湖南省邵阳市2025-2026学年上学期期中考试数学试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用元素与集合之间的关系对选项逐一判断可得结果.
【详解】易知为有理数，可得，即A正确；
易知，即B错误；
而0不是正整数，所以，即C错误；
显然不是整数，即，可得D错误；
故选：A
2. 函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式、分母有意义的条件列不等式即得．
【详解】函数有意义，则，所以，
即定义域为，
故选：B
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】取判断充分性，根据不等式的性质判断必要性.
【详解】取，满足，但不满足，
故“”不是“”的充分条件.
若，则，
故“”是“”的必要条件.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
4. 设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ③④ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可判断①②④，通过举反例可判断②。
【详解】因为，所以，，所以，则①正确；
不妨取满足，但是，故②错误；
因为，则，所以，故③正确，④错误.
故选：D
5. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断即可．
【详解】全称命题的否定是特称命题，
命题“”的否定为.
故选：B．
6. 已知实数x满足，则的最小值为（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.
【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，
经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，
则,
故选:.
8. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ）
A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200
【答案】D
【解析】
【分析】由的整数部分位数近似于的整数部分位数，对取对数，求得其近似值，再根据的整数部分位数是n+1位求解.
【详解】因与1相比都非常大，
所以的整数部分位数近似于的整数部分位数，
而，
，
，
所以，
而，
因为的整数部分位数是n+1位，
所以的整数部分位数是1233位，
的整数部分位数是1234位，
所以的整数部分位数最接近1200位，
即的整数部分位数最接近1200位，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键是由的整数部分位数是n+1位而得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，为假命题的是（ ）
A. ，都有 B. 函数的最小值为2
C. 对任意非零实数，，都有 D. ，使得
【答案】ABC
【解析】
【分析】取特值判断选项A，C；利用对勾函数性质求出最小值判断B；利用存在量词命题真假判断方法判断D作答.
【详解】对于A，当时，不等式不成立，A是假命题；
对于B，原函数化为，令，显然函数在上单调递增，
因此当，即时，，B是假命题；
对于C，当实数，异号时，，C是假命题；
对于D，当时，，即，使得，D是真命题.
故选：ABC
10. 已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 是偶函数
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数的定义计算即可得C；结合奇函数性质与幂函数单调性计算即可得D.
【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确；
对B：由，则，故B正确；
对C：由，故不是偶函数，是奇函数，故C错误；
对D：由，在上单调递增，故可得，解得，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 若，则的最小值是9
D. 若，则的最大值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合基本不等式，可判定A正确；结合基本不等式和等号成立的条件，可判断B不正确；结合“1”的代换和基本 不等式可判定C正确；由，结合，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，则，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确；
对于B中，由，
当且仅当时，即，此时不成立，所以B不正确；
对于C中，由，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
13. 函数当时，恒成立，则实数的取值范围为___________
【答案】
【解析】
【分析】通过换元令,函数可变为，将恒成立可转化为在上恒成立.求得最小值即可求解.
【详解】令，则由，得．由题意，得在上恒成立，故有．
，开口向上，对称轴为
则
所以
故答案为：
14. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得函数图象恒在x轴上方，据此可得答案.
【详解】不等式对一切恒成立，
即函数图象恒在x轴上方，当时不成立，
故需要.
故答案为：
15. 已知，．
（1）求，定义域；
（2）求，的值；
（3）求的值．
【答案】（1）的定义域为，的定义域为；
（2），；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据分母不为零可得的定义域，易知的定义域为；
（2）将分别代入计算即可；
（3）先计算出的值，再代入即可.
【小问1详解】
对于可得，解得；
因此的定义域为，
由可得其定义域为.
【小问2详解】
易知，
【小问3详解】
易知，
所以
16. 已知a，b，c为实数，函数（）．
（1）若函数为幂函数，求a，b，c的值；
（2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
【答案】（1），，或，，；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义，即可列式求解；
（2）当时，函数是一次函数，由一次函数的单调性确定参数的取值范围，当时，由二次函数确定参数的取值范围，再结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
由函数的定义域为知，当为幂函数时，
应满足，或，
解得，，或，，．
【小问2详解】
当时，（），
由题意知，，所以；
当时，函数图象的对称轴为，
依题意得，即，
所以，得．当且仅当，时取等号．
综上可得，ab的最大值为．
17. 已知函数
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）作出函数在区间内的图像．
【答案】（1）；
（2）2或0 （3）图象见解析
【解析】
【分析】（1）代入求值即可；
（2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解．
（3）根据分段函数解析式即可作出函数图象.
