=,DE=OB=1,∴DF2+EF2=DE2,∴∠DFE=90°,则sin∠FDE==,可得∠FDE=30°,即异面直线B1C1与DE所成的角为30°.
变式2 证明:∵P,Q,R分别为AB,BC,CD的中点,∴PQ∥AC,QR∥BD,∴∠PQR或其补角是异面直线AC与BD所成的角.∵PQ=2,QR=,PR=3,∴PQ2+QR2=PR2,
∴∠PQR=90°,∴异面直线AC与BD所成的角为90°,
∴AC⊥BD.第2课时 异面直线
1.C [解析] 如图所示,正方体一共有12条棱,其中棱CC1,DD1,A1D1,B1C1所在直线都与棱AB所在直线异面.故选C.
2.A [解析] 两条异面直线指的是不同在任何一个平面内的两条直线,故A正确;在空间中不相交的两条直线可以平行或异面,故B错误;分别位于两个不同平面内的两条直线可以平行、相交或异面,故C错误;某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线可以平行、相交或异面,故D错误.故选A.
3.D [解析] 两条异面直线在一个平面上的射影可以是两条相交直线、两条平行直线或一条直线和一个点.故选D.
4.B [解析] 连接A1C1,A1B,如图.因为A1C1∥AC,所以异面直线AC与BC1所成的角就是A1C1与BC1所成的角,即为∠BC1A1或其补角,又易知△BC1A1是等边三角形,所以
∠BC1A1=60°,所以异面直线AC与BC1所成的角为60°.故选B.
5.A [解析] 因为a,b为两条异面直线且a α,b β,α∩β=l,所以a与l共面,b与l共面,假设l与a,b都不相交,则a∥l,b∥l,所以a∥b,与a,b异面矛盾,故A正确;当a,b在如图所示的位置时,可知l与a,b都相交,故B,C,D错误.故选A.
6.A [解析] 如图,过点P作直线a',b',使a'∥a,b'∥b,则a'与b'的夹角为70°,不妨设a'与b'的夹角为∠APB,其补角为∠APC,则∠APB=70°,∠APC=110°,所以与a',b'的夹角相等的直线在a',b'所在平面上的射影与∠APB或∠APC的平分线所在直线重合.因为∠APB的平分线所在直线与a',b'的夹角均为35°,所以其他在a',b'所在平面上的射影与∠APB的平分线所在直线重合的直线与a',b'的夹角都大于35°.因为∠APC的平分线所在直线与a',b'的夹角均为55°,所以其他在a',b'所在平面上的射影与∠APC的平分线所在直线重合的直线与a',b'的夹角都大于55°.所以只有1条直线与a',b'的夹角均为35°,即只有1条直线与a,b的夹角均为35°.故选A.
7.D [解析] 记AB的中点为F,连接EF,A1F,如图,因为E为棱AC的中点,所以EF∥BC,易知EF=2,A1E=A1F==2,所以△A1EF为等腰三角形,∠A1EF为锐角,所以∠A1EF即为异面直线A1E与BC所成的角.记EF的中点为D,连接A1D,所以A1D⊥EF,则cos∠A1EF===,即异面直线A1E与BC所成角的余弦值为.故选D.
8.ABC [解析] 在选项A,B,C中的两直线均可能平行、相交、异面,故A,B,C中说法均错误;由异面直线的定义可知,D中说法正确.故选ABC.
9.BCD [解析] 将展开图还原为正方体,如图.对于A选项,直线EF和直线CD平行,不是异面直线;对于B选项,直线AB和直线HG是异面直线;对于C选项,直线EF和直线HG是异面直线;对于D选项,直线AB和直线CD是异面直线.故选BCD.
10.异面 [解析] ∵E 平面BCD,D∈平面BCD,BF 平面BCD,D BF,∴直线DE与BF是异面直线.
11.无数 [解析] 如图所示,过点P作直线l'使l'∥l,则易知以l'为轴且轴截面为等边三角形的圆锥的所有母线所在直线都与l成30°角.
