第6节 指数函数
[学习目标]
1.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
1.指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
2.指数函数的图象和性质
项目 a>1 0
图象
定义域 R
值域 (0,+∞)
续 表
项目 a>1 0性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;当x<0时,01;当x>0时,0在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数
y=ax与y=()x的图象关于y轴对称
1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意应分a>1与03.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=2x-1是指数函数.( )
(2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(3)2-3>2-4.( )
(4)若am0,且a≠1),则m【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(人教A版必修第一册P159复习参考题4 T1(1)改编)函数y=3x与y=-的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
【答案】 C
【解析】 如图所示,作出函数y=3x与y=-的图象,可知它们关于原点对称.故选C.
3.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T6改编)下列各式正确的是( )
A.30.8<30.7 B.0.75-0.1<0.750.1
C.()1.6<()1.7 D.0.50.4<0.50.6
【答案】 C
【解析】 函数y=3x在R上单调递增,则30.8>30.7,故A错误;
函数y=0.75x在R上单调递减,则0.75-0.1>0.750.1,故B错误;
函数y=在R上单调递增,则<,故C正确;
函数y=0.5x在R上单调递减,则 0.50.4>0.50.6,故D错误.故选C.
4.(人教A版必修第一册P159复习参考题4 T1(2)改编)如图,①②③④中不属于函数y=3x,y=2x,y=()x部分图象的一个是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】 B
【解析】 由指数函数的性质可知:
①是y=()x的部分图象;③是y=2x的部分图象;④是y=3x的部分图象.
所以只有②不是指数函数的图象.故选B.
考点一 指数函数的图象及应用
[例1] (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0(2)(多选题)已知实数a,b满足等式2 025a= 2 026b,则下列等式可以成立的是( )
A.a=b=0 B.aC.0【答案】 (1)D (2)ABD
【解析】 (1)由题图可知,函数f(x)为R上的减函数,从而有0法一(平移法) 函数f(x)的图象可看作是由y=ax(00,即b<0.故选D.
法二(特殊点法) 由题图可知,函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标y0∈(0,1),令x=0,得y0=a-b,
由0(2)如图,观察易知a对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.也可以利用特殊点确定参数或位置,适当使用排除法.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
(2)(2025·黑龙江大庆模拟)已知函数y=+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab=( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-9
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)法一(平移法) 当a>1时,y=ax是R上的增函数,并且恒过定点(0,1),又f(x)=ax-a的图象是在y=ax的图象的基础上向下平移超过1个单位长度,故D错误,C正确;当0法二(特殊点法) 由f(1)=a-a=0可以排除A,D;对于B,f(0)=a0-a=1-a>1 a<0,与已知矛盾.故选C.
(2)因为函数y=f(x)=a()|x|+b的图象过原点,所以a()0+b=0,得a+b=0,又该函数图象无限接近直线y=2,但不与该直线相交,所以 b=2,则a=-2,所以ab=-4.故选C.
考点二 指数函数的性质及应用
角度一 比较大小
[例2] (1)(2023·天津卷)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.c(2)若a,b∈R,则“a>b”是“3a-3b>2b-2a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P119习题4.2 T6.
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)由函数y=1.01x在R上单调递增,得a=1.010.5c=0.60.5,所以c(2)构造函数f(x)=3x+2x,则f(x)在R上单调递增,所以3a-3b>2b-2a 3a+2a>3b+2b f(a)>f(b) a>b.故选C.
角度二 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)若不等式>(对任意的x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-5) B.(-∞,-5]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1)
(2)方程27x-9x=3x+2的解为x= .
【答案】 (1)A (2)log32
【解析】 (1)因为>(,所以>,所以x3+x2>x2+x(a+1),即x3-4x2>x(a+1).
因为x∈(1,4),所以x2-4x>a+1.
当x=2时,x2-4x有最小值-4,
所以a+1<-4 a<-5.故选A.
(2)设3x=t(t>0),由27x-9x=3x+2可得t3-t2=t+2,
即t3-t2-t-2=t(t2+t+1)-2t2-2t-2=(t2+t+1)(t-2)=0,
由t2+t+1=(t+)2+>0,得t-2=0,即 3x=2,解得x=log32.
角度三 指数函数性质的综合应用
[例4] (2025·江苏镇江模拟)设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+的零点x0;
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]时的最大值为-2,求实数a的值.
【解】 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称,且定义域为R,
所以f(x)为奇函数,
所以f(-x)+f(x)=0,
所以a·2-x-2x+a·2x-2-x=0,
即(a-1)·(2-x+2x)=0,所以a=1.
