(共6张PPT)
北师大版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 由一元二次方程的解求参数
2 0.85 证明四边形是菱形；中点四边形；与三角形中位线有关的证明；利用矩形的性质证明
3 0.75 反比例函数与几何综合； 求矩形在坐标系中的坐标
4 0.75 根据矩形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合；斜边的中线等于斜边的一半
5 0.65 列表法或树状图法求概率
6 0.65 解一元二次方程——配方法
7 0.65 由一元二次方程的解求参数
8 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据菱形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
9 0.4 比较反比例函数值或自变量的大小
10 0.4 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 根据一元二次方程根的情况求参数
12 0.75 列举法求概率
13 0.65 相似三角形实际应用
14 0.65 多边形内角和问题；相似多边形的性质
15 0.64 根据图形面积求比例系数（解析式）；根据矩形的性质求面积
16 0.55 矩形与折叠问题；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程
18 0.75 动态几何问题(一元二次方程的应用)；相似三角形——动点问题
19 0.75 求反比例函数解析式；反比例函数与几何综合；一次函数与反比例函数的交点问题
20 0.65 动态几何问题(一元二次方程的应用)；用勾股定理解三角形
21 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.64 根据平行线判定与性质证明；相似三角形的判定与性质综合
23 0.64 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率
24 0.4 一次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数与反比例函数的交点问题2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
2．如图， 四边形 为矩形， E， F， G， H 分别为 ， ，， 的中点， 则四边形的形状是（ ）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（ ）
A． B． C．7 D．9
4．如图，在中，，，点是边的中点，取内一点，使，并构造矩形，则线段的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用如图所示的两个转盘（每个转盘均被等分）进行“配紫色”（红色加蓝色能配成紫色）游戏，配得紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
8．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
9．已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（ ）
A．6个、18个 B．6个、20个
C．12个、20个 D．12个、22个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
12．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，两次取出的小球标号的和等于5的概率是 ．
13．早在西汉时期，我国天文学家就提出了一种测量日高的公式——“重差术”．如图，用长度为的杆子（“表”）在间距为的两个地点测日影，测得影长分别为、，用这种方式计算出的日高公式 ．（用、、、的代数式表示）
14．如图，四边形四边形，则 ．
15．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在线段上，且，函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，顺次连接点D、O、M，若的面积为，则k的值为 ．
16．如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间（），那么：
(1)在运动过程中，的长度能否为 试说明理由；
(2)当t为何值时，与相似？
19．如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标．
20．如图，中，，，8，点从点出发，以每秒的速度沿运动；同时点从点出发，以每秒的速度沿运动，当到达点时，点同时停止运动．
(1)运动几秒时的面积为？
(2)运动几秒时中？
21．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家月日销售玩偶共个，日、日销售量持续增长，日销量达到个．
(1)求月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本元，售价为每个元时，日销量可达个；每降价元，日销量可增加个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到元
22．如图，已知：，与相交于点E，点F在线段上，，，的面积等于2．求的面积．
23．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“自”、“在”、“宁”、“海”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅匀再摸球．
(1)小明从中任取一球，球上的汉字刚好是“宁”的概率为 ；
(2)小明从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表或画树状图的方法，求小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“自在”或“宁海”的概率．
24．如图，直线与反比例函数的图象交于两点．
(1)求的值和反比例函数的表达式；
(2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A C A D B C B
1．D
本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可．熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
解：把代入，得：，
解得；
故选D．
2．B
连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据矩形的性质、菱形的判定定理解答．
解：连接、，
∵在中，G、H为、的中点，
∴，且，
在中，E、F为、的中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
故选：B．
本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
3．B
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解；
解：作轴，如图所示：
则，
∴；
∵，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
设点，
∵，，，为矩形的四个顶点，
∴，解得，
∴，
∴；
故选：B
4．A
本题考查的是相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
延长交于点H，利用相似三角形的判定和性质得出，确定，点H为的中点，再由矩形的性质及直角三角形斜边中点的性质求解即可．
解：延长交于点H，如图所示：
∵，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，点H为的中点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
5．C
本题考查了概率了运算，熟悉掌握表格法或树状图法是解题的关键．
利用表格法列出表格求解即可．
解：由题意可得：
红 红 蓝
红 红红 红红 蓝红
蓝 红蓝 红蓝 蓝蓝
由表可得一共有6种等可能情况，其中一红一蓝的情况有3种，
∴紫色的概率为：，
故选：C．
6．A
本题考查了利用配方法解一元二次方程，先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得．
解：，
移项，得：，
方程两边都得：，
∴，
故选：A．
7．D
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到．
解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，
是关于x的方程的一个根，
