第6节 利用空间向量证明平行和垂直
[学习目标]
理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得=λa.与向量a 的非零向量称为直线l的方向向量.
若A,B是直线l上的两点,则是直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n·m=0
l⊥α n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)直线的方向向量是唯一确定的,平面的单位法向量也是唯一确定的.( )
(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( )
(3)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( )
(4)若两个不重合的平面的法向量平行,则两平面平行;若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.( )
2.(人教B版选择性必修第一册P42练习AT1改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
3.(人教B版选择性必修第一册P61习题12A T2改编)已知向量=(1,2,3),=(2,m,3),
=(4,2,k),若是平面ABC的法向量,则mk的值是( )
A.3 B.2 C.6 D.4
4.(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)直线m的方向向量为m=(1,-2,λ),直线n的方向向量为n=(-2,4,5),平面α的法向量为k=(μ,-8,γ),m⊥n,n⊥α,则λ+μ+γ= .
考点一 平面的法向量、直线的方向向量及其应用
[例1] (1)(2025·山东威海模拟)设v1,v2分别是空间中的直线l1,l2的方向向量,A∈l1,B∈l2.记甲:v1,v2, 不共面,乙:l1与l2异面,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图).则平面ABE的一个法向量为( )
A.(1,0,-2) B.(0,1,2)
C.(0,2,-4) D.(-2,1,4)
(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.
[针对训练]
设a=(1,2,1)是直线l的方向向量,n=(1,-1,1)是平面α的法向量,则( )
A.l∥α或l α B.l⊥α或l α
C.l⊥α D.l∥α
考点二 利用向量证明平行问题
[例2] 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,B1C与BC1交于点P.证明:
(1)平面A1C1B∥平面ACD1;
(2)A1P∥平面ACD1.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P30例3.
(1)证明线线平行的方法.
①向量法:设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R);
②几何法:利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理证明.
(2)证明线面平行的方法.
①向量法:设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,注意说明直线l 平面α;
②几何法:利用线面平行的判定定理证明.
(3)证明面面平行的方法.
①向量法:分别求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v;
②几何法:利用面面平行的判定定理证明.
[针对训练]
(2023·新课标Ⅰ卷改编)如图,在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.求证:B2C2∥A2D2.
考点三 利用向量证明垂直问题
[例3] 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均等于1,D是CC1的中点.证明:
(1)A1B⊥AD;
(2)平面A1BD⊥平面AB1D.
(1)证明线线垂直的方法.
①向量法:证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可;
②几何法:利用线面垂直的性质证明.
(2)证明线面垂直的方法.
①向量法:分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积,由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证;
②几何法:由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理证明.
(3)证明面面垂直的方法.
①向量法:证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面;
②几何法:利用面面垂直的判定定理证明.
[针对训练]
如图,在圆锥PO中,AC为圆锥底面的直径,B为底面圆周上一点,点D在BC上,AC=2AB=6,
CD=2DB.证明:AD⊥平面BOP.
考点四 平行与垂直关系中的探索性问题
[例4] 如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1;
(2)在直线CC1上是否存在一点P,使BP∥平面DA1C1 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
与空间平行、垂直关系有关的探索性问题,解答时,一般先假设存在这样的点,再建立空间直角坐标系,设出该点的坐标,将直线与平面的平行、垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系,利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组).若方程(组)有解,则点存在;否则,点不存在.
[针对训练] 直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,
BB1=3a,D是A1C1的中点.在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF 若存在,求出AF的长;若不存在,请说明理由.第6节 利用空间向量证明平行和垂直
[学习目标]
理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得=λa.与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
若A,B是直线l上的两点,则是直线l的方向向量. (2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)直线的方向向量是唯一确定的,平面的单位法向量也是唯一确定的.( )
(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( )
(3)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( )
(4)若两个不重合的平面的法向量平行,则两平面平行;若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.(人教B版选择性必修第一册P42练习AT1改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
【答案】 C
【解析】 因为n1≠λn2,且n1·n2=-23≠0,所以α,β相交但不垂直.故选C.
