第4节 空间直线、平面的垂直
[学习目标]
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)定义.
一般地,如果直线l与平面α内的 直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
(2)判定定理与性质定理.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条 直线垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义.
平面的一条斜线和 所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是 ;若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 .
(2)范围:[0,].
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念.
①二面角:从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作 的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.
(2)平面和平面垂直的定义.
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的 ,那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
1.三种垂直关系的转化.
线线垂直线面垂直面面垂直
2.直线与平面垂直的常用结论.
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
3.在三棱锥PABC中,有下列结论.
PA=PB=PC P在底面ABC上的射影为△ABC的外心O;
PA⊥BC,PB⊥AC P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心H;
P到棱AB,BC,CA的距离相等 P在底面ABC上的射影为△ABC的内心I.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)直线l与平面α内的两条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)若一条直线与一个平面内的某条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.( )
(3)直线与平面所成的角为α,则0°<α≤90°.( )
(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( )
2.(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
3.(人教A版必修第二册P152练习T4改编)已知在三棱锥VABC中,VA⊥BC,VB⊥AC,作 VO⊥平面ABC,垂足为O,则O为△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
4.(人教A版必修第二册P158例8改编)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,则下列关系不正确的是( )
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
5.(苏教版必修第二册P185练习T3改编)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 .
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
[例1] 如图,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.
(1)证明线面垂直的常用方法及关键.
①证明直线和平面垂直的常用方法:
a.判定定理;
b.垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);
c.面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);
d.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β).
②证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
(2)线面垂直性质的应用.
①垂直平面内的所有直线(证明线线垂直);
②过垂线作垂面(证明面面垂直).
[针对训练]
(2025·河南周口模拟)如图,在四棱锥PABCD中,△PAB为正三角形,AD∥BC,AD=2BC,E为PD的中点,CE⊥AD.
(1)证明:CE⊥平面PAD;
(2)若AD⊥AB,AB=BC=2,求四棱锥PABCD的体积.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,
AB=PA=PB=2,E是CD的中点.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAE;
(2)求点A到平面PBE的距离.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P161例10.
(1)判定面面垂直的方法.
①面面垂直的定义: 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直;
②面面垂直的判定定理(l⊥α,l β α⊥β).
(2)面面垂直性质的应用.
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”;
②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
[针对训练]
(2025·四川内江模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,且∠ABC=
∠BAD=,BC=2AD,AB=AP,平面PAB⊥平面PBC.求证:平面PAD⊥平面PAB.
考点三 平行、垂直关系的综合应用
[例3] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2BC,
△PAD为等边三角形,E为PA的中点.
(1)求证:BE∥平面PDC;
(2)求证:PB⊥BC;
(3)若平面PAD⊥平面PCD,求证:平面PAD⊥平面ABCD.
(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
[针对训练]
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=6,AB=10,cos∠CAB=,AA1=8,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)求证:AC⊥BC1;
(3)求三棱锥A1B1CD的体积.
微点提能9 几何法求线面角与二面角
利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程,缺一不可.
1.几何法求线面角
线面角是斜线与平面所成的角,首先作出平面的垂线,得出斜线在平面内的射影,从而得出斜线与平面所成的角,转化为直角三角形求解.
2.几何法求二面角
作二面角的平面角的常用方法.
(1)定义法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点.
(2)垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角.
(3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线,得到垂足B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角最基本、最重要的方法.
类型一 直线与平面所成的角
[典例1] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:AM⊥平面PCD;
(2)求直线PB与底面ABCD所成角的正切值.
求直线与平面所成的角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
[拓展演练] 如图,圆台OO1的轴截面是等腰梯形ABCD,AB=BC=2CD=4,E为下底面☉O上的一点,且AE=BE,则直线CE与平面ABCD所成角的正切值为( )
A.2 B. C. D.
类型二 二面角
[典例2] 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
AD∥BC,∠ABC=90°,且AP=AD=2,AB=BC=1,PB=,E为PD的中点.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)求二面角EACD的余弦值.
求二面角的大小的方法
一作:即先作出二面角的平面角;
二证:即证明所作角是二面角的平面角;
三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值.
[拓展演练] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为4,则二面角A1BDC1的余弦值为 . 第4节 空间直线、平面的垂直
[学习目标]
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系,归纳出有关垂直的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)定义.
一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.
(2)判定定理与性质定理.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是90°;若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是 0° .
(2)范围:[0,].
3.平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念.
①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.
(2)平面和平面垂直的定义.
一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理.
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
1.三种垂直关系的转化.
线线垂直线面垂直面面垂直
2.直线与平面垂直的常用结论.
