四川省字节精准教育联盟2026届高三上学期第一次诊断性考试模拟数学试卷（含解析）

秘密★启用前【考试时间：2025年10月20日15:00~17:00】
字节精准教育联盟·高中2023级第一次诊断性考试模拟试题
数 学
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上的项目填写清楚。
考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
考试结束后，请交回答题卡，试题卷自行保存。
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.
1．已知集合，，则A与B的交集是（ ）
A． B． C． D．ABC均错误
2．已知函数，设，则是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递减，上递增
D．在上单调递增，上递减
3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设为斐波那契数列，，，，其通项公式为，设是的正整数解，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知，且，对于任意均有，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数在区间上的最小值为
B．若函数在区间上的取值范围为，则的最大值是
C．若，则
D．若，则
10．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．函数在区间上的最大值为
C．函数在区间上单调递增
D．将函数图象上所有的点向左平移个单位，得到的图象
11．函数的图象上有三个不同的点.抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ）
A．若点A的纵坐标为，则其范围是
B．点B关于原点的对称点在函数的图象上
C．若点且，则可能为直角
D．若点则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，则 ．
13．若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 .
14．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）已知全集，集合，.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
（2）已知，，求.
16．（本小题满分15分）
已知函数．
(1)求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
(2)令，若对于恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
18．（本小题满分17分）
记是数列的前项和，，，且数列是等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设若，求数列的前项和
19．（本小题满分17分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．
(1)用定义证明函数在为单调递增函数；
(2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
试卷第4页，共4页
字节精准教育联盟·高中2023级第一次诊断性考试模拟试题
数学参考答案与试题解析
1．D
【分析】根据题意可得，再判断即可.
【详解】由题知，
故选：D.
2．B
【分析】首先判断与的奇偶性，再画出的图像即可求出的单调性.
【详解】的定义域为，
因为，则，
所以为奇函数.
又，则也是奇函数.
由，可得图象如图所示：
所以函数在上单调递增.
故选：B
3．D
【分析】根据特殊角的三角函数值，以及对数函数的单调性，分别判断大小即得．
【详解】由题意知，，，
，且，
所以，即．
故选：D．
4．A
【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系.
【详解】由，解得：或，
所以“”是“”的充分不必要条件；
故选：A
5．D
【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
6．C
【分析】利用平移变换和诱导公式推得，，再逐一检验各选项即可.
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，，，
对于A，若，代入得，故A错误；
对于B，若，代入得，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，若，代入得，故D错误.
故选：C.
7．A
【分析】利用给定条件结合对数的性质将化为，结合，得到，根据递增，得到也是递增数列，得，即可求解.
【详解】由题知是的正整数解，
故，取指数得，
同除得，，故，
即，根据是递增数列可以得到也是递增数列，
于是原不等式转化为.
由斐波那契数列可得，，，，
可以得到满足要求的的最大值为，故A正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于利用对数的运算将，
转化为，结合的表达式得到，
从而求解的最大值.
8．B
【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，
设，则的零点为，
当时，则，，要使，必有，则，不合题意；
当时，则或，即或;
综上一定有.
故选：B.
9．BCD
【分析】先利用三角变换公式得，结合正弦函数的性质判断A，求出的解集后判断B，利用二倍角公式结合弦切互化判断C，利用两角差的余弦计算判断D.
【详解】
.
对于A，，，，
，故的最小值为，故A错误.
对于B，函数的取值范围为，，
故，解得.
当最大时，的最大值是，故B正确.
对于C，
，
而，故，故C正确.
对于D，，
，
故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】根据周期公式先算出，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D.
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，
所以，则，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故A正确；
当，则，
所以当，即时取得最大值，故B错误；
当，则，因为在上不单调，
所以在区间上不单调，故C错误；
将函数图象上所有的点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】由换元法，结合正弦函数的性质即可求解A，根据偶函数的性质即可求解B，求导，得函数的单调性以及变化趋势，继而可作出的大致图象，根据两点距离公式先证明曲线上除点外，始终在圆的内部，即可结合图形性质求解C，根据两点距离公式以及二次函数的性质证明,即可求解D.
