第四单元 第5节 几何测量问题 任务二（锐角三角函数) 课件(共32张PPT) 2026年中考数学一轮专题复习

(共32张PPT)
大单元复习
第四单元 三角形
第1节
相交线与平行线
第3节
第4节
三角形
全等、相似三角形
特殊三角形
第2节
一般三角形
第5节
几何测量问题
第5节
任务一 测量公园不规则湖泊的长度
任务二 测量公园路灯的高度
任务二 测量公园路灯的高度
几何测量问题
单元复习规划
目
录
任务准备
考向精练
课堂小结
方案展示
任务一 公园不规则湖泊的长度
任务二 测量公园路灯的高度
上节课我们用构造直角三角形、全等三角形和相似三角形的方法，通过设计方案、测量、计算公园湖泊的长度. 本节课我们通过测量公园里一根垂直于地面的路灯的高度，来复习锐角三角函数的相关知识.
任务二 测量公园路灯的高度 人员 测量工具 其他物品
组别：XXX 组长：XXX 测量人员：XXX、XXX 记录人员：XXX 协助人员：XXX 标杆、皮尺、测角仪、绳子、三角板 纸、笔、科学计算器
任务准备
小组一
第一步：在平行太阳光下用皮尺测得此时路灯AB
在地面的影子BC的长度，并记录
第二步：在C处立一根长为1.6 m的标杆，用皮尺测
得此时的影子CE长，并记录
数据测量：
方案设计理念：
你能根据设计图说出操作步骤吗？
EC/m CB/m
1.2 2.25
你能根据表格中的数据计算出路灯高度吗？
D
A
B
C
E
方案展示
计算过程：
解：由题意，得
解得AB＝3米.
答：路灯DE的高度是3米.
方案反思与优化：
反思：只进行了一次测量，随机性比较大，数据可能存在错误或者较大误差，导致计算结果错误或者不准.
优化：应该尽可能多次测量，然后选取每个测量值的平均数进行计算.
已知数据：DC=1.6m EC=1.2m CB=2.25m
D
A
B
C
E
C
小组二
第一步：在C处用测角仪刚好测得∠ACB=60°，此时
用皮尺测得BC的距离，记录在表格
第二步：重复以上步骤测量，并记录
方案设计理念：
我们测量了1个角度，利用了锐角三角函数计算路灯的高度，操作如下：
A
B
60°
方案展示
数据测量：
第一次 第二次 第三次 平均值
BC/m 1.75 1.74 1.73 1.74
计算过程：
解：
解得AB≈3.01米.
答：路灯AB的高度约为3.01米.
BC的长度需要取3次测量的平均值计算
已知数据及数量关系：tan60°=
C
A
B
60°
我们也采用了锐角三角函数的方法，但是步骤不一样,如下：
小组三
第一步：在点B两侧分别确定点C、D，
使B、C、D三点在同一直线上，
且测角仪测得∠ACB=30°，
∠ADB=60°
第二步：用皮尺测得CD两点间的距离，
记录在表格
第三步：重复以上步骤多次测量，并记录
方案设计理念：
C
A
B
D
30°
60°
方案展示
数据测量：
计算过程：
你有什么优化建议吗？
解：设BC的距离为x 米，则BD=(6.8－x)米，
由题意，得
解得x≈5.1，则AB=
答：路灯AB的高度约为2.94米.
C
A
B
D
30°
60°
第一次 第二次 第三次 平均值
CD/m 6.8 6.7 6.9 6.8
小组四
第一步：在C处用测角仪测得∠ACB=45°，将
测角仪升高至点D使测得点A处的仰角
为∠ADE=30°；
第二步：用皮尺测量CD的高度，并记录
第三步：重复以上步骤多次测量，并记录
C
方案设计理念：
我们利用了测角仪的高度来进行测量，
操作如下：
A
B
E
45°
30°
D
方案展示
数据测量：
计算过程：
解：设路灯AB的高度为x 米，
∵∠ACB=45°，
∴DE=CB=AB=x，AE=x－BE=x－1.3,
在Rt△ADE中，
解得x≈3.07米.
答：路灯AB的高度约为3.07米.
已知数据及等量关系：BE=CD
DE=CB=AB
AE=AB－EB
你有什么优化建议吗？
A
B
E
45°
30°
D
C
第一次 第二次 第三次 平均值
CD/m 1.31 1.3 1.29 1.3
小组五
第一步：将测角仪放在CD处，调整测角仪的高
度，使测得路灯A处的仰角为30°，此
时用皮尺测量测角仪的高度，并记录
第二步：保持测角仪高度不变，向前移动测角仪
至EF处，使测得路灯A处的仰角为45°，
测量此时DF的距离，并记录
第三步：重复以上步骤多次测量，并记录
方案设计理念：
测量步骤：
E
A
B
D
F
G
45°
30°
C
方案展示
数据测量：
计算过程：
解：设AG的高度为x 米，由∠AEG＝45°
可知AG＝EG，由∠ACG＝30°可得：
解得x≈2.08米.
∴AB＝AG＋GB＝AG＋CD＝2.08＋1＝3.08米.
答：路灯AB的高度是3.08米.