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
3.在三棱锥PABC中,有下列结论.
PA=PB=PC P在底面ABC上的射影为△ABC的外心O;
PA⊥BC,PB⊥AC P在底面ABC上的射影为△ABC的垂心H;
P到棱AB,BC,CA的距离相等 P在底面ABC上的射影为△ABC的内心I.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)直线l与平面α内的两条直线都垂直,则l⊥α.( )
(2)若一条直线与一个平面内的某条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.( )
(3)直线与平面所成的角为α,则0°<α≤90°.( )
(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
【答案】 D
【解析】 若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l β或l∥β或l与β相交,故选项A不正确;
若α∩β=m,l α,l⊥m,则l与β相交但不一定垂直,故选项B不正确;
若α⊥β,l α,则l β或l∥β或l与β相交,故选项C不正确;
若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β,由面面垂直的性质定理可知选项D正确.故选D.
3.(人教A版必修第二册P152练习T4改编)已知在三棱锥VABC中,VA⊥BC,VB⊥AC,作 VO⊥平面ABC,垂足为O,则O为△ABC的( )
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
【答案】 D
【解析】 如图,连接OA,OB,由VO⊥平面ABC,BC 平面ABC,得VO⊥BC,又 VA⊥BC,
VA∩VO=V,VA,VO 平面VOA,则BC⊥平面VOA,又OA 平面VOA,因此OA⊥BC,同理OB⊥AC,所以O为△ABC的垂心.故选D.
4.(人教A版必修第二册P158例8改编)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B的任意一点,则下列关系不正确的是( )
A.PA⊥BC B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB D.PC⊥BC
【答案】 C
【解析】 因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC,故A正确;
因为C为圆上异于A,B的任意一点,
所以BC⊥AC,
因为PA⊥BC,PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC,故B正确;
因为AC⊥BC,若AC⊥PB,
又BC∩PB=B,BC,PB 平面PBC,
则AC⊥平面PBC,又PC 平面PBC,则AC⊥PC,
与AC⊥PA矛盾,故AC与PB不垂直,故C错误;
因为BC⊥平面PAC,PC 平面PAC,
所以PC⊥BC,故D正确.故选C.
5.(苏教版必修第二册P185练习T3改编)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则直线AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 .
【答案】
【解析】 由题图分析可知,∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角.
因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2,
又AA1=1,所以AC1=3,所以sin∠AC1A1==.
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
[例1] 如图,已知PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.
【证明】 (1)因为底面ABCD为矩形,所以BC⊥AB.因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以BC⊥PA,
又因为PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又因为AE 平面PAB,
所以AE⊥BC,
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)知,因为AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,所以 AE⊥PC.
又AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,所以PC⊥平面AEF.
因为AG 平面AEF,所以PC⊥AG.
因为底面ABCD为矩形,所以CD⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,所以CD⊥PA,
因为PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD,因为AG 平面PAD,所以CD⊥AG.
因为PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
所以AG⊥平面PCD.
因为PD 平面PCD,所以AG⊥PD.
(1)证明线面垂直的常用方法及关键.
①证明直线和平面垂直的常用方法:
a.判定定理;
b.垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α b⊥α);
c.面面平行的性质(a⊥α,α∥β a⊥β);
d.面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a α,a⊥l a⊥β).
②证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
(2)线面垂直性质的应用.
①垂直平面内的所有直线(证明线线垂直);
②过垂线作垂面(证明面面垂直).
[针对训练]
(2025·河南周口模拟)如图,在四棱锥PABCD中,△PAB为正三角形,AD∥BC,AD=2BC,E为PD的中点,CE⊥AD.
(1)证明:CE⊥平面PAD;
(2)若AD⊥AB,AB=BC=2,求四棱锥PABCD的体积.
(1)【证明】 如图,取F,G分别为PA,AB的中点,连接EF,BF,PG,
又E为PD的中点,则有EF∥AD,且EF=AD,
由已知AD∥BC,BC=AD,
所以EF∥BC,EF=BC,四边形BCEF为平行四边形,有BF∥CE,
因为△PAB为正三角形,F为PA的中点,所以BF⊥PA,则CE⊥PA,
又CE⊥AD,PA,AD 平面PAD,PA∩AD=A,
所以CE⊥平面PAD.
(2)【解】 因为CE⊥AD,则有BF⊥AD,又AD⊥AB,
BF,AB 平面PAB,BF∩AB=B,所以AD⊥平面PAB,
因为PG 平面PAB,则PG⊥AD,
又G为AB的中点,所以PG⊥AB,
因为AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,所以PG⊥平面ABCD,
即PG是四棱锥PABCD的高,
因为AB=BC=2,则AD=4,PG=,
得四棱锥PABCD的体积V=××=2.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
[例2] 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,
AB=PA=PB=2,E是CD的中点.