3.(人教B版选择性必修第一册P61习题12A T2改编)已知向量=(1,2,3),=(2,m,3),
=(4,2,k),若是平面ABC的法向量,则mk的值是( )
A.3 B.2 C.6 D.4
【答案】 A
【解析】 由题意可得=-=(1,m-2,0),=-=(3,0,k-3),
又为平面ABC的法向量,
所以·=1×1+2×(m-2)+3×0=2m-3=0,解得m=,
·=1×3+2×0+3×(k-3)=3k-6=0,解得k=2,
所以mk=3.故选A.
4.(人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)直线m的方向向量为m=(1,-2,λ),直线n的方向向量为n=(-2,4,5),平面α的法向量为k=(μ,-8,γ),m⊥n,n⊥α,则λ+μ+γ= .
【答案】 -4
【解析】 因为m⊥n,直线m的方向向量为m=(1,-2,λ),直线n的方向向量为n=(-2,4,5),所以m·n=0,即-2×1+(-2)×4+5λ=0,解得λ=2,因为n⊥α,直线n的方向向量为n=(-2,4,5),平面α的法向量为k=(μ,-8,γ),所以k∥n,所以向量k=tn,即(μ,-8,γ)=t(-2,4,5),所以解得则λ+μ+γ=2+4-10=-4.
考点一 平面的法向量、直线的方向向量及其应用
[例1] (1)(2025·山东威海模拟)设v1,v2分别是空间中的直线l1,l2的方向向量,A∈l1,B∈l2.记甲:v1,v2, 不共面,乙:l1与l2异面,则( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图).则平面ABE的一个法向量为( )
A.(1,0,-2) B.(0,1,2)
C.(0,2,-4) D.(-2,1,4)
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)对空间中的任意两条直线l1,l2,
若v1,v2,不共面,显然l1,l2不可能平行或相交,两直线异面,充分性成立;
若l1,l2是异面直线,根据异面直线的定义,则有v1,v2,不共面,必要性成立.
故甲是乙的充要条件.故选C.
(2)由题意可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),所以=(0,2,1),=(2,0,0),设平面ABE的法向量为m=(x,y,z),由得取y=1,则x=0,z=-2,所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2),结合选项有2m=(0,2,-4)是平面ABE的一个法向量.故选C.
(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.
[针对训练]
设a=(1,2,1)是直线l的方向向量,n=(1,-1,1)是平面α的法向量,则( )
A.l∥α或l α B.l⊥α或l α
C.l⊥α D.l∥α
【答案】 A
【解析】 因为a=(1,2,1)是直线l的方向向量,n=(1,-1,1)是平面α的法向量,
所以a·n=1×1+2×(-1)+1×1=0,即a⊥n,所以l∥α或l α.故选A.
考点二 利用向量证明平行问题
[例2] 如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,B1C与BC1交于点P.证明:
(1)平面A1C1B∥平面ACD1;
(2)A1P∥平面ACD1.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P30例3.
【证明】 (1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由题意知A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A1(3,0,2),B1(3,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2),
则=(-3,4,0),=(0,4,-2),=(-3,4,0),=(-3,0,2),且设平面A1C1B的法向量为n=(x,y,z),
则所以有令x=4,则y=3,z=6.
所以平面A1C1B的一个法向量为n=(4,3,6),
设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c),
则所以有令a=4,则b=3,c=6.
所以平面ACD1的一个法向量为m=(4,3,6),
所以m=n,即m∥n,所以平面A1C1B∥平面ACD1.
(2)由长方体的性质易知P为B1C和BC1的中点,则P(,4,1),=(-,4,-1).
由(1)知平面ACD1的一个法向量为m=(4,3,6),故m·=0.
所以m⊥,又A1P 平面ACD1,所以A1P∥平面ACD1.
(1)证明线线平行的方法.
①向量法:设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R);
②几何法:利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理证明.
(2)证明线面平行的方法.
①向量法:设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,注意说明直线l 平面α;
②几何法:利用线面平行的判定定理证明.
(3)证明面面平行的方法.
①向量法:分别求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v;
②几何法:利用面面平行的判定定理证明.
[针对训练]
(2023·新课标Ⅰ卷改编)如图,在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.求证:B2C2∥A2D2.