所以f(x)=2x-2-x,所以g(x)=2x-2-x+,
令g(x)=2x-2-x+=0,
则2·(2x)2+3·2x-2=0,
所以(2x+2)·(2·2x-1)=0,又2x>0,
所以2·2x-1=0,解得x=-1,即x0=-1,
所以函数g(x)的零点为-1.
(2)因为h(x)=a·2x-2-x+4x+2-x=(2x)2+a·2x,x∈[0,1],
令2x=t,则t∈[1,2],φ(t)=t2+at,t∈[1,2],
函数φ(t)图象的对称轴为直线t=-.
①当-≤,即a≥-3时,φ(t)max=φ(2)=4+2a=-2,所以a=-3;
②当->,即a<-3时,φ(t)max=φ(1)=1+a=-2,所以a=-3(舍去).
综上,实数a的值为-3.
(1)比较指数式的大小的方法.
①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
②不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示:在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类
讨论.
[针对训练]
1.(角度一)下列不等式正确的是( )
A.<3-4<32
B.32<(<33
C.2.60<()2.6<22.6
D.()2.6<2.60<22.6
【答案】 D
【解析】 因为y=3x是增函数,所以3-4<<32,(=<32<33,故排除A,B;因为y=2x是增函数,所以()2.6=2-2.6<20=2.60<22.6.故选D.
2.(角度二)不等式2|2x+1|>16的解集为( )
A.[,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)
【答案】 B
【解析】 由不等式2|2x+1|>16等价于2|2x+1|>24,可得|2x+1|>4,所以2x+1<-4或2x+1>4,解
得x<-或x>,所以不等式2|2x+1|>16的解集为(-∞,-)∪(,+∞).故选B.
3.(角度三)当x≤1时,函数y=4x-2x+1+2的值域为( )
A.[1,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,2) D.[1,2]
【答案】 D
【解析】 y=4x-2x+1+2=(2x)2-2·2x+2=(2x-1)2+1.设t=2x,因为x≤1,所以0[学习目标]
1.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用.
1.指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
2.指数函数的图象和性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域
续 表
项目 a>1 0性质 过定点 ,即x=0时,y=1
当x>0时, ;当x<0时, 当x<0时, ;当x>0时,
在(-∞,+∞)上是 在(-∞,+∞)上是
y=ax与y=()x的图象关于y轴对称
1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意应分a>1与03.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=2x-1是指数函数.( )
(2)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).( )
(3)2-3>2-4.( )
(4)若am0,且a≠1),则m2.(人教A版必修第一册P159复习参考题4 T1(1)改编)函数y=3x与y=-的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
3.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T6改编)下列各式正确的是( )
A.30.8<30.7 B.0.75-0.1<0.750.1
C.()1.6<()1.7 D.0.50.4<0.50.6
4.(人教A版必修第一册P159复习参考题4 T1(2)改编)如图,①②③④中不属于函数y=3x,y=2x,y=()x部分图象的一个是( )
A.① B.② C.③ D.④
考点一 指数函数的图象及应用
[例1] (1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0 B.a>1,b>0
C.00 D.0(2)(多选题)已知实数a,b满足等式2 025a= 2 026b,则下列等式可以成立的是( )
A.a=b=0 B.aC.0对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.也可以利用特殊点确定参数或位置,适当使用排除法.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ax-a(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
(2)(2025·黑龙江大庆模拟)已知函数y=+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则ab=( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-9
考点二 指数函数的性质及应用
角度一 比较大小
[例2] (1)(2023·天津卷)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.c(2)若a,b∈R,则“a>b”是“3a-3b>2b-2a”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P119习题4.2 T6.
角度二 解简单的指数方程或不等式
[例3] (1)若不等式>(对任意的x∈(1,4)恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-5) B.(-∞,-5]
C.[-1,+∞) D.(-∞,-1)
(2)方程27x-9x=3x+2的解为x= .
角度三 指数函数性质的综合应用
[例4] (2025·江苏镇江模拟)设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).
(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称,求函数g(x)=f(x)+的零点x0;
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]时的最大值为-2,求实数a的值.
(1)比较指数式的大小的方法.
①能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
②不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小.
(2)指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
(3)涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示:在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类
讨论.
[针对训练]
1.(角度一)下列不等式正确的是( )
A.<3-4<32
B.32<(<33
C.2.60<()2.6<22.6
D.()2.6<2.60<22.6
2.(角度二)不等式2|2x+1|>16的解集为( )
A.[,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(-∞,-]∪[,+∞)
D.(-∞,-)
3.(角度三)当x≤1时,函数y=4x-2x+1+2的值域为( )
A.[1,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,2) D.[1,2]