(1)证明:平面PBC⊥平面PAE;
(2)求点A到平面PBE的距离.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P161例10.
(1)【证明】 如图,连接AC.
因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,所以△ACD是正三角形.
又E为CD的中点,所以AE⊥CD,则AE⊥AB,因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AE 平面ABCD,所以AE⊥平面PAB.因为PB 平面PAB,所以AE⊥PB.
因为AB=PA=PB=2,所以PA2+PB2=AB2,则PA⊥PB. 因为PA∩AE=A,PA,AE 平面PAE,所以PB⊥平面PAE.又PB 平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAE.
(2)【解】 因为AB=2,PA=PB=,所以AE=,S△PAB=PA·PB=1,
则=S△PAB·AE=×1×=.
PE===,由(1)可得 PB⊥PE,
所以S△PBE=PB·PE=××=.
设点A到平面PBE的距离为d,则=S△PBE·d=d.由=,得 d=,解得d=,故点A到平面PBE的距离为.
(1)判定面面垂直的方法.
①面面垂直的定义: 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直;
②面面垂直的判定定理(l⊥α,l β α⊥β).
(2)面面垂直性质的应用.
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”;
②若两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面.
[针对训练]
(2025·四川内江模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是直角梯形,且∠ABC=
∠BAD=,BC=2AD,AB=AP,平面PAB⊥平面PBC.求证:平面PAD⊥平面PAB.
【证明】 如图,取PB的中点M,连接AM.
因为 AB=AP,所以AM⊥PB.
又平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面 PBC=PB,AM 平面PAB,
所以AM⊥平面PBC,又BC 平面PBC,所以AM⊥BC.
因为底面ABCD是直角梯形,且∠ABC=∠BAD=,所以BC∥AD,所以AD⊥AM.
又AD⊥AB,AM∩AB=A,AM,AB 平面PAB,所以AD⊥平面PAB.
又AD 平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.
考点三 平行、垂直关系的综合应用
[例3] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2BC,
△PAD为等边三角形,E为PA的中点.
(1)求证:BE∥平面PDC;
(2)求证:PB⊥BC;
(3)若平面PAD⊥平面PCD,求证:平面PAD⊥平面ABCD.
【证明】 (1)如图,取PD的中点N,连接EN,CN,因为E为PA的中点,所以ENAD,
又AD∥BC,AD=2BC,所以ENBC,故四边形ENCB为平行四边形,所以BE∥CN,
又BE 平面PDC,CN 平面PDC,所以BE∥平面PDC.
(2)如图,取AD的中点M,连接PM,MB.因为△PAD为等边三角形,所以PM⊥AD.
在直角梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=2BC,所以DMBC,所以四边形BCDM是平行四边形.因为∠ADC=90°,所以四边形BCDM是矩形,所以BM⊥AD.因为PM∩BM=M,PM,BM 平面PBM,所以AD⊥平面PBM,而PB 平面PBM,所以AD⊥PB.
因为AD∥BC,所以PB⊥BC.
(3)如图,连接AN,因为△PAD为等边三角形,所以AN⊥PD.
因为平面PAD⊥平面PCD,且平面PAD∩平面PCD=PD,AN 平面PAD,
所以AN⊥平面PCD,因为CD 平面PCD,所以AN⊥CD.
在直角梯形ABCD中,AD⊥CD,AN∩AD=A,且AN,AD 平面PAD,
所以CD⊥平面PAD.
因为CD 平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.
(1)三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
(2)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
[针对训练]
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=6,AB=10,cos∠CAB=,AA1=8,点D是AB的中点.
(1)求证:AC1∥平面CDB1;
(2)求证:AC⊥BC1;
(3)求三棱锥A1B1CD的体积.
(1)【证明】 如图,设B1C与BC1交于点E,则E为BC1的中点,连接DE,则在△ABC1中,DE是中位线,所以DE∥AC1,又DE 平面CDB1,AC1 平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.
(2)【证明】 在△ABC中,AC=6,AB=10,cos∠CAB=,由余弦定理BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB,得BC=8,则AB2=AC2+BC2,所以△ABC为直角三角形,所以AC⊥BC.
又因为CC1⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以 CC1⊥AC,又CC1∩BC=C,BC,CC1 平面BCC1B1,
所以AC⊥平面BCC1B1,因为BC1 平面BCC1B1,所以AC⊥BC1.