12.或 [解析] 取BC的中点E,连接EM,EN,如图.∵M,E分别为AB,BC的中点,∴ME∥AC且ME=AC=1,同理可得EN∥BD且EN=BD=,∴∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,则∠MEN=45°或∠MEN=135°.在△MEN中,ME=1,EN=,若∠MEN=45°,则由余弦定理可得MN===;若∠MEN=135°,则由余弦定理可得MN===.综上所述,线段MN的长为或.
13.解:如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,
则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,
设 AO=ON=1,可知∠OAN=∠ONA,又∠AOM=∠OAN=30°,所以∠ONA=30°,则AN=.
因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PA=PN=,
在△APN中,由余弦定理得,cos∠PAN===,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为.
14.证明:如图,取CC'的中点F,连接EF,BF,
∵E为AC的中点,F为CC'的中点,
∴EF∥AC',EF=AC'.
在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AC'=2,则EF=,在等边三角形ABC中,BE==,
在Rt△BCF中,BF==.
在△BEF中,∵BE2+EF2=BF2,
∴BE⊥EF,∴BE⊥AC'.
15.B [解析] 对于选项A,在翻折过程中,BE与AE的夹角∠BEA=80°,始终不变,故A错误;对于选项B,∵AD∥EC,∴转化为判断BE和EC是否会垂直,易知翻折过程中BE和EC夹角的变化范围是(20°,180°),故存在某个位置使得BE⊥AD,故B正确;对于选项C,易知翻折过程中AB和AC夹角的变化范围是(20°,60°),故不存在某个位置使得AB⊥AC,故C错误;对于选项D,由于CD平行于翻折前的AB,故只需考虑翻折过程中AB'与翻折前的AB夹角的变化范围,又易知翻折过程中AB与翻折前的AB夹角的变化范围是(0°,80°),所以不存在某个位置使得AB⊥CD,故D错误.故选B.
16.解:(1)证明:∵△ABD为等边三角形,O为BD的中点,
∴AO⊥BD.
在△BCD中,∵O为BD的中点,BC⊥CD,
∴OC=BD=1.
在Rt△AOD中,AD=2,OD=1,∴AO=.
在△AOC中,AO=,OC=1,AC=2,则AO2+OC2=AC2,∴AO⊥OC.
(2)取AD,AC的中点分别为E,F,连接OF,EF,OE,如图.
①由(1)得OF=AC=1,AB=BD=2,
在△ACD,△ABD中,∵E,F,O分别为AD,AC,BD的中点,
∴OE∥AB,EF∥CD且OE=AB=1,EF=CD,
故异面直线AB与CD所成的角即为∠OEF或其补角,
在△BCD中,BC=CD,BD=2,BC⊥CD,则CD=,
∴EF=CD=.
在△OEF中,cos ∠OEF==,
故异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
②∵异面直线AB与CD所成角的余弦值为,
∴由①可知|cos∠OEF|==,OE=1,OF=1,∴EF=,故CD=1.
在△BCD中,CD=1,BD=2,BC⊥CD,
∴BC=,故=.第2课时 异面直线
【学习目标】
1.理解异面直线的概念,并能正确画出两条异面直线.
2.掌握异面直线所成的角.
◆ 知识点一 异面直线的判断
1.定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.
2.判断异面直线的方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
定理法 过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交,那么这两条直线就是异面直线
◆ 知识点二 异面直线所成的角
1.定义:如图,a与b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的 叫作异面直线a,b所成的角或夹角.
2.求异面直线所成角的一般步骤
(1)构造:根据异面直线的定义,用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角.
(2)证明:证明作出的角或其补角就是要求的角.
(3)计算:求角度,常利用三角形的边角关系,通过解三角形求解.
(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.
◆ 探究点一 异面直线的判断
例1 (1)在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线为异面直线的有 对.
(2)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对 分别是哪几对
变式 如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F是棱AD上异于A,D的不同两点,G,H是棱BC上异于B,C的不同两点,给出下列说法:
①AB与CD为异面直线;
②FH与DC,DB均为异面直线;
③EG与FH为异面直线;
④EG与AB为异面直线.
