第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
[学习目标]
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征.
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征.
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 —
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环 —
2.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r′+r)l
4.空间几何体的表面积与体积公式
几何体 名称
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=S底·h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=h(S上+S下+)
球 S=4πR2 V=πR3
圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.
V圆柱=S底·hV圆台=h(S上+S下+)V圆锥=S底·h.
1.特殊的四棱柱.
2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系S直观图=S原图形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.( )
(2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.( )
(3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.( )
(4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( )
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.(人教A版必修第二册P109练习T2(3)改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
【答案】 D
【解析】 由直观图中A′C′∥y′轴,B′C′∥x′轴,还原后AC∥y轴,BC∥x轴,所以△ABC是直角三角形.故选D.
3.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图,长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′∥FG,剩下的几何体是( )
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
【答案】 C
【解析】 由几何体的结构特征可知,剩下的几何体为五棱柱.故选C.
4.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
【答案】 B
【解析】 设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,因为侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr,即l=2r,所以πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得 r=2.故选B.
5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
【答案】 B
【解析】 设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为,
而它们的侧面积相等,所以2πr×=πr×,即2=,故r=3,
故圆锥的体积V=π×9×=3π.故选B.
考点一 空间几何体的结构特征、直观图
[例1] (1)(2025·河南郑州模拟)下列说法中正确的为( )
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
C.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
(2)(多选题)如图,四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为等腰梯形 A′B′C′D′.已知A′B′=4,C′D′=2,则下列说法正确的是( )
A.AB=2
B.A′D′=
C.四边形ABCD的周长为4+2
D.四边形ABCD的面积为6
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P108例1.
【答案】 (1)D (2)BD
【解析】 (1)对于A,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫棱锥,而有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥,如图,所以A错误;对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得,而有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱的延长线不一定交于一点,所以B错误;对于C,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心,所以C错误;对于D,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面为正六边形,由过底面中心和顶点的截面知,若以正六边形为底面,则侧棱必然大于底面边长,所以D正确.故选D.
(2)对于A,还原平面图如图(1),
则AB=A′B′=4,故A错误;
对于B,如图(2),过点D′作D′E⊥O′B′于点E,由等腰梯形A′B′C′D′且∠D′O′B′=45°,
又A′B′=4,C′D′=2,可得△A′D′E是等腰直角三角形,即A′D′=A′E=×(4-2)×=,故B正确;
对于C,如图(1)过点C作CF⊥AB于点F,则AD=2A′D′=2,AF=DC=2,由勾股定理得,
CB==2,故四边形ABCD的周长为 4+2+2+2=6+2+2,故C错误;
对于D,四边形ABCD的面积为×(4+2)×2=6,故D正确.故选BD.
(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的
关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题
策略.
(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
[针对训练] (1)(多选题) 如图所示,一个平面图形ABCD的直观图为A′B′C′D′,其中O′A′=O′C′=1,O′B′=O′D′=2,则下列说法中正确的是( )
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕直线AC旋转半周形成的几何体为两个圆锥组合而成
D.以该平面图形为底,高为3的直棱柱的体对角线长为
(2)下列说法中正确的是( )
A.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥
B.用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
【答案】 (1)BC (2)D
【解析】 (1)将直观图还原为平面图形,如图.由题意可得,AC=4=BD,故该平面图形为正方形,即A错误;面积S=×4×4=8,即B正确;将平面图形绕直线AC旋转半周所得几何体为两个圆锥,即C正确;以该平面图形为底,高为3的直棱柱为长方体,该长方体的体对角线长为=5,故D错误.故选BC.
(2)以直角三角形的一条斜边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周所围成的旋转体不是圆锥,A错误;根据圆台的定义,用一个平行于底面的平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台,B错误;当圆柱上、下底面圆周上两点的连线与轴平行时才是母线,C错误;球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,D正确.故选D.
考点二 展开图问题
[例2] (2025·河北石家庄模拟)如图,在四棱锥 OABCD 中,侧棱长均为,正方形ABCD的边长为 -1,E,F分别是线段OB,OC上的一点,则AE+EF+FD的最小值为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 如图,将四棱锥OABCD的部分侧面展开,则 AE+EF+FD的最小值为AD,
在△OAD中,OA=OD=,cos∠AOB===,所以∠AOB=30°,
故∠AOD=90°,则AD=OA=2.故选A.
在解决空间曲线或折线(段)最短问题时,一般要考虑几何体的侧面展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.
[针对训练] (2025·湖北武汉模拟)如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为
1 km,母线长为4 km,B是母线SA上的一点,且AB=1 km,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光索道,则这段索道的长度为 km.