(3)【解】 如图,在△ABC中,过点C作CF⊥AB,垂足为F,因为平面ABB1A1⊥平面ABC,CF 平面ABC,且平面ABB1A1∩平面ABC=AB,CF⊥AB,所以CF⊥平面ABB1A1.
易知=A1B1·AA1=40,CF==,
因为=,所以=×40×=64.故三棱锥A1B1CD的体积为64.
微点提能9 几何法求线面角与二面角
利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程,缺一不可.
1.几何法求线面角
线面角是斜线与平面所成的角,首先作出平面的垂线,得出斜线在平面内的射影,从而得出斜线与平面所成的角,转化为直角三角形求解.
2.几何法求二面角
作二面角的平面角的常用方法.
(1)定义法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点.
(2)垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角.
(3)垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线,得到垂足B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角最基本、最重要的方法.
类型一 直线与平面所成的角
[典例1] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面PAD⊥底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:AM⊥平面PCD;
(2)求直线PB与底面ABCD所成角的正切值.
(1)【证明】 因为侧面PAD是正三角形,M是PD的中点,所以AM⊥PD.因为底面ABCD为正方形,所以AD⊥CD,又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,CD 平面ABCD,所以CD⊥平面PAD. 因为AM 平面PAD,所以AM⊥CD,又PD∩CD=D,PD,CD 平面PCD,所以AM⊥平面PCD.
(2)【解】 如图,取AD的中点O,连接OP,OB,
因为侧面PAD是正三角形,所以OP⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,OP 平面PAD,所以OP⊥平面ABCD,所以∠PBO即为直线PB与底面ABCD所成的角,
设正方形ABCD的边长为2a,则OP=a,OB=a,在Rt△OPB中,tan∠PBO===,所以直线PB与底面ABCD所成角的正切值为.
求直线与平面所成的角的一般步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
[拓展演练] 如图,圆台OO1的轴截面是等腰梯形ABCD,AB=BC=2CD=4,E为下底面☉O上的一点,且AE=BE,则直线CE与平面ABCD所成角的正切值为( )
A.2 B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图,过点E作EH⊥AB于点H,连接CH.因为平面ABCD为圆台OO1的轴截面,所以平面AEB⊥平面ABCD,
又因为平面AEB∩平面ABCD=AB,EH 平面AEB,所以EH⊥平面ABCD,所以直线CE与平面ABCD所成的角即为∠ECH.因为AB=BC=2CD=4,且 AE=BE,所以BE=2,AE=2,则 BH=1,OH=O1C=1,连接OO1,四边形OO1CH为矩形,
则CH⊥AB,CH==,EH==,
所以tan∠ECH===.故选D.
类型二 二面角
[典例2] 如图,在四棱锥PABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,
AD∥BC,∠ABC=90°,且AP=AD=2,AB=BC=1,PB=,E为PD的中点.
(1)求证:AB⊥AE;
(2)求二面角EACD的余弦值.
(1)【证明】 因为AP=AD=2,AB=BC=1,PB=,所以AP2+AB2=PB2,故AB⊥AP,
又∠ABC=90°,BC∥AD,所以AB⊥AD,又 AD∩AP=A,AD,AP 平面ADP.
所以AB⊥平面ADP,又AE 平面ADP,所以AB⊥AE.
(2)【解】 取F为AD的中点,过点F作FN⊥AC于点N,连接EN,EF,如图.
因为在△PAD中,E,F分别为PD,AD的中点,所以AP∥EF,EF=AP=1.因为平面PAB⊥平面ABCD,且其交线为AB,又AB⊥AP,AP 平面PAB,所以AP⊥平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD,
所以∠ENF为二面角EACD的平面角,在直角梯形ABCD中,AB=BC=1,∠ABC=90°,所以∠BAC=45°,所以∠FAC=45°,又AF=AD=1,所以FN=,在Rt△EFN中,tan∠ENF==,
所以cos∠ENF=,所以二面角EACD的余弦值为.
求二面角的大小的方法
一作:即先作出二面角的平面角;
二证:即证明所作角是二面角的平面角;
三求:即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值.
[拓展演练] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为4,则二面角A1BDC1的余弦值为 .
【答案】
【解析】 取BD的中点O,连接A1O,C1O,A1C1,如图所示.
因为正方体棱长为4,所以BD=A1C1=A1D=A1B=BC1=DC1==4,即BO=DO=2,
所以A1O⊥BD,C1O⊥BD,所以∠A1OC1为二面角A1BDC1的平面角,
由A1O=C1O==2,得cos∠A1OC1==.