其中正确的说法是 .(填序号)
[素养小结]
判定异面直线的方法
(1)定义法:利用异面直线的定义,说明两条直线不平行,也不相交,即不可能同在同一个平面内.
(2)利用异面直线的判定定理.
(3)反证法:假设两条直线不是异面直线,根据空间两条直线的位置关系,这两条直线一定共面,即可能相交或平行,然后推出矛盾即可.
◆ 探究点二 异面直线所成的角
例2 [2024·江阴四校高一期中] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则异面直线DP与B1C所成的角为 ( )
A. B. C. D.
变式1 (1)[2024·菏泽一中高一月考] 如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,M,N分别为PA,PB的中点,则异面直线MN与AC所成的角为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=,D,E分别是AC1和BB1的中点,则异面直线B1C1与DE所成的角为 .
变式2 如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD的中点分别是P,Q,R,且PQ=2,QR=,PR=3,证明:AC⊥BD.
[素养小结]
求异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.第2课时 异面直线
一、选择题
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB所在直线异面的棱所在直线有 ( )
A.8条 B.6条
C.4条 D.3条
2.两条异面直线指的是 ( )
A.不同在任何一个平面内的两条直线
B.在空间中不相交的两条直线
C.分别位于两个不同平面内的直线
D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
3.两条异面直线在一个平面上的射影是 ( )
A.两条相交直线
B.两条平行直线
C.一条直线和一个点
D.以上都有可能
4.[2024·江苏泰州期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BC1所成的角为 ( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
5.若a,b为两条异面直线,α,β为两个不同的平面,a α,b β,α∩β=l,则下列结论中正确的是 ( )
A.l至少与a,b中一条相交
B.l至多与a,b中一条相交
C.l至少与a,b中一条平行
D.l必与a,b中一条相交,与另一条平行
6.[2024·江苏南京外国语学校期末] 异面直线a,b的夹角为70°,过空间一点P作直线l,使l与a,b的夹角均为35°,这样的直线条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.[2024·江苏盐城五校联考] 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,E为棱AC的中点,则异面直线A1E与BC所成角的余弦值为 ( )
A.- B.-
C. D.
8.(多选题)下列关于异面直线的说法错误的是( )
A.若a α,b β,则a与b是异面直线
B.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
C.若a,b不同在平面α内,则a与b异面
D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b异面
9.(多选题)[2024·江苏连云港高级中学月考] 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么下列各组直线中是异面直线的是 ( )
A.直线EF和直线CD
B.直线AB和直线HG
C.直线EF和直线HG
D.直线AB和直线CD
二、填空题
10.[2024·北京海淀区期末] 如图,已知E,F分别为三棱锥D-ABC的棱AB,DC的中点,则直线DE与BF的位置关系是 (填“平行”“异面”或“相交”).
11.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线有 条.
12.[2024·杭州外国语高一月考] 如图,在四面体A-BCD中,AC=2,BD=,AC与BD所成的角为45°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为 .
三、解答题
13.在圆锥PO中,轴截面PAB为等腰直角三角形,M为底面圆O上一点,∠AOM=30°,求异面直线OM与AP所成角的余弦值.
14.如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'.
15.如图①,在菱形ABCD中,AC,BD是其对角线,E是边BC上一点,且∠BAE=∠BAD=40°,将△BAE沿直线AE翻折,形成四棱锥B-AECD(如图②),则在翻折过程中,下列结论中正确的是 ( )
A.存在某个位置使得BE⊥AE
B.存在某个位置使得BE⊥AD
C.存在某个位置使得AB⊥AC
D.存在某个位置使得AB⊥CD
16.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABD为等边三角形,BD=AC,BC⊥CD,O为BD的中点,BD=2.
(1)证明:AO⊥OC;
(2)①当BC=CD时,求异面直线AB与CD所成角的余弦值;
②当异面直线AB与CD所成角的余弦值为时,求的值.
