2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷03
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．0
2．下图是我市某展览馆出入口示意图．小颖和母亲从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约8亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y（单位：）与宽x（单位：）的情况，其中表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则面积最大的试验田是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
7．如图所示，用一个截面（阴影部分）把一个正方体斜截去右上方的一部分，则剩下的几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，若图中，则的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接、．下列结论：①点G是中点；②；③．其中正确的有 ．
12．如图，直线与轴相交于点，与函数的图象交于两点，点的坐标是．点的纵坐标是，则不等式组的解集是 ．
13．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为 ．
14．如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ．
15．对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式x ，当时，代数式的值等0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．关于x的代数式的不动值是 ，关于x的代数式 有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数a的值为 ．
16．如图，矩形的顶点在坐标原点，边、分别在、轴正半轴上，，，是中点，在轴上移动，将沿翻折至．当的长最小时，此时点的坐标为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是．
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
19．一个不透明的袋中装有个红球、个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；
活动从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．
请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
20．综合与实践
在综合与实践课上，八年级某兴趣小组的三位同学对含角的菱形进行了如下探究．
【背景】
如图，在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
【感知】
（1）如图1，若是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个数量关系：_____．
【探究】
（2）如图2，当为边上的任意一点时，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
【应用】
（3）若，，求线段的长．
21．如图，中，，将绕A点逆时针旋转得到 ，连接交于点F．
(1)求的度数；
(2)若，四边形是菱形，求的长度．
22．定义新运算：对于实数m、n、p、q，有．例如：．
(1)求关于x的方程的根；
(2)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
23．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点．
(1)求证：；
(2)连接交于点H，连接，．
①如图2，若，求证：；
②如图3，若为菱形，且，，求的值．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷03
数 学
（测试范围：九年级上册北师大版，第1-6章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C C C D C D A
1．A
本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程．据此求解即可．
解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：A．
2．C
本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．根据题意列出表格表示出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可．
解：根据题意可列表格如下，
小颖 母亲 C D E
C C，C C，D C，E
D D，C D，D D，E
E E，C E，D E，E
由表格可知共有9种等可能的情况，其中她们恰好从同一出口走出的情况有3种，
∴她们恰好从同一出口走出的概率是．
故选：C．
3．B
本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
用分别表示出第二天、第三天的票房，再根据第三天票房约8亿元，列出方程即可．
解：第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，
若把增长率记作x，
则第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，
因为第三天票房约8亿元，
所以，
故选：B．
4．C
本题主要考查了菱形的性质，平面直角坐标系点的特征，熟悉掌握菱形的性质是解题的关键．
连接，，由菱形的性质得到，即点与点关于直线对称，进而解答即可．
解：连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，
∵，，，
∴点与点关于直线对称，
∴，
故选：C．
5．C
本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数图象上坐标的特征是解题的关键．设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为．通过比较坐标的大小，利用矩形的面积公式及反比例函数图象上坐标的特征比较、、、的大小即可．
解：设四个点的坐标分别为甲，，乙，，丙，，丁，，对应四块试验田的面积分别为、、、．过点丙作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，设，，对应的面积为．
表示甲、丁试验田长、宽情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
，
，
，，
，
，
点与点甲、丁在同一反比例函数的图象上，
，
，
，，
，
，
，
面积最大的试验田是丙．
故选：C．
6．C
本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可．
A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意；
D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．D
本题考查三视图．熟练掌握三视图的确定方法，是解题的关键．注意，存在看不见的部分用虚线表示．从正面看，确定左视图即可．
解：几何体的左视图为：
故选：D．
8．C
此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可．
解：∵，，
∴，∴①可以；
∵，，
∴，∴②可以；
∵已知，但是夹角和不知道相等，
∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以；
∵，
∴，
∵，
∴，∴④可以；
故选：C．
9．D
本题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可．
A． 因为 ，，所以，即为直角三角形，故A正确．
B． 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确．
C．因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故C正确．
D．因为，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误．
故选：D．
10．A
本题考查的是等边三角形的性质及反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键．先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，故，过点作于点，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
解：如图：
和均为正三角形，
，
，
，
，
过点作于点，则，
点在反比例函数的图象上，
，
，
故选：A．
11．①③/③①
先求出、的长，再根据翻折的性质可得，，，再利用证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再设，然后表示出、，在中，利用勾股定理列出方程求出，从而可以判断①正确；根据的正切值判断，从而求出，不是等边三角形，，判断②错误；先求出的面积，再求出，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到的面积，判断③正确．
解：∵正方形中，，，
∴，，
∵沿对折至，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
∴，
∴，
即点G是中点，故①正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴不是等边三角形，
∴，故②错误；
的面积，
∵，
∴，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的数量关系利用勾股定理列式求出的长度是解题的关键，也是本题的难点．
12．
本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再根据图象写出不等式组的解集即可，掌握数形结合思想是解题的关键．