【详解】对于函数，令，则，所以A正确.
B选项：易知为偶函数，所以B选项错误.
C选项：记，,由于，，故，
所以单调递增，.
所以当时，单调递减，且减小速度逐渐变慢；
当时，单调递增，且增长速度逐渐变快，
作出的大致图象：
设为曲线上任意一点，则，
，则，故在单调递增，故，故，当且仅当取到等号，
，故，则
，当且仅当时，，
设，故曲线上除点外，始终在圆的内部，
故当，结合曲线的凹凸性可得，
所以大于，所以C选项错误.
D选项：设点是函数图象上一点，
且，易知
由于,
所以
，
所以，.所以D正确.
故选：AD.
12．
【分析】由已知条件展开可求得，,代入即可.
【详解】由得：,
由得：,
所以，,
所以.
故答案为：
13．
【分析】由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可.
【详解】因为，所以，
由题知，则，
令可得或.
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极小值，不合乎题意；
若，即当，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，无极值点；
若，即当时，
由可得或，由可得，
此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，
此时，函数在处取得极大值，合乎题意.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式，进而可得，利用并项求和法求解即可.
【详解】因为，所以数列是等比数列，设数列的公比为，
又因为，，所以，解得，所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
15．（1）；（2）
【分析】（1）依题意可得集合是集合的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由同角的三角函数关系结合角的范围计算即可.
【详解】（1）集合，而必为非空集合，
因为是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
所以（等号不同时成立），解得，所以实数的取值范围为．
（2）因为，两边平方得，
有，所以，
又因为，所以，则，
所以．
16．(1)最小正周期是，最小值为．的集合为
(2)
【分析】(1)首先化简函数，再根据三角函数的性质，即可求解；
（2）将不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是，
当，可得，即时，
函数的最小值为．
此时的集合为．
（2）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围．
17．(1)
(2)e
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解；
（2）由已知可得，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可；
（3）设，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）因为，所以,，
则，
当时，即时，，单调递增；
当时，即时，，单调递减；
当，即时，，单调递增.
故所求单调递减区间为.
（2）因为，所以，故由得.
设，则.
①当时，则，所以在上单调递增.
从而，解得，此时，.
②当时，在上恒成立，单调递增，
则需，即，此时；
当时，则时，，单调递减；
时，，单调递增.
所以，变形可得.
此时，.
设，，则.
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
所以，即，当且仅当，时取等号.
综合可知的最大值为e.
③当时，在上单调递减.
从而，解得.
此时.
综上，的最大值为e.
（3）证明：设，
则，
设，则，
设，则，
而的导数，
所以在上单调递减.
因为，，
所以存在唯一，使得.
当时、，单调递增，当时，，单调递减.
又因为,,.
所以存在唯一，使得.
当时，即单调递增，当时，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得.
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又因为，，，
所以存在唯一，使得，
即方程在上有唯一实数解.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出，再利用与的关系求解即可；
（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）因为，，设等差数列的公差为，则，解得，
所以，即，
当时，，当时，成立，故．
（2）由题意可得
.
19．(1)证明见解析
(2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明；
（2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可；
（3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解.
【详解】（1）证明：根据题意，，设，则.
则有，即，
所以函数在为单调递增函数.
（2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下：
已知函数，若，则，
即，所以，所以方程无实数解，
即不存在实数，使成立，
故不是“局部反比例对称函数”.
（3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，
则方程，即在上有解.
整理得：.
令，由，得，
所以问题转化为方程在上有解.
设函数，则其图象开口向上，对称轴为.
分类讨论：
①当时，只需，即，
解得，所以；
②当时，只需，即，
解得，所以.
综上，实数的取值范围为.
答案第12页，共13页