，
解得，
关于x的方程必有一个根为．
故选：D．
8．B
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
解：，，
四边形为平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
∴，
，，，
，
∴．
故选：B．
9．C
本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再将、、代入解析式，得到的大小关系．
将代入反比例函数，
，
解得，
所以反比例函数解析式为，
，
，
，
故选：C．
10．B
本题考查了由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最少的块数以及最多的块数即可解答．
解：如图所示：
小立方体的个数最少是（个）；最多是（个）小立方体．
故选：B．
11．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，即可求解．
解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
12．
本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于5的结果数，由概率公式即可求得结果．
解：∵随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，
∴所有可能的结果有，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
一共16种，
其中两次取出的小球标号的和为5的情况有：，，，共4种，
则两次取出的小球标号的和等于5的概率为．
故答案为：．
13．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，，即：，可得，同理，可得，即：，则有，问题随之得解．
如图，
根据题意有：，，，，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
同理，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和定理，根据相似多边形对应角相等以及内角和为计算即可．
四边形四边形，
，
四边形内角和为，
，
故答案为：．
15．6
本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，由矩形的性质可得O、B、M三点共线，且，则可得到，据此求出即可得到答案．
解：如图，连接．
∵点M为矩形的对称中心，
∴O、B、M三点共线，且，
∴，
∵，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：6．
16．
本题考查了折叠、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长．
解：过点作，垂足为，
由折叠得：是正方形，，
，
∴，
在中，，
∴，
在中，设，则，由勾股定理得，，
解得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是关键．
（1）利用开平方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
（1）解：
移项得：，
两边直接开平方得：，
则，；
（2）解：
∵，，
∴．
∴方程有两个不相等的实数根
∴．
即，．
18．(1)不能，见解析
(2)当或时，与相似．
（）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可；
（）分两种情形讨论即可若时，若时两种情况，然后分别解方程即可；
本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）解：的长度不能为；理由如下：
由题意得，，
∴，
在中，，
∴，
化简得：，
∵，
∴原方程无实数根，
∴的长度不能为；
（2）解：∵由题意得，，
∴，
若时，
则有，即，
整理得：，
解得：，
∴时，与相似；
若时，
则有，即，
解得：，
∴当时，与相似，
综上所述：当或时，与相似．
19．(1)
(2)
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义．
（1）将点代入，求得，将点坐标代入求得；
（2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案．
（1）解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得：
，
解得：，
，
将点的坐标代入反比例函数得：
，
解得：；
（2）解：过点作轴，如图，
在一次函数中令，得，
，
，轴，
，
点、在函数的图象上，轴，轴，
，
，
，
设，
则，
解得：或，
点在点的右侧，
，
．
20．(1)运动秒后，的面积等于
(2)运动或秒时中
本题主要考查一元二次方程与几何的问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）设运动秒后的面积等于，根据题意可直接列出方程进行求解；
（2）由三角形面积可直接列方程进行求解即可．
（1）解：设运动秒后的面积等于，
根据题意得：，，
则的面积是：
解得，
∵当时，
∴不符合题意，舍去
所以运动秒后，的面积等于；
（2）解：根据题意可得：，
解得
所以运动或秒时中．
21．(1)
(2)元
（）设月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，根据题意列出方程即可求解；
（）设每个玩偶降价元，根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
（1）解：设月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为，
由题意得，，
解得，（不符合题意，舍去），
答：月日、日这两天玩偶销售量的日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，
由题意得，，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
答：每个玩偶降价元时，当日总利润可达到元．
22．9
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算，解题的关键是利用平行线构造相似三角形，通过相似比确定线段比例及面积关系．
由证得，得出与的比例关系；再由证得，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出的面积；最后根据平行线间距离相等，利用底的比例关系求出的面积．
解：∵，
∴，，
∴．
∵，
∴，即．
∵，
∴，，
∴（两角分别相等的两个三角形相似）．
∴，
∵，
∴．
∵，与的高相等，
∴，
∴．
答：的面积为9．
23．(1)
(2)
本题主要考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识点，用树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“自在”或“宁海”的结果有4种，再由概率公式求解即可．
（1）解：小明从中任取一球，球上的汉字刚好是“宁”的概率为．
故答案为：．
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“自在”或“宁海”的结果有4种，
∴小明取出的两个球上的汉字恰好能组成“自在”或“宁海”的概率．
24．(1)，反比例函数的表达式为
(2)的值为定值，定值是
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出交点的坐标是解题的关键．
（1）将点代入中可求出的值，则可知点的坐标，将点代入中，即可求出反比例函数的表达式；
（2）由一次函数和反比例函数的表达式可得点的坐标，由点在反比例函数图象上，可得点的坐标，设点，直线的表达式为，
将点，代入，可得直线的表达式，分别令，，可得点，点的坐标，同理可得点，点的坐标，进而可得，，最后计算即可．
（1）解：将点代入中，得，
解得，
∴，
∴将点代入中，得，
，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：的值是定值，理由如下：
直线与反比例函数交于，两点，
令，解得，，
把代入得，，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
设点，直线的表达式为，
将点，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为，
令，得，即，
令，得，即，
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得，
直线的表达式为，
令，得，即，
令，得，即，
∴，，
∴，
∴的值为定值，定值是8．
