第4节 基本不等式
[学习目标]
1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小).
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤()2(a,b∈R).
3.≥().2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0,则≥.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.( )
(2)当a,b异号时,+≤-2.( )
(3)若x>0,则函数f(x)=x2+的最小值等于4.( )
(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥均成立.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(人教A版必修第一册P49习题2.2T5改编)已知函数f(x)=3-x-,则当x<0时,f(x)有( )
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
【答案】 B
【解析】 由题意,当x<0时,f(x)=3+[(-x)+(-).]≥3+2=3+2,当且仅当x=-时,等号成立.故选B.
3.(人教A版必修第一册P46例3改编)周长为12的矩形,其面积的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】 D
【解析】 设矩形的长、宽分别为x,y,则2(x+y)=12,即x+y=6.所以S=xy≤().2=9,当且仅当x=y=3时取等号.因此面积的最大值是9.故选D.
4.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(2)改编)(-6
【答案】
【解析】 因为-60,a+6>0,由基本不等式可得≤=,当且仅当3-a=a+6,即a=-时,等号成立.
考点一 利用基本不等式求最值
角度一 配凑法
[例1] 当x>时,函数y=x+的最小值是( )
A. B.4 C.5 D.9
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1).
【答案】 A
【解析】 因为x>,所以x->0,所以y=x+=x+=x-++≥2+=,当且仅当x-=,即x=时,等号成立.故选A.
配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”“二定”“三相等”.
角度二 常数代换法
[例2] (2025·江苏南通模拟)设x>0,y>0,+2y=2,则x+的最小值为( )
A. B.2
C.+ D.3
【答案】 C
【解析】 因为+2y=2,所以+y=1,因为x>0,y>0,所以x+=(x+)(+y)=+xy++1=+xy
+≥+2=+,当且仅当即时,等号成立.故选C.
常数代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=m(m为常数,m≠0),求+(ab≠0)的最值,以及已知形如或可化为+=t(t为常数,t≠0),求cx+dy(cd≠0)的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或将cx+dy看作是(cx+dy)·(+),变形后利用基本不等式求最值.
角度三 消元法
[例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P58复习参考题2 T5.
【答案】 6
【解析】 法一(换元消元法) 由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2,
所以3xy≤()2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y+)2≥9,
即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,解得t≥6,即x+3y的最小值
为6.
法二(代入消元法) 由x+3y+xy=9,
得x=,
所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-
6=12-6=6,当且仅当3(1+y)=,即x=3,y=1时,等号成立,所以x+3y的最小值为6.
通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
[针对训练]
1.(角度一)已知0A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为00,所以y=x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×()2=,当且仅当2x=1-2x,即x=时,等号成立,因此函数y=x(1-2x) (02.(角度二)(2025·江苏扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为( )
A.4 B.4
C.6 D.2+3
【答案】 D
【解析】 因为x>0,y>0,且2x+y=1,所以=+=(+)(2x+y)=++3≥2+3=2+3,当且仅当=,即x=,y=-1时,等号成立.故选D.
3.(角度三)(2025·安徽安庆模拟)若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是 .
【答案】
【解析】 正数x,y满足x2-2xy+2=0,故y==+,故x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立.
考点二 利用基本不等式解决恒成立(能成立)问题
[例4] 若对任意x>0,x3+5x2+4x≥ax2恒成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,9]
【解析】 因为对任意x>0,x3+5x2+4x≥ax2恒成立,所以≥a(x>0)恒成立,只需满足a≤()min,因为x>0,所以=x++5≥2+5=9,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.故实数a的取值范围是(-∞,9].
含参数的不等式恒成立(能成立)问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法有:a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;af(x)有解,则a>f(x)min;a[针对训练]
已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R).存在x∈(-∞,1),使关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [2,+∞)
【解析】 由题意得x2+ax+3-a≤0在x∈(-∞,1)上有解,则x2+3≤a(1-x)在(-∞,1)上有解,由于x∈(-∞,1),则1-x>0,则a≥有解.
由于==(1-x)+-2≥2-2=2(当且仅当1-x=,即x=-1时取等号),所以实数a的取值范围是[2,+∞).
考点三 基本不等式的实际应用
[例5] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大
【解】(1)设与矩形花园边长为x m的边垂直的边的长为y m,因为矩形花园的总面积为
750 m2,所以xy=750,可得y=,又因为阴影部分是宽度为1 m的小路,可得2a+3=,可得a=-,即a关于x的关系式为a=-,3(2)由(1)知,a=-,则S=(x-2)a+(x-3)a=(2x-5)a=(2x-5)(-)=-(3x+)≤-
2=,当且仅当3x=,即x=25时,等号成立.
所以当x=25时,才能使鲜花种植的总面积最大.
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,建立数学模型,求出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练]
甲、乙两地相距1 000 km,货车从甲地匀速行驶到乙地,货车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为2,固定部分为5 000元.为使全程运输成本最小,货车的速度是 km/h.
【答案】 50
【解析】 设货车全程的运输成本为y元,则y=(2x2+5 000)=2 000x+≥
2=200 000,所以当且仅当2 000x=,即x=50时,运输成本最小.
