2025－2026学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合，集合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵，，
∴.
故选：A.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，
所以.
故选：B
3. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】双曲线的两渐近线夹角为，
所以或，所以或.
“或”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4. 已知随机事件互相独立，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为随机事件互相独立，所以，
则，
,
解得，，，
．
故选：A．
5. 三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，则二面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图，作出符合题意的图形，取的中点，连接，
因为和均为等边三角形，所以，，
因为平面平面，且面，所以面，
则以为原点建立空间直角坐标系，设和的边长为，
可得，，，
得到，，
设面的法向量为，可得，
令，解得，故，
易得面法向量为，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，故C正确
故选：C
6. 函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数定义域为，，
因为函数在区间上存在单调增区间，
所以区间有解，
即在区间有解，
所以在区间上能成立，故，
又，当且仅当时取等，所以．
故选：B．
7. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设点，则，.
若满足，则，即，即，所以.
令，则表示点到坐标原点的距离.
如图，当线段过圆心时，最大，最大值为.
所以的取值范围是.
故选：D.
8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】定义在上的函数满足：，都有，且，
所以，故，
在等式中，令可得，所以，
所以，，，
，，
在等式中，令可得，所以，
所以，，，
，
当时，有，
又因为，且，故.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 当时， D. 若，则
【答案】BC
【详解】因为，
对于A选项，，A错；
对于B选项，当时，，则，
当时，，则，
所以，对任意的，，故函数为偶函数，B对；
对于C选项，当时，，
所以，故，C对；
对于D选项，若，则，此时，D错.
故选：BC.
10. 已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】令，
对于A选项，的展开式通项为，
其中，，所以，A对；
对于B选项，，
所以，B错；
对于C选项，，
所以，C对；
对于D选项，，
故，D对.
故选：ACD.
11. 一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形
B. 水面可能是正三角形
C. 当经过时，与面的交线长为
D. 当逆时针旋转时，水面的面积为
【答案】ABCD
【详解】A选项，水的体积，
，
所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3，
当水面经过点时，水面与面相交，如图4，
则在此之前水面形状均为三角形，
继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5，
转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确；
B选项，初始位置，如图1，，
当水面经过时，如图3，此时，
所以，，
所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确；
C选项，如图4，，且由于与相似，
则， ，故C选项正确；
D选项，当逆时针旋转时，如图6，，
且由于与相似，则，则，
则水面的面积为，故D选项正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12. 已知，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，又，
故时，等号成立，所以的最小值为8.
故答案为：
13. 已知是坐标原点，抛物线的焦点是，过的直线与交于两点，现将抛物线沿轴翻折，则三棱锥体积的最大值为_____.
【答案】
【详解】抛物线的焦点为.
易知直线的斜率必不为0，故设直线：.
联立方程组，消去并整理得.
设，，则，.
设抛物线沿轴翻折后点到平面的距离为，则，
∴.
故答案为：.
14. 小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为，则_____；_____．
【答案】 ①. ②.
【详解】的可能取值为1，2，3，4，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字均为1，
抛掷3次，朝下的面上的数字共有种情况，
故，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为2，
分有1个2，2个2和3个2三种情况，
故；
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为3，
分有1个3，2个3和3个3三种情况，
故；
，抛掷1次，朝下的面上的数字为4，此时概率为，
或抛掷2次，第二次朝下的面上的数字为4，此时概率为，
抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4，此时概率为，
故；
故
故答案为：，.
四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据：
（月份）
（人数）
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性
女性
请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．
参考公式：，，其中．
【答案】（1）
（2）能，理由见解析
【小问1详解】
由表格中的数据可得，，
所以，
，
故关于的线性回归方程为.
【小问2详解】
零假设关注“苏超”赛事与性别无关，
由表格中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关.
16 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若，都有，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，极大值为
（2）
【小问1详解】
由题意可知，且，
所以，
当时，，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
此时，函数的极小值为，极大值为；
当时，，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
此时，函数的极小值为，极大值为.
综上所述，函数的极小值为，极大值为.
【小问2详解】
当时，由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，
若，都有，只需，即，解得，
此时；
当时，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，
与题设条件矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
17. 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为．
（1）求证：且；
（2）若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
连接并延长交于点，连接，
因为在底面内射影为，
所以平面，则，
又因为侧面为矩形，
所以，而，所以，
由于平面，
所以平面，
又因为平面，所以，即，
因为，，所以D为中点，
则为的垂直平分线，
所以，
因此，且得证；
【小问2详解】
由（1）知平面，已知，，
则就是与底面所成角，其正切值为，余弦值为，
，解得，
则，
，
，
设点到平面的距离为，
，
解得，
又易得平面，
所以到平面的距离为．
18. 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．
（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望；
（3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）取到27的可能性最大
【小问1详解】
李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为，
王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为，
因为李老师和王老师发通知是独立事件，
所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为，
所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为；
【小问2详解】
表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以分布列为：
0 1 2
期望；
【小问3详解】
表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40，
设，则，
所以，
令，解得，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
又，
则，
所以时概率最大，
则取到27的可能性最大．
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1）
（2）
（3）为定值，证明见解析
【小问1详解】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，，
由椭圆的性质得，且，解得，，
则椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
而关于原点对称，则，可得，，
因为，所以，解得，
可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
而，，
因为，所以，
解得，则，
因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
两式相加可得，即.
【小问3详解】
如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为，
联立方程组，
得到，
因为直线与椭圆相切，所以，
可得，
化简得，
设过的两条切线的斜率分别为，
因为的轨迹方程为，所以解得，
由韦达定理得.2025－2026学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1．已知集合，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3． “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知随机事件互相独立，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，则
二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（ ）
B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数下列说法正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．当时， D．若，则
10．已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11． 一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形
B．水面可能是正三角形
C．当经过时，与面的交线长为
D．当逆时针旋转时，水面的面积为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12．已知，，则的最小值为 ▲ ．
13．已知是坐标原点，抛物线的焦点是，过的直线与交于两点，现将抛物线沿轴翻折，则三棱锥体积的最大值为 ▲ ．
14．小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1,2,3,4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为，则 ▲ ； ▲ ．
四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分13分)
为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了2025年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据：
x（月份） 1 2 3 4 5
y（人数） 2 3 5 7 8
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 120 380
女性 80 420
请依据小概率值α=0.010的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．
参考公式：，其中．
α 0.050 0.010 0.001
α 3.841 6.635 10.828
16．(本小题满分15分)
已知函数．
（1）求的极值；
（2）若，都有，求的取值范围．
17．(本小题满分15分)
如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为．
（1）求证：且；
（2）若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离．
18．(本小题满分17分)
某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．
（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望；
（3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．
19．(本小题满分17分)
已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）过点作椭圆的两条切线，试探究两切线斜率乘积是否为定值？