【答案】 5
【解析】 根据题意,设该圆锥侧面展开图的圆心角为θ,
在该圆锥中,底面半径为1 km,母线长为4 km,则有4θ=2π,变形可得θ=,
如图为该圆锥的侧面展开图,有SA=SA′=4 km,A′B=1 km,则SB=3 km,
故AB===5 (km),
即符合题意最短的索道的长度为5 km.
考点三 简单几何体的表面积与体积
角度一 简单几何体的表面积
[例3] (1)(2025·湖北随州模拟)若底面半径为r,母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等,则=( )
A.-1 B.
C.-1 D.
(2)将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中,对其表面进行电泳涂装.如图所示,已知该物件的上底边长与侧棱长相等,且为下底边长的一半,一个侧面的面积为3,则该物件的高为( )
A. B.1 C. D.3
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)圆锥的表面积为πrl+πr2,球的表面积为4π()2=πl2,故πrl+πr2=πl2,即()2+-1=0,故=(负值舍去).故选D.
(2)设A1B1=BB1=a,则AB=2a.因为该四棱台为正四棱台,所以各个侧面都为等腰梯形,上、下底面为正方形,
如图,在四边形ABB1A1中,过点A1作A1E⊥AB于点E,则AE=(2a-a)=,所以A1E=a,
所以=·a=a2=3,解得a=2,故AE=1,AB=4,连接AC,A1C1,在平面ACC1A1中,AC=4,A1C1=2,过点A1作A1F⊥AC于点F,易知A1F为正四棱台的高,
则AF=×(4-2)=,所以A1F===.故选C.
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
角度二 简单几何体的体积
[例4] (1)如图,可视为类似火箭整流罩的一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为( )
A. B.
C. D.
(2)如图,在五面体ABCDEF中,已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.并已知AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为( )
A. B.+
C. D.-
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)由题意可知,容器中液体下半部分为圆柱,上半部分为圆台,取轴截面,如图所示,O1,O2,O3分别为AB,CD,EF的中点,可知AB∥CD∥EF,且O1B=O2C=2,O1O2=6,
O2P=4,O2O3=1,O3P=3,可得==,即O3F=,所以该容器中液体的体积为π×22×6+
[π×22+π×()2+]×1=.故选A.
(2)如图,用一个完全相同的五面体HIJLMN(顶点与五面体ABCDEF一一对应)与该五面体相嵌,使得D与N、E与M、F与L分别重合,因为 AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.AD=1,
BE=2,CF=3,则形成的新组合体为一个三棱柱,该三棱柱的底面为边长为1的等边三角形,侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,==××1×1××4=.故选C.
(1)求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.
(2)求不规则几何体的体积.
当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.
①把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.
常见的补形有:
a.将正四面体补形成正方体;
b.将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;
c.将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;
d.将台体补形成锥体等.
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”.
[针对训练]
1.(角度一)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.36+12π B.40+12π
C.36+16π D.40+16π
【答案】 B
【解析】 由题意可知几何体的表面积为4×2×4+2×2×2+4π+×4π×4=40+12π.故选B.
2.(角度二)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24小时降雨量的等级划分如下:
24小时 降雨量 (精确到 0.1) … 0.1～ 9.9 10.0～ 24.9 25.0～ 49.9 50.0～ 99.9 …
降雨 等级 … 小雨 中雨 大雨 暴雨 …
在一次降雨过程中,用一个侧棱为AA1=80 mm的直三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示,当侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.则这24小时的降雨量的等级是( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
【答案】 D
【解析】 设△ABC的面积为S,底面ABC水平放置时,液面高为h,水的体积为V=S△ABCh=Sh,侧面AA1B1B水平放置时,设AC,BC的中点分别为D,E(图略),则四边形ABED的面积占△ABC面积的,故水的体积为V=S△ABC·AA1=AA1·S=60S,于是Sh=60S,解得h=60,所以当底面ABC水平放置时,液面高为 60 mm.故降雨量等级为暴雨.故选D.
微点提能8 与球有关的切接问题
球的切、接问题,是历年高考的热点内容,经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.
方法一 定义法
[典例1] 已知正四棱锥SABCD,底面边长是2,体积是,那么这个四棱锥的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.3π
【答案】 A
【解析】 如图,连接AC,BD交于点F,连接SF,设外接球的球心为O,半径为r,根据正四棱锥SABCD的性质,可知SF⊥平面ABCD,球心O在直线SF上,所以=×SF×SABCD=SF=,解得SF=2.由图可得OS=OA=r,OF=SF-OS=2-r,或OF=r-2,因为AF=,所以在 Rt△AOF 中,有(2-r)2+()2=r2,解得r=,即O在四棱锥内,
所以该外接球的体积为 πr3=×π=.故选A.