已知等量关系：CD=EF=GB
CG=DB
EG=FB
CE=DF
第一次 第二次 第三次 平均值
CD/m 0.99 1.01 1 1
EF/m 1 1.01 0.99 1
DF/m 1.2 1.1 1.3 1.2
E
A
B
D
F
G
45°
30°
C
小组六
第一步：在C处用测角仪测得∠ACB=60°，将测角仪
升高至点D处，测得俯角∠EDB=30°
第二步：用皮尺测量CD的高度，并记录
第三步：重复以上步骤多次测量，并记录
方案设计理念：
C
A
B
30°
60°
D
E
测量步骤：
方案展示
数据测量：
已知数据及数量关系：BE＝CD
解：设路灯AB的高度为x米，
由题意，得
解得x＝3米.
答：路灯AB的高度是3米.
C
A
B
30°
60°
D
E
第一次 第二次 第三次 平均值
CD/m 1 1.01 0.99 1
计算过程：
方案设计理念：
小组七
第一步：将无人机垂直向上飞行5m至C处，测量此
时路灯顶端A的俯角，并记录
第二步：保持无人机高度不变向前飞行2m到达D处，
测量此时路灯底部B的俯角，并记录
第三步：重复以上步骤测量，并记录
我们利用了无人机在空中进行了测量，操作如下：
D
C
A
B
E
方案展示
数据测量：
∠ECA ∠EDB
第一次 15° 45°
第二次 14°58′ 45°37′
第三次 15°02′ 44°23′
平均值 15° 45°
计算过程：
已知数据及数量关系：tan15°≈0.27
CD＝2m
DE＝BE＝5m
CE＝CD＋DE＝7m
AB＝BE－AE
解：设AE的高度为x 米，
在Rt△AEC中， ,
解得x＝1.89米，
则路灯AB＝BE－AE＝5－1.89＝3.11米
答：路灯AB的高度是3.11米.
D
C
A
B
45°
15°
E
1.(2025甘肃兰州)天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
考向精练
月球、地球的实物图与平面示意图 说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P(将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图(如图)，过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．
解：设PH=x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB=90°，∠ABP=89°25'37.43′′，
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．(结果精确到1万千米)
(参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087)
∴BH= ，
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=89°25'37.43′′，∠BAP=89°22'38.09′′．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．(结果精确到1万千米)
(参考数据：tan89°25′37.43''≈100.00，10089°22′38.09''≈92.00，sin89°25′37.43''≈040.99995，sin89°22′38.09′′≈0.99994，cos89°25′37.43′′≈0.00999，cos89°22′38.09′′≈0.01087)
∵在Rt△PHA中，∠PHA=90°，∠BAP=89°22'38.09′′，
∴AH= ，
∵AH＋BH＝AB≈0.8(万千米)，
∴ ，解得x≈38，即PH≈38(万千米)，
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
2.酒泉肃州钟鼓楼位于甘肃省酒泉城中央，是凝聚了古代肃州劳动人民智慧结晶的标志性建筑．为传承酒泉文明、弘扬民族精神，某校“综合与实践”小组开展了测量钟鼓楼(如图2)高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
图1
测量钟鼓楼高度的实践报告
活动课题 测量钟鼓楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案 示意图 测量 步骤 如图2，(1)利用测角仪站在B处测得钟鼓楼最高点P的仰角为39°；
(2)前进了16米到达A处(选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计)，在A处测得钟鼓楼最高点P的仰角为56°.
参考数据 sin 39°≈0.6，cos 39°≈0.8，tan 39°≈0.8，sin 56°≈0.8， cos 56°≈0.6，tan 56°≈1.5 计算钟鼓楼PO的高度．(结果保留整数) 图2
解：由题意，得PO⊥OB，AB＝16，
设OA＝x，则OB＝OA＋AB＝x＋16，
在Rt△AOP中，∠OAP＝56°，
∴OP＝OA·tan 56°≈1.5x，
在Rt△BOP中，∠PBO＝39°，
∴OP＝OB·tan 39°≈0.8(x＋16)，
∴1.5x＝0.8(x＋16)，解得x≈18.3，
∴OP＝1.5x＝1.5×18.3＝27.4≈27，
答：钟鼓楼的高度PO约为27米．
16
图2
3.【综合与实践】数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
(1)准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪(图1)，利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺．
(2)实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图2)；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
(3)计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为________；
35°
②根据测量数据，画出示意图4，AB＝1.6m，BC＝16.8m，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 55°≈0.82，
cos 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
解：由题意得：四边形ABCE是矩形，
∴CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝16.8m，
∴在Rt△EDA中，tan ∠DAE＝tan 35°，
∵tan ∠DAE＝ ，
∴DE＝AE·tan 35°≈16.8×0.70＝11.76m，
∴CD＝DE＋CE＝11.76＋1.6≈13.4m，
答：旗杆CD的高度约为13.4m；
答：不能；
∵三角板只有30°、60°的三角板和45°的三角板，而B点的仰角为35°，
∴三角板测不出仰角α的度数；
如图，作EF＝DE，则△DEF为等腰直角三角形，∠DFE＝45°，
∴DE＝EF＝11.8m，
∵AE＝16.8m，∴AF＝AE－EF＝5m，
∴向右走5m，用45°直角三角板测量即可
(答案不唯一，向左走用30°三角板测量也可以)．
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．
锐角三角函数求高度 图示
辅助线作法 / / 作DE⊥AB
等量关系 AB=tanα·BC AB=BE+AE=CD+DE·tanα=CD+
课堂小结
锐角三角函数求高度 图示
辅助线作法 作CG⊥AB 作DE⊥AB 延长CD，作CE⊥BE
等量关系 AB=BG+AG =CD+tanα·(CE+ )