第4节 数列求和
[学习目标]
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.
数列求和的常用方法
(1)公式法.
直接利用等差、等比数列的求和公式求和.
①等差数列的前n项和公式:
Sn==na1+d.
②等比数列的前n项和公式:
Sn=
(2)分组转化法.
把数列适当拆分,分为几个等差、等比数列,先分别求和,然后再合并.
(3)裂项相消法.
把数列的通项公式拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式:
①=-;
②=(-);
③=(-);
④=[-];
⑤=(-);
⑥设等差数列{an}的公差为d,
则=(-).
(4)倒序相加法.
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减法.
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法.
在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.( )
(2)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )
(3)数列{+2n-1}的前n项和为n2+.( )
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编)数列1,2,3,4,…的前n项和为( )
A.(n2+n+1)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2+n+2)-
D.n(n+1)+2(1-)
【答案】 C
【解析】 1+2+3+…+(n+)=(1+2+…+n)+(++…+)=+=(n2+n)+1-=(n2+n+2)-.故选C.
3.(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为an==-,所以S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…+-=.故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为 .
【答案】 100
【解析】 S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
考点一 分组求和与并项求和
[例1]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
【解】 (1)当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=n.
a1也满足an=n,
故数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).
(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n,
则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
记A=21+22+…+22n,
B=-1+2-3+4-…+2n,
则A==22n+1-2,
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
(3)形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
[针对训练]
(1)已知数列{an}的通项公式an=2n-1,若bn=+log2an,则数列{bn}的前n项和Tn= .
(2)已知数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,a1=1,且当n≥2时,Sn-1+Sn=,则-+-+…+= .
【答案】 (1)+ (2)861
【解析】 (1)bn=+log2an=4n-1+n-1,Tn=40+41+42+…+4n-1+0+1+2+…+n-1=+=
+.
(2)由当n≥2时,Sn-1+Sn=,可得Sn-1-Sn+2Sn=,即2Sn=+an,又当n=1时上式成立,所以2Sn=+an,所以2Sn-1=+an-1(n≥2),两式相减得2an=-+an-an-1,即0=--an-an-1,所以(an+an-1)(an-an-1-1)=0(n≥2),因为{an}是递增数列,所以an+an-1≠0,则an-an-1-1=0,即an-
an-1=1,所以数列{an}是首项为a1=1,公差d=1的等差数列,所以an=n,则-+-+…+=
12-22+32-42+…+392-402+412=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+…+(39+40)(39-40)+412=-(1+2+3+…+
39+40)+412=861.
考点二 裂项相消法求和
[例2](2025·山西吕梁模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-1,S4=-16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记数列{}的前n项和为Tn,证明:Tn<.
(1)【解】设等差数列{an}的公差为d.
由题可得,S4=4a1+=4×(-1)+=-16,解得d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=1-2n.
(2)【证明】由(1)可得==(-),n为正整数,所以Tn=(1-+-+-+…+-)=(1-)=-<.
裂项相消法求和
(1)用裂项相消法求和时,要对通项公式进行变换,如=(-),=(-),裂项后可以产生连续相互抵消的项.
(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
[针对训练]
已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,
解得或(舍去).
设等比数列{an}的公比为q,
由a4=a1q3得q=2,
故an=a1qn-1=2n-1,n∈N*.
(2)Sn==2n-1,
又bn===-,
所以Tn=b1+b2+…+bn
=(-)+(-)+…+(-)
=-
=1-,n∈N*.
考点三 错位相减法求和
[例3](2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,且4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4 T11.
【解】(1)当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4.当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4,所以4Sn-4Sn-1=
4an=3an-3an-1,即an=-3an-1,而a1=4≠0,故an≠0,故=-3,所以数列{an}是以4为首项,-3为公比的等比数列,所以an=4·(-3)n-1.
(2)bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·30+8·31+12·32+…+4n·3n-1,故3Tn=4·31+8·32+12·33+…+4n·3n,所以-2Tn=4+4·31+4·32+…+4·3n-1-4n·3n=4+4·-4n·3n=4+2×3·(3n-1-1)-4n·3n=(2-4n)·3n-2,所以Tn=(2n-1)·3n+1.
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
[针对训练]
设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
【解】 (1)设{an}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.
所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去)或q=-2.
故{an}的公比为-2.
(2)记Sn为{nan}的前n项和.
由(1)及题设可得,an=(-2)n-1,
所以Sn=1+2×(-2)+…+n·(-2)n-1,
-2Sn=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n·(-2)n,
可得3Sn=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n·(-2)n=-n·(-2)n,
所以Sn=-.第4节 数列求和
[学习目标]
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法.
数列求和的常用方法
(1)公式法.
直接利用等差、等比数列的求和公式求和.
①等差数列的前n项和公式:
Sn== .
②等比数列的前n项和公式:
Sn=
(2)分组转化法.
把数列适当拆分,分为几个等差、等比数列,先分别求和,然后再合并.
(3)裂项相消法.
把数列的通项公式拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式:
①=-;
②=(-);
③=(-);
④=[-];
⑤=(-);
⑥设等差数列{an}的公差为d,
则=(-).
(4)倒序相加法.
把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广.
(5)错位相减法.
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.
(6)并项求和法.
在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.( )
(2)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )
(3)数列{+2n-1}的前n项和为n2+.( )
(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).( )
2.(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编)数列1,2,3,4,…的前n项和为( )
A.(n2+n+1)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2+n+2)-
D.n(n+1)+2(1-)
3.(人教A版选择性必修第二册P51练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于( )
A.1 B. C. D.
4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为 .
考点一 分组求和与并项求和
[例1]已知数列{an}的前n项和Sn=,n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和.
(2)通项公式为an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
(3)形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
[针对训练]
(1)已知数列{an}的通项公式an=2n-1,若bn=+log2an,则数列{bn}的前n项和Tn= .
(2)已知数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,a1=1,且当n≥2时,Sn-1+Sn=,则-+-+…+= .
考点二 裂项相消法求和
[例2](2025·山西吕梁模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=-1,S4=-16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记数列{}的前n项和为Tn,证明:Tn<.
裂项相消法求和
(1)用裂项相消法求和时,要对通项公式进行变换,如=(-),=(-),裂项后可以产生连续相互抵消的项.
(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
[针对训练]
已知数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
考点三 错位相减法求和
[例3](2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,且4Sn=3an+4.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4 T11.
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
[针对训练]
设{an}是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.
(1)求{an}的公比;
(2)若a1=1,求数列{nan}的前n项和.