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
[拓展演练] 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将△ACD沿AC折至△ACD′,得到三棱锥
D′ABC,则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】 25π
【解析】 如图,取AC的中点O,连接OB,OD′,由∠ABC=∠AD′C=90°,得OB=OD′=OA=OC=,
因此三棱锥D′ABC的外接球的球心为O,半径为,所以三棱锥D′ABC的外接球的表面积 S=4π×()2=25π.
方法二 补形法
[典例2] 已知三棱锥PABC中,AP=AC=BP=BC=2,AB=PC=2,则其外接球表面积为( )
A.π B.8π
C.8π D.24π
【答案】 D
【解析】 根据三棱锥PABC的特征,把三棱锥补全为长方体(或把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处),三棱锥的外接球就是长方体的外接球.
设长方体的长、宽、高分别是x,y,z,则所以x2+y2+z2=24,
设长方体的外接球半径为R,则2R==2,所以外接球表面积为4πR2=24π.
故选D.
(1)补形法的解题策略.
①侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去
求解;
②直三棱锥补成三棱柱求解.
(2)正方体与球的切、接问题的常用结论.
正方体的棱长为a,球的半径为R.
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
[拓展演练] (2025·广东茂名模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥ AC,AA1=12,则球O的表面积为( )
A.153π B.160π C.169π D.360π
【答案】 C
【解析】 因为直三棱柱的底面是直角三角形,所以可以把此三棱柱补成直四棱柱,其体对角线就是外接球的直径,所以R==,由球的表面积公式得S=4π×()2=169π.故选C.
方法三 截面法
[典例3] 已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切),圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=4r1=4,则圆台的体积与球的体积之比为( )
A.
【答案】 B
【解析】 如图为该几何体的轴截面,其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆,设圆O与梯形的腰相切于点E,与梯形的上、下底面分别相切于点O1,O2,连接O1O2,OD,OE,OA,设球的半径为r,圆台上、下底面的半径分别为r1=1,r2=4.注意到OD与OA均为角平分线,因此∠DOA=90°,从而△AO2O ∽△OO1D,故r2=r1r2=4.
设圆台的体积为V1,球的体积为V2,则====.故选B.
(1)与球截面有关的解题策略.
①定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;
②作截面:选准角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.
(2)棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,其半径之比R∶r=3∶1.
[拓展演练] 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在该球面上,若两个圆锥的高之比为1∶3,它们的体积之和为4π,则该球的表面积为( )
A.18π B.16π C.12π D.9π
【答案】 B
【解析】 如图,记该截面和球的半径分别为r,R,由于两个圆锥的高之比为1∶3,故球心到该截面的距离为,从而=,r=R.而两个圆锥的高分别是,,故体积之和V=·πr2·(+)=
πr2R=4π.
从而r2R=6,故r=,R=2.该球的表面积S=4πR2=16π.故选B.第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
[学习目标]
1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. 3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征.
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相 且 多边形 互相 且相似
侧棱 相交于 但不一定相等 延长线交于
侧面形状
(2)旋转体的结构特征.
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 平行、相等且 于底面 相交于 延长线交于 —
轴截面 全等的 全等的 全等的
侧面展开图 —
2.直观图
空间几何体的直观图常用 画法来画,其规则是:(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两相互垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 ,z′轴与x′轴、y′轴所在平面 .
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别 坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 ,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧= S圆锥侧= S圆台侧=
4.空间几何体的表面积与体积公式
几何体 名称
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=
锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=S底·h
台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=h(S上+S下+)
球 S= V=πR3
圆台、圆柱、圆锥的转化:当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱;当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥.
S圆柱侧=2πrlS圆台侧=π(r+r′)lS圆锥侧=πrl.
V圆柱=S底·hV圆台=h(S上+S下+)V圆锥=S底·h.
1.特殊的四棱柱.
2.平面图形的直观图与原平面图形面积间关系S直观图=S原图形.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)棱台的侧面一定不会是平行四边形.( )
(2)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.( )
(3)由四个面围成的多面体只能是三棱锥.( )
(4)用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( )
(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
2.(人教A版必修第二册P109练习T2(3)改编)如图所示,直观图所表示的平面图形是( )
A.正三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
3.(人教A版必修第二册P106习题8.1 T8改编)如图,长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′∥FG,剩下的几何体是( )
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
4.(人教A版必修第二册P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm
5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
考点一 空间几何体的结构特征、直观图
[例1] (1)(2025·河南郑州模拟)下列说法中正确的为( )
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
C.底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥不可能是正六棱锥
(2)(多选题)如图,四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为等腰梯形 A′B′C′D′.已知A′B′=4,C′D′=2,则下列说法正确的是( )
A.AB=2
B.A′D′=
C.四边形ABCD的周长为4+2
D.四边形ABCD的面积为6
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P108例1.