解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴不等式组的解集是，
故答案为：．
13．/
本题考查的是反比例函数的图象与性质．设，先求出，，则，，根据得出方程求出即可．
解：设，
在中，令，得，
令，得，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
经检验，是方程的解，符合题意，
故答案为：．
14．或或
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，根据题意分，，根据相似三角形的性质，列出比例式，求解即可．
解：∵矩形中，，，
∴，
分两种情况讨论：
①当时，
∴
②当时，
设，则
∴
解得：
即或
综上所述，或或．
故答案为：或或．
15． 3或 1或2
本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
①求得的解即为关于x的代数式的不动值；
②表示出两个不动值的平方，根据两个不动值的差为整数，a为正整数求得合适的a的值即可．
①解：，
移项，得，
方程左边分解因式，得，
或，
解得：，，
故答案为3或；
② ，
整理得：，
设方程两个解为s，t，
∴，，
∴，
∵为整数，
∴为整数，
∴正整数或2．
故答案为：3或，1或2．
16．
本题主要考查了矩形与折叠问题，两点距离计算公式，一次函数与几何综合，连接，根据矩形的性质可求出，由折叠的性质可得，根据，则当D、O、F三点共线时，有最小值；求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案．
解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴当D、O、F三点共线时，有最小值；
设直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点F的坐标为；
故答案为：．
17．(1)；
(2)．
本题考查了解一元二次方程．
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）根据公式法求解即可．
（1）解：，
，
或，
解得：；
（2）解：，
，
，
，
．
18．(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为
(2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟
本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围；
（2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可．
（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为，
点在该函数的图象上，
，
解得，
停止加热过程中对应的函数解析式为，
当时，，解得，
当时，，解得，
停止加热过程中对应的函数解析式为，
设该材料加热过程中对应的函数解析式为，
点、在该函数的图象上，
，得，
该材料加热过程中对应的函数解析式为；
（2）解：将代入中，，得，
将代入中，，得，
（分钟），
答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟．
19．
本题主要考查了列表法或树状图法求概率．解决本题的关键是利用画树状图法分别求出和，再根据求出的结果进行比较．
解：，
活动、画树状图，如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况，
两次都是红球的概率为；
活动、画树状图，如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的情况，其中两次都是红球的有种情况，
两次都是红球的概率为；
，
．
20．（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）的值为2或4．
本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用．
（1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；再证明，即可得到；
（2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，证明，即可得到；
（3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出，根据勾股定理求出，，再分类讨论即可求解．
解：（1），理由如下：
连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，
∵是边的中点，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）仍然成立，理由如下：
连接，
同理和是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）过点作交于点，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
由（2）知，
∴，
当点在线段上，
∴；
当点在线段上，
∴；
综上所述，的值为2或4．
21．(1)
(2)
本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和菱形的性质是解答的关键．
（1）证明得到，再根据三角形的内角和定理可得即可解答；
（2）利用菱形的性质得到，，则，进而求得，然后利用勾股定理求得，进而可求解．
（1）解：∵绕A点逆时针旋转得到 ，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设、相交于O，如图，
∵，，，
∴，即；
（2）解：∵，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)且
本题主要考查了新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案；
（2）根据新定义可得方程，再利用判别式和一元二次方程的定义列式求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且．
23．(1)，；
(2)或；
(3)或．
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象直接得出答案；
（3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标．
（1）解：，两点都在反比例函数的图象上，
．
．
反比例函数的解析式为，．
，两点都在一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
（2）解：由图可知，当或时，不等式．
（3）解：存在．
如图，过点B作轴，垂足为D．
，，
，．
，．
．
，
．
设点P的横坐标为，则．
．
或．
当点P在上，则或．
点P的坐标为或．
24．(1)见详解
(2)①见详解，②
（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出．
（2）①由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出；
②由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
∴；
（2）证明：①∵
∴，
又．，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解：②∵是菱形，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵．，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故．
本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．(共5张PPT)
北师大版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷03
试卷分析
知识点分布
一、单选题 1 0.94 由一元二次方程的定义求参数
2 0.85 列表法或树状图法求概率
3 0.75 增长率问题(一元二次方程的应用)
4 0.75 利用菱形的性质求线段长
5 0.65 实际问题与反比例函数
6 0.65 判断反比例函数的增减性；比较反比例函数值或自变量的大小；判断反比例函数图象所在象限
7 0.65 判断简单几何体的三视图
8 0.65 选择或补充条件使两个三角形相似
9 0.65 相似三角形的判定与性质综合
10 0.4 反比例函数与几何综合；等边三角形的性质
知识点分布
二、填空题 11 0.85 用勾股定理解三角形；正方形折叠问题；全等三角形综合问题
12 0.75 求反比例函数解析式；一次函数与反比例函数的交点问题
13 0.65 根据图形面积求比例系数（解析式）
14 0.65 根据矩形的性质求线段长；相似三角形的判定与性质综合
15 0.65 因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
16 0.55 已知两点坐标求两点距离；矩形与折叠问题；公式法解一元二次方程；一次函数与几何综合
知识点分布
三、解答题 17 0.85 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18 0.75 其他问题(一次函数的实际应用)；实际问题与反比例函数；求一次函数解析式；求反比例函数解析式
19 0.75 列表法或树状图法求概率
20 0.65 等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
21 0.65 等腰三角形的性质和判定；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
22 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；因式分解法解一元二次方程；新定义下的实数运算；一元二次方程的定义
23 0.4 反比例函数与几何综合；一次函数与反比例函数图象综合判断；求一次函数解析式；求反比例函数解析式
24 0.15 利用菱形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；含30度角的直角三角形；利用平行四边形性质和判定证明
