第7节 利用空间向量求空间距离
[学习目标]
1.会求空间中两点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离.2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系存在的条件.
1.两点间的距离
(1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解.
(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=.
2.点到直线的距离
如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得
PQ==.
3.点到平面的距离
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量 的长度,因此PQ=|·|=||=.
4.相互平行的直线与平面之间的距离
已知直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=.
5.相互平行的平面与平面之间的距离
已知平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为 .
【答案】 2
【解析】 设a==(2,0,1),u=(0,0,1),则a·u=1,则点P到直线l的距离d===2.
3.(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量 =(0,,0),则点F到平面ABC的距离为 .
【答案】
【解析】 由题意,点F到平面ABC的距离为==.
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)已知两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 .
【答案】
【解析】 因为两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), 所以两平面间的距离d===.
考点一 用空间向量求点到直线的距离
[例1] (2025·辽宁沈阳模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若空间里存在一点P,满足=+-,则点P到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),=(1,0,0),
由=+-,得=(,,-),=-=(,-,-),
所以点P到直线BC的距离d===.故选B.
利用空间向量求点到直线距离的常用方法
方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式求解;
方法二:先求出直线的方向向量u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,则点P到直线l的距离为.
[针对训练]
在空间直角坐标系中,已知点M(1,1,0),N(2,-1,-2),P(-1,1,2),则点P到直线MN的距离为( )
A. B.2
C.2 D.4
【答案】 B
【解析】 因为 =(1,-2,-2),=(-2,0,2),所以===-2,则点P到直线MN的距离d===2.故选B.
考点二 用空间向量求点到平面的距离
[例2] (2025·山东菏泽模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1 中,M,N分别为棱AB,C1C的中点,△ABC为等腰直角三角形,且A1A=AC=BC=2.
(1)证明:AB⊥MN;
(2)求点A1到平面B1MN的距离.
(1)【证明】 连接CM(图略),因为AC=BC,M为AB的中点,所以CM⊥AB. 因为C1C为直三棱柱的侧棱,所以C1C⊥平面ABC.因为AB 平面ABC,所以C1C⊥AB.即CN⊥AB,因为CM∩CN=C,CM,CN 平面CMN,所以AB⊥平面CMN.因为MN 平面CMN,所以AB⊥MN.
(2)【解】 以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A1(2,0,2),B1(0,2,2),M(1,1,0),N(0,0,1).
所以 =(2,-2,0),=(1,-1,-2),=(0,-2,-1).
设平面B1MN的法向量为n=(x,y,z),则即
令z=2,则x=3,y=-1,所以平面B1MN的一个法向量为n=(3,-1,2).设点A1到平面B1MN的距离为h,
则h===.所以点A1到平面B1MN的距离为.
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(如图,求出,α内两个不共线向量,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
[针对训练]
如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为棱DC的中点,则点A1到平面AEC1的距离为 .
【答案】
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),C1(0,1,1),E(0,,0),A1(1,0,1),=(-1,,0),=(0,,1),=(0,0,1).设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则
令y=2,则x=1,z=-1,所以平面AEC1的一个法向量为n=(1,2,-1).设点A1到平面AEC1的距离为d,则d===,
即点A1到平面AEC1的距离为.
考点三 用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] (2025·广东广州模拟)如图,边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点H.
(1)证明:BD∥GH;
(2)求直线BD到平面EFG的距离.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P42习题1.4 T7.
(1)【证明】 因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD,又BD 平面EFG,EF 平面EFG,则BD∥平面EFG,又BD 平面ABD,平面ABD∩平面EFG=GH,所以BD∥GH.
(2)【解】 由(1)知,BD∥平面EFG,则点B到平面EFG的距离即为直线BD到平面EFG的距离,如图,连接EA,ED,由△ABC,△BCD均为正三角形,E为BC的中点,得EA⊥BC,ED⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE 平面ABC,于是AE⊥平面BCD,又ED 平面BCD,则AE⊥ED.以E为坐标原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则B(2,0,0),F(-1,,0),A(0,0,2),D(0,2,0),又 =2 ,可得G(0,,),
所以 =(2,0,0),=(-1,,0),=(0,,),设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=,z=-2,得n=(,1,-2)为平面EFG的一个法向量,设点B到平面EFG的距离为d,则d===,所以直线BD到平面EFG的距离为.
(1)线线距离常常转化为点到直线的距离求解.
(2)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(3)如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
[针对训练]
(1)在空间直角坐标系中,已知点A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,
C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为( )
A. B.
C. D.
(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB到直线C1D1的距离为 .
【答案】 (1)A (2)2
【解析】 (1)由已知得=(1,1,1),=(-2,2,1),=(1,0,0),
设平面α的法向量为n=(x,y,z),又α∥β,则n与向量,都垂直,则
即
取x=1,则平面α的一个法向量为n=(1,3,-4),则平面α与平面β间的距离为
d===.故选A.
(2)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),
所以=(0,2,0),=(0,2,0),=(-2,0,2),
所以∥.
所以直线AB到直线C1D1的距离即为点D1到直线AB的距离,
设a==(-2,0,2),u==(0,2,0)=(0,1,0),则a2=8,a·u=0,所以点D1到直线AB的距离为d==2,
所以直线AB到直线C1D1的距离为2.第7节 利用空间向量求空间距离
[学习目标]
1.会求空间中两点的距离、点到直线的距离、点到平面的距离.2.以空间向量为工具,探究空间几何体中线、面的位置关系存在的条件.
1.两点间的距离
(1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解.
(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=.
2.点到直线的距离
如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得
PQ==.
3.点到平面的距离
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量 的长度,因此PQ=|·|=||=.
4.相互平行的直线与平面之间的距离
已知直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=.
5.相互平行的平面与平面之间的距离
已知平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.( )
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.( )
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.( )
2.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为 .
3.(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量 =(0,,0),则点F到平面ABC的距离为 .
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)已知两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是 .
考点一 用空间向量求点到直线的距离
[例1] (2025·辽宁沈阳模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若空间里存在一点P,满足=+-,则点P到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.
利用空间向量求点到直线距离的常用方法
方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式求解;
方法二:先求出直线的方向向量u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,则点P到直线l的距离为.
[针对训练]
在空间直角坐标系中,已知点M(1,1,0),N(2,-1,-2),P(-1,1,2),则点P到直线MN的距离为( )
A. B.2
C.2 D.4
考点二 用空间向量求点到平面的距离
[例2] (2025·山东菏泽模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1 中,M,N分别为棱AB,C1C的中点,△ABC为等腰直角三角形,且A1A=AC=BC=2.
(1)证明:AB⊥MN;
(2)求点A1到平面B1MN的距离.
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(如图,求出,α内两个不共线向量,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
[针对训练]
如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为棱DC的中点,则点A1到平面AEC1的距离为 .
考点三 用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] (2025·广东广州模拟)如图,边长为4的两个正三角形ABC,BCD所在平面互相垂直,E,F分别为BC,CD的中点,点G在棱AD上,AG=2GD,直线AB与平面EFG相交于点H.
(1)证明:BD∥GH;
(2)求直线BD到平面EFG的距离.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第一册P42习题1.4 T7.
(1)线线距离常常转化为点到直线的距离求解.
(2)如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(3)如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
[针对训练]
(1)在空间直角坐标系中,已知点A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,
C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则平面α与平面β间的距离为( )
A. B.
C. D.
(2)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,直线AB到直线C1D1的距离为 .