(1)关于空间几何体的结构,辨析关键是紧扣各种几何体的概念,善于通过举反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的
关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题
策略.
(4)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(x轴和y轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半,平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
[针对训练] (1)(多选题) 如图所示,一个平面图形ABCD的直观图为A′B′C′D′,其中O′A′=O′C′=1,O′B′=O′D′=2,则下列说法中正确的是( )
A.该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B.该平面图形的面积是8
C.该平面图形绕直线AC旋转半周形成的几何体为两个圆锥组合而成
D.以该平面图形为底,高为3的直棱柱的体对角线长为
(2)下列说法中正确的是( )
A.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥
B.用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线
D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面
考点二 展开图问题
[例2] (2025·河北石家庄模拟)如图,在四棱锥 OABCD 中,侧棱长均为,正方形ABCD的边长为 -1,E,F分别是线段OB,OC上的一点,则AE+EF+FD的最小值为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
在解决空间曲线或折线(段)最短问题时,一般要考虑几何体的侧面展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.
[针对训练] (2025·湖北武汉模拟)如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为
1 km,母线长为4 km,B是母线SA上的一点,且AB=1 km,为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光索道,则这段索道的长度为 km.
考点三 简单几何体的表面积与体积
角度一 简单几何体的表面积
[例3] (1)(2025·湖北随州模拟)若底面半径为r,母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等,则=( )
A.-1 B.
C.-1 D.
(2)将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中,对其表面进行电泳涂装.如图所示,已知该物件的上底边长与侧棱长相等,且为下底边长的一半,一个侧面的面积为3,则该物件的高为( )
A. B.1 C. D.3
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
角度二 简单几何体的体积
[例4] (1)如图,可视为类似火箭整流罩的一个容器,其内部可以看成由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体.圆柱和圆锥的底面半径均为2,圆柱的高为6,圆锥的高为4.若将其内部注入液体,已知液面高度为7,则该容器中液体的体积为( )
A. B.
C. D.
(2)如图,在五面体ABCDEF中,已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1.并已知AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为( )
A. B.+
C. D.-
(1)求规则几何体的体积,主要是先找准关键的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入体积公式计算.
(2)求不规则几何体的体积.
当一个几何体的形状不规则时,常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体,然后再计算.
①把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算.
常见的补形有:
a.将正四面体补形成正方体;
b.将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体;
c.将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体;
d.将台体补形成锥体等.
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”.
[针对训练]
1.(角度一)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.36+12π B.40+12π
C.36+16π D.40+16π
2.(角度二)某一时段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24小时降雨量的等级划分如下:
24小时 降雨量 (精确到 0.1) … 0.1～ 9.9 10.0～ 24.9 25.0～ 49.9 50.0～ 99.9 …
降雨 等级 … 小雨 中雨 大雨 暴雨 …
在一次降雨过程中,用一个侧棱为AA1=80 mm的直三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示,当侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.则这24小时的降雨量的等级是( )
A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨
微点提能8 与球有关的切接问题
球的切、接问题,是历年高考的热点内容,经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.
方法一 定义法
[典例1] 已知正四棱锥SABCD,底面边长是2,体积是,那么这个四棱锥的外接球的体积为( )
A. B.
C. D.3π
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解即可.
[拓展演练] 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,将△ACD沿AC折至△ACD′,得到三棱锥
D′ABC,则该三棱锥外接球的表面积为 .
方法二 补形法
[典例2] 已知三棱锥PABC中,AP=AC=BP=BC=2,AB=PC=2,则其外接球表面积为( )
A.π B.8π
C.8π D.24π
(1)补形法的解题策略.
①侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去
求解;
②直三棱锥补成三棱柱求解.
(2)正方体与球的切、接问题的常用结论.
正方体的棱长为a,球的半径为R.
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
[拓展演练] (2025·广东茂名模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥ AC,AA1=12,则球O的表面积为( )
A.153π B.160π C.169π D.360π
方法三 截面法
[典例3] 已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切),圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=4r1=4,则圆台的体积与球的体积之比为( )
A.
(1)与球截面有关的解题策略.
①定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;
②作截面:选准角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.
(2)棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a,其半径之比R∶r=3∶1.
[拓展演练] 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面,顶点均在该球面上,若两个圆锥的高之比为1∶3,它们的体积之和为4π,则该球的表面积为( )
A.18π B.16π C.12π D.9π
