2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷02
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当，是矩形 B．当，是菱形
C．当，是菱形 D．当，是正方形
3．在一个不透明的袋子里有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，不断重复这一过程．小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里红球的个数大约是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．方程的根是（ ）．
A． B． C．或 D．或
5．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交延长线于点F．若，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E，，若四边形的面积为1，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，，若，则 ．
12．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ．
13．某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，先后摸出两个小球（每次只摸出一个球，第一次摸出后放回），摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ．
14．已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
15．如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点．当的面积为3时，k的值为 ．
16．将代入反比例函数中，所得函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，……．如此继续下去， ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．已知．
(1)当为何值时，是的正比例函数？
(2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值．
19．已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接．
(1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）；
(2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）．
20．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上.
(1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______.
(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理.
(3)拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明；
21．如图，在中，O是的中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和．
(1)求证：；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明；
(3)直接写出当满足什么条件时，四边形是正方形．
22．如图， 在中， 于点E， 延长至点F， 使， 连接、、．
(1)求证： 四边形是矩形；
(2)若， ， ， 求的长．
23．某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营业时发现∶当销售单价为25元时，每天销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．
(1)设销售单价x元，销售量y件，请列出销售量y件与销售单价x元的关系式．
(2)若商场要尽快减少库存且每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
24．如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点
(1)填空：______，______；
(2)点C是线段上一点不与A，B重合，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接，当四边形的面积等于20时，求点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标．(共5张PPT)
北师大版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷02
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 一元二次方程的定义
2 0.85 矩形的判定定理理解；添一个条件使四边形是菱形；正方形的判定定理理解
3 0.85 由频率估计概率
4 0.75 因式分解法解一元二次方程
5 0.75 根据矩形的性质求线段长；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.65 求反比例函数值
7 0.65 判断简单几何体的三视图
8 0.65 作角平分线(尺规作图)；由平行截线求相关线段的长或比值；利用平行四边形的性质求解
9 0.4 利用垂径定理求值；几何概率
10 0.4 根据图形面积求比例系数（解析式）；相似三角形的判定与性质综合
知识点分布
二、填空题 11 0.85 由平行截线求相关线段的长或比值
12 0.85 相似三角形的判定与性质综合
13 0.75 根据概率公式计算概率；列举法求概率
14 0.75 一元二次方程的根与系数的关系
15 0.65 根据图形面积求比例系数（解析式）；相似三角形的判定与性质综合
16 0.64 数字类规律探索；求反比例函数值
知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程
18 0.85 正比例函数的定义；根据反比例函数的定义求参数；求一个数的平方根；由反比例函数值求自变量
19 0.75 已知比例系数求特殊图形的面积
20 0.75 相似三角形的判定与性质综合；平行投影
21 0.65 证明四边形是菱形；证明四边形是正方形；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形性质和判定证明
22 0.65 判断三边能否构成直角三角形；利用平行四边形性质和判定证明；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是矩形
23 0.64 营销问题(一元二次方程的应用)；求一次函数解析式
24 0.4 因式分解法解一元二次方程；一次函数与反比例函数的交点问题；求一次函数解析式；一次函数与几何综合2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷02
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C B A A D A C
1．A
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握是解题的关键．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”，根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；
B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．该方程不是整式方程，不符合题意；
D．该方程中，当时，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．D
本题考查了对矩形、菱形和正方形判断的应用.根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案.
解：A、根据矩形的判定“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，故该选项不符合题意；
B、根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意；
C、根据菱形的判定“对角线垂直的平行四边形是菱形”，故该选项不符合题意；
D、根据矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”，而不是正方形，故该选项符合题意；
故选：D.