微点提能1 基本不等式链
若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.其几何表示及几何证明如下:
如图,在半圆O中,设AC=a,BC=b,且CD⊥AB,CE⊥OD,OF⊥AB,则R=OD=OF=,OC=
R-b=,CF==,在Rt△ADB中,由射影定理得CD=,在Rt△OCD中,由射影定理得CD2=DE·OD,所以DE===,由图可知,DE≤CD≤OD=OF≤CF(当且仅当D与F重合,即a=b时,等号成立),即不等式≤≤≤(a>0,b>0)成立(当且仅当a=b时,等号成立).
[典例] (多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则( )
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时,等号成立,B错误;
对于C,由≥=,得a2+b2≥,
当且仅当a=b=时,等号成立,C正确;
对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时,等号成立,D正确.故选ACD.
可利用基本不等式链求最值、证明不等式等.
[拓展演练] (多选题)(2025·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则( )
A.ab的最大值为
B.a+的最小值为4
C.a2+4b2的最小值为2
D.+的最大值为4
【答案】AC
【解析】 对于A项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得,a+2b≥2,当且仅当a=
2b=1时,等号成立,所以ab≤()2=,故A正确;
对于B项,根据基本不等式可得a+≥2=4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,与b>0矛盾,故B错误;
对于C项,根据基本不等式可得a2+4b2≥=2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;
对于D项,根据基本不等式与A项分析可得+==≥4,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以+的最小值为4,故D错误.故选AC.第4节 基本不等式
[学习目标]
1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 .
a2+b2≥2ab成立的条件与≥成立的条件不同,a2+b2≥2ab成立的条件是a∈R,b∈R,而≥成立的条件是a>0,b>0.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式表明:两个正数的 不小于它们的 .
3.基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2(简记:和定积最大).
(2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小).
1.+≥2(a,b同号).
2.ab≤()2(a,b∈R).
3.≥().2(a,b∈R).
4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;
(2)a>0,b>0,c>0,则≥.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.( )
(2)当a,b异号时,+≤-2.( )
(3)若x>0,则函数f(x)=x2+的最小值等于4.( )
(4)对任意a,b∈R,a2+b2≥均成立.( )
2.(人教A版必修第一册P49习题2.2T5改编)已知函数f(x)=3-x-,则当x<0时,f(x)有( )
A.最大值3+2 B.最小值3+2
C.最大值3-2 D.最小值3-2
3.(人教A版必修第一册P46例3改编)周长为12的矩形,其面积的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.(人教A版必修第一册P48习题2.2T1(2)改编)(-6考点一 利用基本不等式求最值
角度一 配凑法
[例1] 当x>时,函数y=x+的最小值是( )
A. B.4 C.5 D.9
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1).
配凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.但前提是应保证“一正”“二定”“三相等”.
角度二 常数代换法
[例2] (2025·江苏南通模拟)设x>0,y>0,+2y=2,则x+的最小值为( )
A. B.2
C.+ D.3
常数代换法主要解决以下最值问题
已知形如或可化为x+y=m(m为常数,m≠0),求+(ab≠0)的最值,以及已知形如或可化为+=t(t为常数,t≠0),求cx+dy(cd≠0)的最值,求解时要注意将已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或将cx+dy看作是(cx+dy)·(+),变形后利用基本不等式求最值.
角度三 消元法
[例3] 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 .
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P58复习参考题2 T5.
通过消元法利用基本不等式求最值的策略
当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
[针对训练]
1.(角度一)已知0A. B. C. D.
2.(角度二)(2025·江苏扬州模拟)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则的最小值为( )
A.4 B.4
C.6 D.2+3
3.(角度三)(2025·安徽安庆模拟)若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是 .
考点二 利用基本不等式解决恒成立(能成立)问题
[例4] 若对任意x>0,x3+5x2+4x≥ax2恒成立,则实数a的取值范围是 .
含参数的不等式恒成立(能成立)问题,若能够分离参数,则常将参数分离后,利用最值转化法求解,常用的最值转化法有:a>f(x)恒成立,则a>f(x)max;af(x)有解,则a>f(x)min;a[针对训练]
已知函数f(x)=x2+ax+3(x∈R).存在x∈(-∞,1),使关于x的不等式f(x)≤a有实数解,则实数a的取值范围是 .
考点三 基本不等式的实际应用
[例5] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为750 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B,C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,鲜花种植的总面积为S m2.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花种植的总面积最大
利用基本不等式求解实际问题时,要根据实际问题,设出变量,注意变量应满足实际意义,建立数学模型,求出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
[针对训练]
甲、乙两地相距1 000 km,货车从甲地匀速行驶到乙地,货车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成.可变部分与速度x(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为2,固定部分为5 000元.为使全程运输成本最小,货车的速度是 km/h.
微点提能1 基本不等式链
若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立,其中和分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.其几何表示及几何证明如下:
如图,在半圆O中,设AC=a,BC=b,且CD⊥AB,CE⊥OD,OF⊥AB,则R=OD=OF=,OC=
R-b=,CF==,在Rt△ADB中,由射影定理得CD=,在Rt△OCD中,由射影定理得CD2=DE·OD,所以DE===,由图可知,DE≤CD≤OD=OF≤CF(当且仅当D与F重合,即a=b时,等号成立),即不等式≤≤≤(a>0,b>0)成立(当且仅当a=b时,等号成立).
[典例] (多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则( )
A.有最大值
B.+有最小值3
C.a2+b2有最小值
D.+有最大值
可利用基本不等式链求最值、证明不等式等.
[拓展演练] (多选题)(2025·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则( )
A.ab的最大值为
B.a+的最小值为4
C.a2+4b2的最小值为2
D.+的最大值为4