【证明】 以C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以=(0,-2,1),=(0,-2,1),所以∥,又B2C2,A2D2不在同一条直线上,所以B2C2∥A2D2.
考点三 利用向量证明垂直问题
[例3] 如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均等于1,D是CC1的中点.证明:
(1)A1B⊥AD;
(2)平面A1BD⊥平面AB1D.
【证明】 如图,取线段AB的中点O,连接CO,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,因为△ABC是边长为1的等边三角形,则CO⊥AB,以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(-,0,0),B(,0,0),A1(-,0,1),B1(,0,1),D(0,,).
(1)因为=(1,0,-1),=(,,),所以·=+0-=0,故A1B⊥AD.
(2)设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),由=(1,0,-1),=(,,-),则
即得
取x=1,则z=1,y=0,可得平面A1BD的一个法向量为n=(1,0,1),同理可得平面AB1D的一个法向量为m=(1,0,-1),则m·n=1+0-1=0,所以m⊥n,故平面A1BD⊥平面AB1D.
(1)证明线线垂直的方法.
①向量法:证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可;
②几何法:利用线面垂直的性质证明.
(2)证明线面垂直的方法.
①向量法:分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积,由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证;
②几何法:由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理证明.
(3)证明面面垂直的方法.
①向量法:证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面;
②几何法:利用面面垂直的判定定理证明.
[针对训练]
如图,在圆锥PO中,AC为圆锥底面的直径,B为底面圆周上一点,点D在BC上,AC=2AB=6,
CD=2DB.证明:AD⊥平面BOP.
【证明】 由题意知PO⊥平面ABC,AB⊥BC,故以B为坐标原点,,,所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设|OP|=x,故B(0,0,0),A(3,0,0),O(,,0),P(,,x),D(0,,0),
则=(-3,,0),=(,,0),=(,,x).因为PO⊥AD,·=-3×+×=0,
且PO∩BO=O,PO,BO 平面BOP,所以AD⊥平面BOP.
考点四 平行与垂直关系中的探索性问题
[例4] 如图,棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1;
(2)在直线CC1上是否存在一点P,使BP∥平面DA1C1 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 设BD与AC交于点O,则BD⊥AC,连接A1O,
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
所以A1O2=A+AO2-2AA1·AOcos 60°=3,
所以AO2+A1O2=A,
所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1O 平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABCD.
以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,).
由于=(-2,0,0),=(0,1,),
·=0×(-2)+1×0+×0=0,
所以⊥,即BD⊥AA1.
(2)【解】 假设在直线CC1上存在一点P,使BP∥平面DA1C1,
设=λ(λ∈R),P(x,y,z),
则(x,y-1,z)=λ(0,1,),
从而有P(0,1+λ,λ),=(-,1+λ,λ).
设平面DA1C1的法向量为n=(x,y,z),
则
又=(0,2,0),=(,0,),
则
所以平面DA1C1的一个法向量为n=(1,0,-1),
因为BP∥平面DA1C1,则n⊥,
即n·=--λ=0,得λ=-1,
即点P在C1C的延长线上,且C1C=CP.
与空间平行、垂直关系有关的探索性问题,解答时,一般先假设存在这样的点,再建立空间直角坐标系,设出该点的坐标,将直线与平面的平行、垂直关系转化为直线的方向向量与平面的法向量的关系,利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程(组).若方程(组)有解,则点存在;否则,点不存在.
[针对训练] 直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,
BB1=3a,D是A1C1的中点.在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF 若存在,求出AF的长;若不存在,请说明理由.
【解】 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,
则C(0,a,0),B1(0,0,3a),D(a,a,3a).
假设存在点F,使CF⊥平面B1DF.
不妨设AF=b(0≤b≤3a),
则F(a,0,b),=(a,-a,b),
=(a,0,b-3a),=(a,a,0).
因为·=a2-a2+0=0,
所以⊥恒成立.由·=2a2+b(b-3a)=2a2+b2-3ab=0,
得b=a或b=2a.
所以当AF=a或AF=2a时,CF⊥平面B1DF.