3．C
本题主要考查了利用频率估计概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法；根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，可得摸到红球的概率约为 ，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数．
解：∵小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
∴从这10个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为 ，
∴袋子里红球的个数估计是（个）．
故选：C．
4．C
本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．利用因式分解法解方程，即可得到答案．
解：，
，
则或，
解得：或，
故选：C．
5．B
本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明．首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用矩形周长求出和的长度，接着中运用勾股定理求出的长度，最后根据菱形性质计算出萎形的周长。
解：如图，由题意可知：三点共线，
，长宽
（宽）（长）（宽），
，
，
，
，
，
，
矩形的周长为，，
，
菱形的周长为：，
故选：B．
6．A
本题考查了函数的图象，根据函数自变量的取值范围，采用特殊值法、排除法将不适合题意的图象排除即可．
采用特殊值法，取和，分别计算的值，根据图象利用排除法即可得出答案．
解：当时，取，
则，
故排除、选项，
当时，取，
则，
故排除选项，
故选：．
7．A
本题考查了简单几何体的三视图，分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：、三棱柱的主视图是三角形，左视图是长方形，主视图与左视图不相同，本选项符合题意；
、圆柱的主视图与左视图相同，都是长方形，本选项不符合题意；
、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；
、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．
故选：．
8．D
本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到，，，，再利用平行线的性质证明得到，则，所以，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明得到，则可对C选项进行判断；由于，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
解：由作法得平分，
∴，故A选项不符合题意；
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故C选项不符合题意；
∵，
∴，原选项错误，故D选项符合题意．
故选：D．
9．A
本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率．
解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，
，
∴，
解得：，，
∴M部分面积与整个圆面积的比：，
∴等于，
故选A．
10．C
过点E作，则，设，由，可得，再，列方程，即可得出k的值．
解：过点E作，则，
，
，
设，
，
，
，
，
即，解得：，
故选：C．
本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．
11．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
解：，，
，
，
故答案为：．
12．
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
即，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率．
解：因为是第一次摸出后放回，
所以先后摸出两个小球的所有可能结果有种，分别是，，
其中，两球上金额的和为50元的结果有和两种，
根据概率公式，可得所求概率．
故答案为：．
14．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
根据根与系数的关系得到，，代入计算即可．
解：∵，分别是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
解：∵点E为的中点，
∴的面积的面积，，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∴．
故答案为：．
16．
分别计算出，，，，可得到每三个一循环，即可求出．
解：由题意，得，，…，每三个数为一组循环．
故答案为：．
本题主要考查探索规律，根据已知找出数字之间的联系是解题的关键．
17．(1)，
(2)，
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得；
（2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得．
（1）解：，
，
，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
或，
解得：，．
18．(1)
(2)；
本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：
（1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解；
（2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解．
（1）解：∵是正比例函数，
∴且，
解得：；
（2）解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：；
∴该反比例函数的解析式为，
当时，，
解得：．
19．(1)不变化，
(2)
（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解；
（）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解；
本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键．
（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴，
∴，
∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于，
故答案为：不变化，；
（2）解：由（）知，，
∴，
∴，
故答案为：．
20．(1)，
(2)详见解析
(3)详见解析
（1）根据题意，即可得到答案；
（2）证明，得到，即可证明定理；
（3）利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明．
（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是，
故答案为：，；
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：如图，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，而，
∴
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
21．(1)见解析
(2)当时，四边形是菱形；证明见解析
(3)当，且时，四边形是正方形
本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形和正方形的判定，熟知相关知识是解题的关键：
（1）利用证明即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形，即可得出结论；
（3）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的四边形是矩形可证明四边形是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可证明结论．
（1）证明：∵O是中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：当时，四边形是菱形；证明如下：
由（1）知，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，点 E是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）解：当，且时，四边形是正方形，证明如下：
由（1）知，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，点 E是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形．
22．(1)见解析
(2)
（1）根据平行四边形性质得，，再根据得，由此可判定四边形为平行四边形，然后再根据可得出结论；
（2）根据矩形性质得，再根据勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形的面积公式即可求出的长．
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
即，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
即，
由三角形的面积公式得：，
∴．
本题考查了判断三边能否构成直角三角形，利用平行四边形的性质证明，利用平行四边形性质和判定证明，证明四边形是矩形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的性质．
23．(1)
(2)30
本题主要考查了列关系式，列一元二次方程解决销售问题，解题的关键是理解题意，找出等量关系．
（1）根据题意列出关系式即可；
（2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可．
（1）解：根据题意得，
；
（2）解：根据题意得，
解得，
为尽快减少库存，所以取，
所以，销售单价应定为30元．
24．(1)，12
(2)
(3)点的坐标为或或
本题为四边形综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，则点，点，根据四边形的面积等于20列方程，求解即可；
（3）根据平移的性质，先求出直线的解析式，表示出，，F的坐标，可得，以，、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：当，为边时，当、为边时，当、为边时，分别列方程，求解即可．
（1）解：将点代入一次函数，
得，
解得，
将点代入反比例函数，
得，
故答案为：，12；
（2）设点C的横坐标为n，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，
点，点，
轴，，
四边形OCAD的面积，
解得或不合题意舍去，
；
（3）∵点，
设直线OC的解析式：，
代入点，
得，
解得，
直线OC的解析式：，
根据平移，可得，
设直线的表达式为，
直线的解析式为，
设平移后的点为，则点，
将点坐标代入，
得，
解得，
直线的表达式为：，
当时，，
点，
，
以、、F、Q为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：
当，为边时，，
解得或舍去，
点，
当、为边时，，
解得，
点；
当、为边时，，
解得舍或，
点，
综上，点的坐标为或或
