第7节 对数函数
[学习目标]
1.通过实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
1.对数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象和性质.
项目 a>1 0
图象
定义域
值域
性质 过定点 ,即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是
2.反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 (a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 对称,它们的定义域与值域正好互换.
对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=log2(x+1)是对数函数.( )
(2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a(4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.( )
2.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T1改编)函数f(x)=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.(1,+∞)
C.(1,3] D.[3,+∞)
3.(人教A版必修第一册P91习题3.3 T1改编)函数y=|log2x|的图象是( )
A B
C D
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T7改编)已知函数f(x)=2x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则g()的值为 .
考点一 对数函数的图象及应用
[例1] (1)已知a>b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x+b)的图象可能为( )
A B
C D
(2)若方程4x=logax在(0,]上有解,则实数a的取值范围为 .
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
[针对训练]
(1)当0A B
C D
(2)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a>0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x2C.x2考点二 对数函数的性质及应用
角度一 比较大小
[例2] (多选题)下列选项正确的是( )
A.lg elog2π-1
C.log1.85e-0.01
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T2.
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度二 解对数不等式
[例3] (1)已知log0.72x(2)若-1对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax> logab 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度三 对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),则下列说法中正确的是( )
A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(-4,0)
B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞)
C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)
D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a的取值范围是(-∞,]
(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.
(2)函数y=logaf(x)的值域是R,这说明函数y=f(x)可以取遍所有大于0的数,而函数y=logaf(x)的定义域是R,则说明f(x)>0在R上恒成立.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·安徽蚌埠模拟)若a=lg π,b=ln π,c=lg e,其中e是自然对数的底数,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
2.(角度三)(多选题)下列关于函数f(x)=ln(x2-x)的说法正确的有( )
A.函数f(x)的图象是轴对称图形
B.函数f(x)的图象是中心对称图形
C.函数f(x)的值域为R
D.函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)
3.(角度二)已知函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 . 第7节 对数函数
[学习目标]
1.通过实例,了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
1.对数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的图象和性质.
项目 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
2.反函数
一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x对称,它们的定义域与值域正好互换.
对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=log2(x+1)是对数函数.( )
(2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( )
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a(4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T1改编)函数f(x)=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.(1,+∞)
C.(1,3] D.[3,+∞)
【答案】 C
【解析】 依题意lo(x-1)+1≥0,即lo(x-1)≥-1,所以解得13.(人教A版必修第一册P91习题3.3 T1改编)函数y=|log2x|的图象是( )
A B
C D
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=则函数的定义域为(0,+∞),即函数图象只出现在y轴右侧;值域为(0,+∞),即函数图象只出现在x轴上方;其图象为在区间(0,1)上是下降的曲线,在区间(1,+∞)上是上升的曲线,由增长趋势知C不正确,只有D满足要求.故选D.
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T7改编)已知函数f(x)=2x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x对称,则g()的值为 .
【答案】 -1
【解析】 法一 由y=f(x)=2x,得x=log2y,所以函数f(x)的反函数为g(x)=log2x,
则g()=log2=-1.
法二 设g()=t0,则函数y=g(x)过点(,t0),由于函数f(x)=2x的反函数为y=g(x),因此有=,故t0=-1.
考点一 对数函数的图象及应用
[例1] (1)已知a>b,函数f(x)=(x-a)(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=loga(x+b)的图象可能为( )
A B
C D
(2)若方程4x=logax在(0,]上有解,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (1)B (2)(0,]
【解析】 (1)由f(x)=(x-a)(x-b)的图象与a>b得a>1>b>0.所以g(x)=loga(x+b)是增函数,可排除A,D;又g(1)=loga(1+b)>loga1=0,可排除C.故选B.