【小问1详解】
易知
【小问2详解】
当时，，解得，满足要求，
当时，,解得或（舍）
综上可得或0
【小问3详解】
由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为60x元.如果你是企业决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？
【答案】（1）最低，亏损状态
（2）选择方案二进行补贴，理由见解析
【解析】
【分析】（1）列出每吨厨余垃圾平均加工成本，运用基本不等式求解最值；
（2）列出每种补贴方式获利表达式，运用二次函数性质求解，然后进行比较即可.
【小问1详解】
由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为
，
当且仅当 即 时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，
因为 ，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；
【小问2详解】
若该企业采用补贴方式①，设该企业每日获利为 元，
，
因为 ， 在 上单调递减，
所以当 吨时，企业获得最大利润，为3550元，
若该企业采用补贴方式②，设该企业每日获利为 元，
，
因为 ， 在 上单调递增，
所以当 吨时，企业获得最大利润，4000元.
结论：选择方案一，当日加工处理量70吨时，可以获得最大利润3550元；选择方案二，当日加工处理量为120吨时，获得最大利润4000元；所以选择方案二进行补贴.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题义的理解以及列出每吨厨余垃圾平均加工成本的表达式和列出每种补贴方式获利表达式.
19. 已知，，是实数，函数，，当时，.
（1）证明：；
（2）证明：当时，；
（3）设，当时，的最大值为2，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由条件当时，，取得：，即可证明；
（2）利用的单调性对a进行分类讨论证明即可；
（3）因为，在上是增函数，；由，知．由，根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，由此得，即可得．
【小问1详解】
证明：由条件当时，，
取得：，即．
【小问2详解】
证明：依题知而，所以．
当时，在上是增函数，
于是，．
，，，
，，
因此得；
当时，在上是减函数，
于是，，
，
，
，
因此得；
当时，，．
，
．
综合以上结果，当时，都有．
【小问3详解】
解：因为，在上是增函数，
当时取得最大值2，
即①，
，
．
因为当时，，即，
根据二次函数的性质，直线为的图象的对称轴，
由此得，即．
由①得，所以．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力．具体涉及到二次函数的有关性质、函数的单调性是要领，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂．本题综合性较强，其解答的关键是对函数的单调性的深刻理解，以及对条件“时”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程不严谨．湖南省邵阳市2025-2026学年上学期期中考试数学试卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为（ ）
A. ①②③ B. ①③④ C. ③④ D. ①③
5. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知实数x满足，则最小值为（ ）
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中，例如．因为，所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（）（ ）
A. 240 B. 600 C. 900 D. 1200
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，为假命题的是（ ）
A. ，都有 B. 函数的最小值为2
C. 对任意非零实数，，都有 D. ，使得
10. 已知幂函数的图像经过点，下列结论正确的有（ ）
A.
B
C. 是偶函数
D. 若，则
11. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 最小值为2
C. 若，则的最小值是9
D. 若，则的最大值为4
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 设集合，则用列举法表示集合为______．
13. 函数当时，恒成立，则实数的取值范围为___________
14. 若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是__________.
四、解答题（共77分）
15 已知，．
（1）求，的定义域；
（2）求，的值；
（3）求的值．
16. 已知a，b，c为实数，函数（）．
（1）若函数为幂函数，求a，b，c的值；
（2）若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
17 已知函数
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）作出函数在区间内的图像
18. 某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品.已知该企业日加工处理厨余垃圾x吨，最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y元与日加工处理量x吨之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.
（1）该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？平均成本
（2）为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为5000元；方案二：根据日加工处理量进行财政补贴，金额为60x元.如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个补贴方案？为什么？
19. 已知，，是实数，函数，，当时，.
（1）证明：；
（2）证明：当时，；
（3）设，当时，的最大值为2，求.