(2)若方程4x=logax在(0,]上有解,则函数y=4x和函数y=logax的图象在(0,]上有交点,如图所示,
由图象知解得0(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
[针对训练]
(1)当0A B
C D
(2)已知函数f(x)=ln x,g(x)=lg x,h(x)=log3x,直线y=a(a>0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x2C.x2【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)因为函数y=a-x即为函数y=()x,其底数大于1,是增函数,排除A,D;又y=logax,当0(2)由题意,根据对数函数的图象与性质,可知当底数大于1时,在x轴上方,底数越大,函数图象越靠近x轴,作出f(x),g(x),h(x)的大致图象,如图所示,
可知直线y=a(a>0)与f(x),g(x),h(x)的图象交点的横坐标x1,x2,x3的大小关系是x1选B.
考点二 对数函数的性质及应用
角度一 比较大小
[例2] (多选题)下列选项正确的是( )
A.lg elog2π-1
C.log1.85e-0.01
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T2.
【答案】 BCD
【解析】 因为lg e>0,ln 0.8<0,所以lg e>lg 0.8,所以A错误;因为log2>log2=log2π-1,所以B正确;因为ln 5>0,且ln 1.8>ln 1.7>0,所以log1.85=<=log1.75,所以C正确;因为log33.01>log33=1,e-0.01e-0.01,所以D正确.故选BCD.
比较对数式大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度二 解对数不等式
[例3] (1)已知log0.72x(2)若-1【解】 (1)因为函数y=log0.7x在(0,+∞)上单调递减,所以由log0.72x得解得x>1,即x的取值范围是(1,+∞).
(2)因为-1所以loga当a>1时,<;
当0>a,所以0综上,a的取值范围是(0,)∪(,+∞).
对数不等式的两种类型及求解方法
类型 求解方法
logax> logab 借助y=logax的单调性求解 如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
角度三 对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),则下列说法中正确的是( )
A.若f(x)的定义域为R,则a的取值范围是(-4,0)
B.若f(x)的值域为R,则a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞)
C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)
D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a的取值范围是(-∞,]
【答案】 ABD
【解析】 选项A,x2+ax-a>0恒成立,则Δ=a2+4a<0,解得-42x-2=(x+1)2-3>0得x<-1-或 x>-1+,因此f(x)的单调递减区间是(-∞,-1-),C错误;选项D,f(x)在(-2,-1)上单调递减,则解得a≤,D正确.故选ABD.
(1)与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性.
(2)函数y=logaf(x)的值域是R,这说明函数y=f(x)可以取遍所有大于0的数,而函数y=logaf(x)的定义域是R,则说明f(x)>0在R上恒成立.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·安徽蚌埠模拟)若a=lg π,b=ln π,c=lg e,其中e是自然对数的底数,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.a>c>b D.c>a>b
【答案】 B
【解析】 因为y=lg x是增函数,又π>e,所以lg π>lg e,可得a>c;
因为y=logπx是增函数,又10>e,所以logπ10>logπe>0,所以<,即lg πa>c.故选B.
2.(角度三)(多选题)下列关于函数f(x)=ln(x2-x)的说法正确的有( )
A.函数f(x)的图象是轴对称图形
B.函数f(x)的图象是中心对称图形
C.函数f(x)的值域为R
D.函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)
【答案】 ACD
【解析】 对于A,B,函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞),f(-1)=f(2)=ln 2,
猜测函数f(x)的图象是轴对称图形,证明如下:f(-x)=ln[(-x)2-(-x)]=ln(x2-),f(+x)=
ln[(+x)2-(+x)]=ln(x2-),所以f(+x)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=对称,故A正确,
B错误;对于C,当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,x2-x>0,则f(x)=ln(x2-x)的值域为R,故C正确;对于D,y=ln t在(0,+∞)上单调递增,t=x2-x在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),故D正确.故选ACD.
3.(角度二)已知函数f(x)=log2(2-x)-log2(2+x),则不等式f(x)>1的解集为 .
【答案】 (-2,-)
【解析】 函数的定义域满足 -2由f(x)>1 log2(2-x)-log2(2+x)>1 log2>log22,所以 -2